问题征解

问题1.10写出10个连续自然数,使其中每一个数都是合数.(要有解答的完整过程,剪下第14页“问题征解”的小三角,贴在信封正面,连同解答一起寄至我刊编辑部.)问题征解     

重启“问题征解”的话

一年来，不少老师、同学们来信、来访询问“问题征解”何时重启，特别是不少教育行家认为我刊的“问题征解”是“提高数学学习积极性、增强自信、在竞争中享受成功……”的好举措，恳切地建议我刊，克服困难尽快重启“问题征解”栏目．这不，新学年伊始，“问题征解”又和同学们见面了，希望大家喜欢它!     

《数学通报》问题173的证明

《数学通报》1 997年第 7期的征解问题是 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 ) ,证明或否定 (记S =x1 x2 … xn) (aij=xixj) :a2 1(S -x1-x2 ) a3 2 (S -x2 -x3 ) … a1n(S -xn-x1)≥ (n -2 )S .①该刊 1 999年第 1 2期刊出一个“证明” ,但陶兴模著文 (《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 1 1期 )指出其错误 .现用归纳法给出一个证明 :①式可化为a1nx1 a2 1x2 … an ,n -1xn ≤ (a1n a2 1 … an ,n -1-n 1 )S .②易见 ,n =3时 ,②式成立 ,现设②式对n -1成立 .不妨设x1是xi(i=1 ,…n)中最大的 ,那么②式左边 =(a1nx1 a2 1x2 -a2nx2 ) …     

问题征解

若整数a，b，c，d，m是使am^3＋bm^2＋cm＋d能被5整除，且数d不能被5整除。试说明：总可以找到这样的整数n，使dn^3＋cn^2＋cm＋d也能被5整除。     

一道征解问题的探究

题目在ΔABC中,求证:1/sin A(1+sin A)+1/sin B(1+sin B)+1/sinC(1+sin C)≥83-12.(《数学通讯》“问题征解”栏目问题495).该题是ΔABC中与角有关的不等式,在证明该问题之前,本文经过探究,得到了ΔABC中与角有关的几个结论.     

有奖问题征解

亲爱的同学们： 我刊的“问题征解”栏目多年来深受好评，不仅数学爱好者欢迎，还被不少教育行家看好，认为是“提高数学学习的积极性、增强自信、在竞争中享受成功……”的好举措．     

一道公开征解不等式的证明与推广

对一道公开征解的不等式进行了证明,并将该不等式推广到更一般的情形,对一般情形也予以证明.最后,探讨了特殊情形下不等式的几何意义.     

“问题征解”解答(一)

《甘肃教育》１９９９年第６期“问题征解”提出了一个征解问题：若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｒ,且ｄ＞１,则Ａ＝（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．（１）本文证明“问题征解”中［注］１：（１）对有理数,即当ｄ∈Ｑ时成立,并可改进为：定理若｛ａｎ｝为等差数列,ａ１＞０,公差ｄ满足ｋ≥ｄ＞０,ｋ＞１,且ｋ∈Ｑ,则Ａ＞ａ１＋ｎｄａ１１ｋ．（２）若ａ１＞０,１＞ｄ≥ｋ＞０,ｋ∈Ｑ,则Ａ＜ａ１＋ｎｄａ１１ｋ．（３）为此,需要证明如下引理：引理若ｘ＞０…     

“问题征解”解答(二)

《甘肃教育》１９９９年第６期“问题征解”要求求证下列命题：［问题］若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｒ,且ｄ＞１,则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．为证明方便,先给出三个引理－（证明略）引理１若ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＜ｂ,则在区间（ａ,ｂ）上至少存在一个有理数－引理２（见上文）若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｑ,且ｄ＞１．则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．引理３若ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）均为…     

运用均值不等式解两道征解问题

问题1(数学通报2020年第12期问题2576)2已知x>0,y>0,y³(5-2x³)=3,求P=2/x²+3y²的最小值.解法1:由3元均值不等式可得x²=1·x·x≤1/3(1³+x³+x³),即x²≤1/3(1+2x³).     

一道征解问题的解法探究与变式拓展

本文就《数学通讯》2022年第1期476问题给出几种解法,然后给出变式拓展,希望给大家学习借鉴.     

对若干数学问题的再感悟

笔者长期关注数学问题解答栏.多年来,笔者从研究这些优美问题的过程中吸收了不少的营养和财富,使学生开阔了视野,提高了他们的解题能力.现在再讨论几道不等式问题的解法(证明),并分析其来龙去脉;供读者参考.     

问题征解

[问题1，10]已知甲桶中有酒精5kg，乙桶中有水10kg，现分别从甲、乙两桶中各取同量的酒精和水倒入对方桶内，然后从甲、乙两桶中取上述同量的混合液倒入对方桶内，这时，甲、乙两桶内的酒精浓度（质量分数）相等，问这两次混合过程中倒入对方桶内的量是多少？     

利用"问题征解活动"培养高中生数学应用能力的实验研究

高中数学教学中,培养学生数学应用能力是十分必要的.“数学应用”是运用数学知识、数学方法和数学思想来分析研究客观世界的种种表象并加工整理和获得解决的过程.数学应用分为两个阶段:首先,由实际问题建立数学模型,形成数学问题(即实际问题数学化);其次,应用数学知识、方法和思想解决数学问题(即解数学应用题).培养高中学生“数学应用”能力的途径主要有:重视数学应用意识的培养,强化数学应用技能的训练,积极开展“问题征解”活动等.     

证明a^3＋b^3＋c^3≥3abc的一种方法

定理如果 a,b,c ∈ R,则 a2 b2 c2≥ab bc ca(当且仅当 a=b=c时取“=”号). 此定理能将三个平方项中每两项的字母通过放缩粘合在一起,使含一个字母的项转化为含两个字     

“问题解决”课例分析

20世纪 8 0年代以来 ,问题解决已经成为数学教育的国际潮流 .美国《2 1世纪的数学基础》指出“问题解决”是一个过程 ,它是“将前面学到的知识用到新的和不熟悉的情景中的过程” 美国著名数学教育家波利亚将解题的过程归纳为四个阶段 :理解问题、拟定计划、执行计划、回顾 在中学数学教学中 ,知识的引入、应用、理解 ,直至纳入已有认知结构、优化认知结构的过程 ,本质上仍然是一个问题解决的过程 .在进行问题解决时 ,学生必须综合所学得的知识 ,并把它应用到新的 ,困难的状况中去 ,这就需要学生使用恰当的方法和策略 ,需要探索和猜想 .因此…     

一个不等式错证引起的思考

笔者在翻阅近期出版的一个杂志时 ,发现一篇题为《一个不等式的简证》的短文 ,全文如下 :已知 :ａ3 ｂ3=2 .求证 :ａ ｂ≤ 2 .证明 :由ａ3 1 1≥ 3 3 ａ3·1·1 =3ａ ,知ｂ3 1 1≥ 3ｂ ,两式相加得ａ3 ｂ3 4≥ 3 (ａ ｂ) .由ａ3 ｂ3=2 ,得ａ ｂ≤ 13 (ａ3 ｂ3 4) =13 × 6