抛物线的顶点和对称轴

二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象是一条抛物线,这条抛物线是轴对称图形,其顶点的横坐标为-b/2a,对称轴是直线x=-b/2a.可见,对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线.     

关于一道高考题的一般性结论

2001年全国高考试题(广东、河南卷)第21题: 已知椭圆等x2/2+y2=1的右准线l与x轴交于一点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC∥x轴,求证直线AC经过线段EF的中点.     

从一道高考题的结论的推广谈起——例谈椭圆、双曲线的几个对偶性质

2001年广东省的一道高考题: 已知椭圆22/21xy =的右准线l与x轴相交于A、B两点,点C在右准线上,且//BC x轴,求证直线AC经过线段EF的中点. 此题的证明并不难,其结论极易推广至一般二次曲线(双曲线、抛物线). 命题1 设F、l分别为二次曲线的焦点及相应准线,l与二次曲线的一条对称轴'l相交于点,E过F作直线与二次曲线相交于A、B两点,点C在l上,且//'BCl,则AC经过线段EF的中点. 证明 不失一般性, 设二次曲线为椭圆,焦点 在x轴上(如图),离心率 为e,记直线AC与x轴 交点为N,过A作ADl^, D为垂足,因//BCx轴,故BCl^,故有: ||||||||AFBFeADB…     

从显眼处着眼,从熟悉处入手——由今年的一道解几高考题谈平几性质的应用

题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.证明:如图1,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则     

横看成岭侧成峰,远近高低各不同——一道题目的多种解法

题目经过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.解法1:利用直线的点斜式方程.     

抛物线的顶点和对称轴

二次函数y=αx^2 bx c(α≠0）的图象是一条抛物线，这条抛物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为-b/2α，对称轴是直线x=-b/2α，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线。     

一类直线过定点问题的探究与发现

<正>1问题的提出在历年高考中经常出现直线过定点问题,见文[1]2019年高考(北京卷)文科第19题仍是一道关于直线过定点问题,该试题如下:已知椭圆C:■的左焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON=2,求证:直线l经过定点.     

深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

二次函数测试题（一）

一、填空题1.某直线恰是抛物线y=2x2 4x 5的对称轴,则此直线的解析式是!!!!.2.函数y=ax2 bx-c的图象经过点(1,2),则a b-c的值是!!!!.3.已知二次函数的图象开口向下,且经过原点,请写出一个符合条件的二次函数的解析式!!.4.抛物线y=-2x2 5x-3与y轴的交点坐标是!!!!.5.若抛物线y=x2-x-2经过点A(3,a)和点B(b,0),则ab=!!!!.6.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s=1100v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车,此时刹车!!!!有危险.(填会或不会)7.若二次函数y=-ax2,当x=2时,y=12,则当x=-2时,y=!!!!.8.把y=x2-4x 5化…     

打实二次函数基础

一般地,我们把形如y=ax2+ bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.x为自变量,y为因变量.等号右边自变量的最高次数是2.二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a·对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P.特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0).a,b同号,对称轴在y轴左侧.a,b异号,对称轴在y轴右侧.     

一道高考数学试题的解法探究及教学思考

题目:双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A,B两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,且BF与FA同向.     

一道中考压轴题的解析与思考

<正>题目(泰州市2010年中考题)如图1,二次函数y=-1/2x~2+c的图象经过点D(-(?),9/2),与x轴交于A、B两点.(1)求c的值;(2)如图1,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;     

证明直线恒过定点的四种策略

直线恒过定点问题涉及解析几何的所有知识 ,综合性强 ,方法灵活 ,运算复杂 ,对能力要求高 ,因此 ,时常在高考试题和竞赛试题中出现 .笔者在教学过程中总结了以下四种策略 .1　特殊引路找定点对于有些直线恒过定点问题 ,可以先考虑动直线l的特殊情况 ,找出定点P的位置 ,然后证明该定点P在动直线l上 .例 1　已知椭圆 x22 +y2 =1的右准线为l,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 ,点C在右准线l上 ,且BC∥x轴 ,求证 :直线AC经过定点 .(2 0 0 1年广东高考试题改编 )证明 :如图 1 ,设l⊥x轴 ,垂足为E ,易求得F(1 ,0 ) ,E(2 ,0 ) .当AB…     

关于一次和二次曲线以外的点的讨论

众所周知,平面直角坐标系中任何一个二元一次方程的图象是一条直线.该直线上所有的点(所表示的 x、y 值)都能使这个方程成立.如果将该直线以外(即直线两侧)的点代入这个方程,结果将怎样呢?我们规定,直线 l 的右侧的点是指 l 在 x 轴的正方向一侧平面上的点,而 l 的左侧的点是指 l 在 x 轴相反方向的一侧平面上的点.若 l 平行于 x 轴,则以 l 的上方(在 y 轴所指方     

二次函数的综合题(初三)

二次函数是初中数学的重点也是难点,特别是二次函数综合题更使一部分学生感到十分棘手,下面举例说明处理二次函数综合问题的常用方法．例1 已知第一象限内的点P(a,b)在直线 y=(12/5)x上,且二次函数y=(c-a)x2 2bx a c的图象的顶点在x轴上,求a:b:c的值．解因为点P(a,b)在直线y=(12/5)x上,     

二次函数的图像与性质

正二次函数的图像及性质,是初中数学的核心内容,也是中考的必考点.下面对二次函数的图像及性质归纳如下,供同学们学习时参考.一、图像与性质二、应用举例类型1抛物线对称性的应用例1(2014年枣庄卷)已知二次函数y=ax2+bx+c中x、y的部分对应值如下表:则该二次函数图像的对称轴为().A.y轴B.直线x=5C.直线x=2 D.直线x=322解析:观察表格可知,当x=1和x=2时,函数值y都是-1,由此可知,(1,-1)与(2,-1)是抛物线上关于对称轴对称的两个点,     

巧用不等式解直线中的最值问题

例扭直线l过点邢，l)，且分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求当△AOB的面积最小时的直线l的方程。思路一因为直线之已过一定点户飞2，l)，所以可以先设出直线止的点斜式方程，且易知直线止的斜率k眨0。解设过P的直线l的方程为y一1球(x一2)，则该直故所求直线‘的方程为y--卜一令(x一2)，‘线在x轴，y轴上的截距分别为翔二2k一1__:。L ~一几，一一理护1一‘几蕊D即x Zy--4=0思路二由于本题中的△AOB的两直角边长就是直线l的横纵截距，且横纵截距均大于零，因此联想到直线方程的截距式。解设设过p的直线l的方程为三十答=1…     

圆锥曲线的求简策略

由于解析几何的本质是利用代数方法研究几何问题,而圆锥曲线的方程都是二元二次方程,因而解决与此相关的问题时,如果处理不当,往往涉及到复杂的代数运算,特别是当圆锥曲线的方程含参数的时候,运算极为复杂.这时如何根据题设条件通过合理途径来处理并简化运算,是顺利解决此类问题的关键.下面通过实例说明解决这类问题的策略.1数形结合例1已知椭圆2212x+y=的右准线l与x轴交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,点C在右准线上且BC//x轴,求证:直线AC经过线段EF的中点.证明如图,设直线AC与x轴的交点为N,过A作AD⊥l,垂足为D,因为…     

数学试题“适”“用”教学的研究——2014年连云港卷第26题的使用

<正>中考数学试题具有引领课堂教学的导向作用,但因"施用"却不"适用"的整体复制模式(搬运试题),导致其实用价值流失.因此,研究其"适用"教学的意义重大.1试题呈现题目已知二次函数y=x2+bx+c,其图像抛物线交x轴于点A(1,0)、B(3,0),交y轴于点C.直线l过     

圆锥曲线焦点弦长的统一形式及其应用

<正> 设AB是经过焦点在x轴或平行于x轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1-e2+k2|·l,其中k是焦点弦的斜率,e是圆锥曲线的离心率,l是圆锥曲线的通径长. 类似地,AB是经过焦点在y轴或平行于y轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1+(1-e2)k2|·l.