一个三角不等式的再推广

设α+β+γ=π,那么sinα+sinβ+sinγ≤((33~(1/2))/2),当且仅当α=β=γ时等号成立.这是一个众所周知的三角不等式.1964年,维西克(Vasic)对之作了推广: xsinα+ysinβ+zsinγ≤3~(1/2)/2(yz/x     

一个三角不等式的再推广

中国科技大学附中钟成圣老师在文[1]中，给出了一类三角不等式的如下推广。     

一个三角不等式的推广

在**BC中,如果、人、B、C为三角形的。(个内角,已有大家熟知的三角不等式: COSA COSB COSC<2-3COs 3;① c。。譬 c。s誊 c。号 。,c。s十>。,c。s5>0· :.c。。鲁 c。s譬、。s譬 c。磊 -。。。丰 AB足足“‘Thry 。___3__。3一个三角不等式的推广@安振平$陕西省永寿县中学!713400 @张巨轮$陕西省永寿县中…     

一个三角不等式的推广

一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）…     

一个三角不等式的推广

利用算术平均数大于或等于几何平均数的不等式,将一个三角不等式的两个引理进一步做出推广,并得到另一种类型的三角不等式。     

一个三角不等式的推广

前苏联列宁格勒数学竞赛有以下试题: 已知△ABC的三边a,b,c满足a b<3c,求证:tgA/2tgB/2<1/2 (1) 将其推广,我们有     

一个三角不等式的推广

我们知道,在△ABC中,若A,B,C为三角形的三内角,则有: sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2=3sinπ/3。 本短文将利用平几知识,给出如下推广: 定理 在△ABC中,若A,B,C为三角形的内角,则有:     

一个三角不等式及其推广

题 已知α、β为正数,且 α β≤π.求证:sin~2α sin~2β sin~2(α β)/2这是1993年国家教委数学试验班试题中的第2题.笔者经过研究,发现了一个与①式非常类似的三角不等式.现把它介绍如下:     

一个三角不等式的指数推广

建立一个含指数参数的三角形不等式。     

一个常见三角不等式的推广

在△ABC中,有不等式cos^2A＋cos^2B＋cos^2 C≥3/4^[1]等号成立当且仅当△ABC为正三角形．     

一个三角不等式的代数推广

匈牙利第二十二届奥林匹克数学竞赛有这样一道题: 证明若是锐角,则 (1+1/sina)(1+1/cosa)>5. 众多杂志上已征得了它的加强 (1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2 2~(1/2). 观察上面的结论,我们不难看出sina与cosa的约束条件无非是sin~2a+cos~2a=1,而3+2 2~(1/2)可化为(1+2~(1/2))~2。由此,笔者将上面的三角加强式作如下的代数推广: 若x_1、x_2、…、x_n为正数,且x_1~2+x_2~2+…+x_n~2=1,则     

一个不等式再推广

文[1]将一个不等式推广为 设*0(1,2,,,2),iainnmN>=澄L, 且1niisa==,则 11111mnnmiiiiiaasan-==--邋. 本文再将其推广为 推广 设0ia>(1,2,,,2)inn=矻,m, ,kN*且mk>,1niisa==,则 111()(1)mnnmkiikkiiiaasan-==--邋. 当且仅当12naaa===L时等式成立. 证明 由文[2]行列式不等式: 若,xy>0,*,mkN,且mk>,则 ,kmmkmkmkyxyxmk--- 整理得1()mmkmkkxmxkyymk--?-,及幂平均不等式:若*0(1,2,,),iainmN>=蜭,则 11()nnmiimiiaann==邋,得 1111()(1)(()/(1))immnnikkkniiijijaasanaan====----邋 111[(()/(1))](1)()mknnmkijikijmakaannmk--==-----邋111()1…     

一个推广不等式的再推广

利用凸函数及导数理论建立了一个不等式,并利用所建立的不等式得到推广不等式关于根指数的进一步推广.     

一个三角不等式的再改进

本刊1995年第11期第35页上刘宝文对一个三角不等式作了如下推广: 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n①接着本刊1996年第9期第34页上安振平、     

一个不等式的再推广

题目已知x,y,z∈R+,满足x+y+z=1,求证:(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)≥1000/27.     

一个不等式的再推广

本刊2002年第10期第13页的例6把不等式若a,b＞0,a+b=1,则(a+1/a)·(b+1/b)≥25/4.     

一个不等式的再推广

问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1　已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)…     

一个不等式的再推广

本文首先指出了文（１）中存在的疏漏，然后对该文的主要结论进行了指数推广，从而给出本文的定理１和定理２。     

一个不等式的再推广

文[1]的定理 1、2 给出如下两个不等式: n ai k sk?1 ∑s?a ≥ ① i=1 i (n ?1)nk?2 n k 1 n ∑s?a ai ≥ ∑a k?1 ②     

一个不等式的再推广

文[1]给出如下命题及猜想： 命题 设xi〉0（i=1,2,…,n）,n∑i=1xi=1,则n∏i=1（1/1-xi-xi）≥（n/n-1-1/n）^n,（1）,当且仅当x1=x2=…=xn=1/n时等号成立。