常见恒成立问题的等价方法

一、等价为均值不等式求最值[例]1（2010,山东）Vx〉O,x/x2＋3x＋1≤a,求a的取值范围．分析：令y=x/x2＋3x＋1,化简得y=1/x＋1/x＋3转化成均值不等式的处理问题,等价于求y的最大值．     

从一道高考不等式试题谈起

试题已知正数戈，y,z满足z＋Y＋：=1．求证：x^2/y＋2x＋y^2/z＋2x＋z^2/x＋2y≥1/3.     

一道联盟杯竞赛题的解法、推广与背景

题目 已知角α为锐角,则函数y=1/sinα＋3√3/cosα的最小值为____.（第五届联盟杯） 1．多种解法 解法1 y=1/sinα＋3√3/cosα,求导,得y′=-cosα/sin^2α＋3√3sinα/cos^2α     

一个不等式的多证

题已知x、y、z均为正实数,求证：x/2x＋y＋z＋y/x＋2y＋z＋z/x＋y＋2z≤3/4（1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克问题初40题）文[1]、[2]分别给出了上述不等式的一种证法．本文再给出几种新证法．     

从一道保送生入学试题谈圆锥曲线的几个结论

2011年北京大学保送生数学考试共有5道试题,最后一题为： 设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）是圆x^2＋y^2=1上不同的三点,且满足 x1＋x2＋x3=y1＋y2＋y3=0．① 证明：x1^2＋x2^2＋x3^2=y1^2＋y2^2＋y3^2=3/2.     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

关于一个三元不等式的再思考

文[1]给出如下结论：设x,y,z∈R^＋,则x/（2x＋y＋x）＋y/（2y＋x＋z）＋z/（2z＋x＋y）≤3/4．文[2]将这一结论进行指数推广,得到     

一组代数不等式问题的深入研究

问题1（《数学通报》2009年第1期问题）已知x,y,z∈R^＋,则x＋y/2z＋y＋z/2x＋z＋x/2y≥2x/y＋z＋2y/z＋x＋2z/x＋y.此不等式比较简单,也可以深化为6个字母的情形．     

一元一次方程解法及应用易错点剖析

一 一元一次方程概念的理解 例1 下列方程是一元一次方程的是（）． A.2/x＋2=5 B．3x-1/2＋4=2x C．y^2＋3y=0 D．9x—y=2     

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目已知z,y,z∈R^＋,且x＋2y＋3z=1,1/x＋2/y＋3/z的最小值是__．     

构造向量巧解多元变量问题

例1设x,y是正实数,且x＋y=1,求x^2/x＋2＋y^2/y＋1的最小值．     

一个不等式的又一证法及其推广

已知x、y、z为正实数，求证：x/（2x＋y＋z）＋y/（x＋2y＋z）＋z/（x＋y＋2z）≤3/4． 这是1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克初赛40题，文[1]用构造函数法证明此不等式，文[2]分别用排序不等式、构造向量的方法又给出了三种不同证明方法，但它们的证明思路独特、方法技巧性较强．本文将通过换元法使用均值不等式给出证明，过程自然、简捷，容易操作、推广．     

一个不等式的证明和拓展

题目 已知x、y、z为正实数．求证： x/2x＋y＋z＋y/x＋2y＋z＋z/x＋y＋2z≤3/4. 本将给出此题的一种简捷的证法，并在此基础上进行适当拓展。     

从一道2013年北京大学“百年数学”体验营试题说起

问题（2013年北京大学“百年数学”科学体验营试题）已知x,y,z∈R^＋,X＋y＋z=3,求证： -x/x^3＋y^2＋z＋y/y^3＋z^2＋x＋z/z^3＋x^2＋y≤1. 最近笔者在教学中有幸与学生接触到上述问题,应该说该问题难度较大但是解法众多,笔者在此给出一种柯西不等式观点下的解法,希望对读者有所帮助．     

利用柯西不等式的变式简解竞赛题

柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一,它有如下重要变式： 若xi,yi∈R＋（i=1,2,...n,n∈N^＊,n≥2）,则有x^21/y1＋x^22/y2＋...＋x^2n/yn≥（x1＋x2＋...＋xn）^2/y1＋y2＋...＋yn,当且仅当x1/y1=x^2/y2=...=xn/yn时等号成立．     

一道“希望杯”培训题的解法研究

题目已知x,y,z∈R^＋,且x＋2y＋3z=1,则1/x＋2/y＋3/z的最小值是——.     

与一类直线方程有关的圆锥曲线的一个性质

文[1],文[2],文[3]分别研究了直线方程x0x/a^2＋y0y/b^2=1,x0x/a^2-y0y/b^2=1,y0y=p（x0＋x）的儿何意义．受其启发,笔者通过超级厨板发现与上述直线方程有关的圆锥曲线的一个性质,现介绍如下．     

直线与曲线相切只有一个公共点吗？

例1 已知直线l：y=2x＋m,椭圆C：x^2/4＋y2/2=1,试问当m取何值时,直线l与椭圆C有且只有一个公共点？ 解析 本题可用△=0求方程组{y=2x＋m,x^2/4＋y2/2=1有唯一解.求出m=±3√2,此时l的方程为y =2x＋3√2或y=2x-3√2,所以直线与该椭圆在x=-4/3√2或x=4/3√2时,只有唯一公共点A（-4/3√2,√2/3）或A（4/3√2,-√2/3）.故相切.     

关于欧拉常数不等式的一个注记

本文主要研究欧拉常数的不等式,引入新变量u=y（y＋1）和函数gq＋1（y）=1/2（y＋1）-1n（1＋1/y）＋1/2y＋i=1∑q＋1（-1）^i＋1 B2i/2i[1/（y＋1）^2i-1/y^2i],利用函数gq＋1（y）性质,证明了当q=0,1,2,3,4,5时文[1]的猜想正确,改进了文[2]、[3]的相关结果。     

一次函数考点过关检测卷

一、选择题 1.直线y=-3/2x＋3与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ）． A.3 B.6 C.3/4 D.3/2