关于一道2006年高考试题答案的商榷

2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科第15题是:将杨辉三角中的每一个数Grn都换成分数1/(n 1)Crn,就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出1/(n 1)Crn 1/(n 1)Cxn=1/nCrn-1,其中x=__.令an=1/3 1/12 1/30 1/60 … 1/nC2n-1 1/(n 1)C2n,则limann→∞=__.     

莫让浮云遮望眼 透过现象看本质——例谈“函数思想”指导下的二项式系数问题解决

1问题的引出引例1(苏教版课本第33页)二项式系数Crn的性质:(3)当rn-1/2时,Cr+1n相似文献   

数列

试题 1（湖北卷，理科第15题）将杨辉三角中的每一个数C′n都换成1/（n＋1）C′n，就得到一个如图1所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形，从莱布尼兹三角形可看出1/（n＋1）C′n＋1/（n＋1）C′n=1/nC′n-1，其中x=_____，令an=1/3＋1/12＋1/30＋1/60＋…＋1/nC^2 n-1＋1/（n＋1）Cn^2,则liman（n→∞）=_____.     

一个不等式的证明

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…     

联想转化 开发“导数”的解题功能

导数是高中数学新增内容 ,引入导数后增加了我们研究函数的工具 ,使有的用传统方法研究感到困难的问题变得简单 .我们应努力开发“导数”的解题功能 ,使它发挥更大作用 .现就几方面的应用 ,举例说明 ,以期抛砖引玉一、巧用导数求和例 1　求 C1n+2 C2n+… +r Crn+… +n Cnn,n∈ N*的和解 :根据 ( xn )′=nxn- 1可联想到它是另外一个和式的导数 .∵ ( 1+x) n =1+C1nx +… +Crnxr +Cnnxn两边都是关于 x的可导函数 ,求导得 :n( 1+x) n- 1=C1n +2 C2nx +… +r Crnxr- 1+r Cnnxn- 1令 x =1得 :C1n +2 C2n+… +r Crn +… +n Cnn=n . 2 n- 1.…     

初、高中教学衔接一例——莱布尼茨调和三角形与杨辉三角

新课程改革以来,莱布尼茨调和三角形由中小学生竞赛题进入了普通中小学生的视野. 例1 (2006年中考山东省日照市卷第17题3分填空压轴题)德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数): 根据前5行的规律,可以知道第6行的数依次是:_________.     

一个不满足莱布尼茨定理条件的交错级数收敛的判定

讨论了一个不满足莱布尼茨定理条件的交错级数∞Σn=2(-1)n-1/√n+(-1)n收敛性的判定方法,并进一步讨论了比其更一般的级数∞Σn=2(-1)n-1[n+(-1)n]p(p＞0)的收敛性.     

中考数学阅读题的解法

近年来,在全国各地中考数学试卷中,经常出现一种阅读题,这类题主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力,运用数学知识分析和解决实际问题的能力。一、阅读、观察、猜想例1:(2003河北)如图1是用火柴棍摆出的一系三角形图案。按这种方式摆下去,当每边上摆20(即n=20)根时,需要的火柴棍总数为根。分析:通过阅读观察、发现:当n=1时,有一个三角形;当n=2时,有2×(2+1)2=3个三角形;当n=3时,有3×(3+1)2=6个三角形…,可以猜想,当每边摆上n根火柴时,有n×(n+1)2个三角形,而每个三角形有3根火柴,故总数Sn=3n×(n+1)2根火柴。当n=20时,S20=3…     

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c,且有a2 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”这就是勾股定理的逆定理.它是初中几何中极其重要的一个定理,有着广泛的应用.下面举例说明.一、用于判断三角形的形状例1如图1,△ABC中,BC=a=2n 1,AC=b=2n2 2n,AB=c=2n2 2n 1.求证:△ABC是直角三角形.证明:由已知得:c>a,c>b,即c是最长边.∵a2 b2=(2n 1)2 (2n2 2n)2=(2n 1)2 4n4 8n3 4n2=(2n 1)2 2×2n2(2n 1) (2n2)2=(2n2 2n 1)2=c2,∴△ABC是直角三角形.二、用于求角度例2如图2,点P是等边△ABC内一点,且PA=3K,PB=4K,PC=5K,求∠APB的度数.…     

行程应用题学习指点

1.公式提出有一批产品,其中有n件正品和m件次品,从中任取r(r≤m)件产品进行检测,若ξ表示取到的次品数的件数,求取到的产品的次品数ξ的个数的数学期望Eξ与方差Dξ.为了更快更简捷地解决这类计算问题,笔者给出以下两个公式,即:Eξ=mrm+n,Dξ=mnr(m+n-r)(m+n)2(m+n-1)(这里,0≤r≤m,且m,n均为正整数,r为非负整数)2.公式证明显然ξ的分布列为:ξ0123…rPC0mCrnCrm+nC1mCr-1nCrm+nC2mCr-2nCrm+nC3mCr-3nCrm+n…CrmC0nCrm+n　　Eξ=C1mCr-1nCrm+n+2C2mCr-2nCrm+n+3C3mCr-3nCrm+n+…+rCrmC0nCrm+n∵iCim=i·m!i!(m-i)!=m·(m-1)!(…     

有正确答案吗？

问题一个等腰三角形两边的长是m和n(m>0,n>0,m≠n).求该三角形的周长.看起来“问题”很简单,可这里面隐含着重要的基本概念和基础知识,一不留神,便会解错.原题并没有指明m是腰长,因此要分析情况后给出答案:当腰长为m时,三角形的周长=2m+n;当腰长为n时,三角形的周长=2n+m.上面这种解法对吗?先用具体的数值试一试:设m=2,n=1,由上面的解法便有(ⅰ)当腰长为2时,三角形的周长=5;(ⅱ)当腰长为1时,三角形的周长=4.可是,答案(ⅱ)中边长1,1,2不能构成三角形,这说明答案(ⅱ)有误.还有人这样解:当腰长为m时,若m>n2,则三角形的周长等于2m+n;当腰长为n时,…     

一类特殊三角形的一个性质及其推论

文[1]中给出了二倍角三角形的一个性质及其应用,作为该文的补充,今给出n倍角三角形的一个性质及其相应的一些推论。下面用A、B、C表示△ABC的三内角,以a、b、c分别表示它们的对边 定理 在△ABC中,若A=nB (n∈N),则 a~2=b~2 bc·sin(n-1)B/sinB 证明 在△ABC中,因A=nB,故C=180°-(n 1)B ∴sin~2B sinC·sin(n-1)B=sin~2B sin(n 1)B·sin(n-1)B =1/2(1-cos2B)-1/2(cos2nB-cos2B)     

湖北卷

1.设过点尸(x，刃的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点尸关于y轴对称，O为坐标原点，若刀尸一21竹，且〔p·八刀一1，则尸点的轨迹方程是() (A)3X2+普，2一1(X>。，，>。). (B)3X2一号yZ一1(二>o，，>。). 1.，，._、、._，，_.，、、._、数了一:-二二二，就得到一个如下所示的分数三角一(n+1)c二‘”一”一形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可_.‘，_1 .11‘，_以有出丁一一丁，下罗二十:---尸二甲二二-一二二，-，共甲x扭十1)七石Ln十1)试成尹卜1 1 .1 .1 .1一—·令“一言+在十俞十俞+…十1 .1一二二…     

一个组合数恒等式的三种证法

一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1　倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2　逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+…     

多项式(a1+a2+a3+…+am)n展开式项数之初探

(a+b)n二项展开式有(n+1)项,(a+b+c)n三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出:[(a+b)+c]n=C0n(a+b)nc0+C1n(a+b)n-1c1+…+Crn(a+b)n-rcr+…+Cnn(a+b)0cn,其展开式共有(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=(n+1)(n+2)/2项.那么(a1+a2+a3+…+am)n展开式又有多少项呢?     

思维空间站

1.求函数y=8/|x|-1+(5x-4)~(1/2)0的自变量x的取值范围.2.直线nx+(n+1)y=2~(1/2)(n为正整数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1,2,…,2000),求S1+S2…+S2000的值.3.已知一次函数的图象经过点(2,2),它与两坐标轴所围成的三角形的面积为1.求这个一次函数的解析式.4.求证:不论k为何值,一次函数(2k-1)x-(k+3)y-k+11=0的图象恒过一定点.5.如图1,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BC=4,AC=3,点P为CD上     

勾股定理逆定理的应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c,且有a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理,有着广泛的应用。下面举例说明。一、用于判断三角形的形状例1 如图1,△ABC中．BC=a=2n+1,AC=b= 2n2+2n,AB=c=2n2+2n+1, 求证:△ABC是直角三角形     

正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

相邻两数的特性

假定相邻的两自然数是m与n,并且m相似文献   

2006年江苏省高中数学联赛复赛试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.若-2≤x+1-ax-1≤2对x∈R恒成立,则实数a的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)无数个2.已知△ABC内接于单位圆,则长为sinA,sinB,sinC的三条线段()(A)能构成一个三角形,其面积大于△ABC面积的21(B)能构成一个三角形,其面积等于△ABC面积的21(C)能构成一个三角形,其面积小于△ABC面积的21(D)不一定能构成三角形3.已知α,β∈(0,2π),且sin2α=cos(α-β),则α与β一定满足()(A)α<β(B)α>β(C)α+β<2π(D)α+β>2π4.设an=n2+n+2(n=1,2,…),则在数列{an}中()(A)有无穷多个质数(B)有且只有有限多个质…