对一道解析几何模考题的探究

正题目如图1,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2,圆C2将椭圆C1的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)①设PM的斜率为kPM,直线l的斜率为t,求kPM t的值;②求△EPM面积最大时直线l的方程.(2014年宁波市高三十校联考数学模拟试题     

同心椭圆与圆的一个性质

<正>已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A1,A2分别为C的左、右顶点.结论1如图1,若椭圆C和动圆C1:x2+y2=t2(b相似文献   

巧用圆解椭圆问题

圆是椭圆的一个极端图形,而圆的性质已为大家所熟知,如何把椭圆方程转化为圆方程呢? 笔者经过探究得到以下结论: 设椭圆方程为x2/a2 y2/b2=1,令x=(a/b)x’,则得圆方程:(x’)2 y2=b2,若令y=(b/a)y’,则得圆方程:x2 (y’)2=a2．用这个结论解题,不仅思路清晰,和谐优美, 而且解题过程简捷明快有新意,可以收到事半功     

解析几何中的一个快捷键——圆锥曲线的割线的斜率

1.定义:如果一条直线l交圆锥曲线C于A、B两点,则称直线l为圆锥曲线C的割线. 2.公式:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB的中点N(x0,y0). 椭圆:x2/a2+y2/b2=1的割线AB,则kAB=-b2x0/a2y0. 双曲线:x2/a2-y2/b2=1的割线AB,则KAB=     

高二数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:y=1,l2:3x+y-1=0,那么直线l1与l2的夹角为()(A)60°(B)120°(C)30°(D)150°2.若a,b∈R,且a3>b3,则下列判断正确的是()(A)1a<1b(B)1a>1b(C)ab3.若直线l经过点(3,-3),且倾斜角为30°,则直线l的方程是()(A)y=3x-6(B)y=33x-4(C)y=3x+43(D)y=33x+24.已知F1、F2是椭圆x42+y22=1的两个焦点,P是椭圆上的点,若PF1·PF2=0,则这样的点P有()(A)2个(B)4个(C)6个(D)0个5.抛物线y=-31x2的准线方程是()(A)y=23(B)x=61(C…     

对一个错误结论的分析

2012年《数学教学》第2期19页有这样一个结论(结论3):已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),过直线x=a2/t(0＜t＜a)上的点P的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D,则弦AD、BC都过定点N(t,0). 分析:实际上在这篇文章中,结论3是结论2(已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),弦AB、 CD都过定点N(t,0),则AC、BD的交点都在直线x=a2/t)上的逆命题.     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

圆锥曲线的又一组有趣性质

定理1圆F以圆锥曲线的一个焦点F为圆中学教研·中学教研·心,以其通径之半为直径.过F的直线l与圆锥曲线、圆F依次交于点A,B,C,D,则|AB|·|CD|为定图1值(其值为圆半径的平方).下面以椭圆为例证明该定理,对于其它圆锥曲线不难类似证明.如图1,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆F:(x-c)2+y2=b44a2(其圆心为椭圆的右焦点,直径为通径之半,即r=b22a).过F的直线l与椭圆、圆F依次交于A,B,C,D,欲证|AB|·|CD|=b44a2.证明若直线l的斜率不存在,验证可知结论成立.若直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-c),①将①代入椭圆方程,整理得(b2+a2k2)x2-2a2ck…     

2013高考江西解析几何(理)试题的探源与拓广

2013高考江西理科第20题是一道解析几何题,题目为:如图1,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)经过点P(1,3/2),离心率e=1/2,直线l的方程为x=4.     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

《直线、圆、圆锥曲线》单元检测题

一、选择题:每小题5分,共计60分,答案唯一1.直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是()A.[0,π)B.[π4,3π4]C.[0,π4]∪[3π4,π)D.[-π4,π4]2.直线(x+1)a+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是()A.相切B.相交或相切C.相离D.不能确定3.已知椭圆的准线是x=4,对应的焦点F(2,0),离心率e=12,则椭圆的方程是()A.x28+y24=1B.2x2+3y2-7x+4=0C.3x2+y2+28y+60=0D.3x2+4y2-8x=04.设θ∈[-π,π],点P(1,1)到直线xcosθ+ysinθ=2的最大距离是()A.2B.2C.2+2D.2-25.过A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.…     

直线与圆的典型题例解析

直线与圆是解析几何知识的基础,也是近几年高考的热点内容,因此,熟悉、掌握一些直线与圆综合问题十分必要. 例1已知圆C与圆C1:x2+y2-2x—=0外切,并且与直线l:x+ 3~(1/2)y=0相切与点P(3,-3~(1/2)).求此圆C的方程. 求圆C的方程要先确定圆心的坐标和半径的长.可设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,因为圆C与圆C1相外切,且圆C1的半径为1,所以两圆的圆心距|CC1|=r+1.又因为与直线l相切与点P,所以圆C的圆心在过P点与直线l垂直的直线上,且圆心到直线l的距离等于半径r,依据圆的几何性质即可求出参数a,b、r 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.     

一道高考题的另解

题 (Z009安徽理科20题第一小题)点P(x0,y0)在椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上,x0=acos,y0=bsinβ(0＜β＜π/2).直线l2与直线l1:x0/a2x+y0/b2=1垂直,O为坐标原点.直线OP的倾斜角为a,直线l2的倾斜角为γ.     

椭圆的一个优美性质

经研究发现,椭圆有如下一个优美性质:定理A为椭圆(x2)1/2(a2)+(y2)1/2(b2)=1(a>b>0)上一个动点,B为直线y=(ab)1/2c上一点,若OA⊥OB,则直线AB与圆x2+y2=b2相切.证明如图1,设直线OA方程为y=kx(k≠0),则直线OB方程为     

数学竞赛单元训练题(高中) 直线与圆

一、选择题1 .已知P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 )分别是直线l上和l外的点 .若直线l的方程是 f(x ,y) =0 ,则方程f(x ,y) -f(x1,y1) -f(x2 ,y2 ) =0表示 (　　 ) .A .与l重合的直线B .过P1且与l垂直的直线C .过P2 且与l平行的直线D .不过P2 但与l平行的直线2 .已知三点A(-2 ,1 )、B(-3 ,-2 )、C(-1 ,-3 )和动直线l:y =kx ,当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时 ,下列结论中 ,正确的是 (　　 ) .A .点A在l上　　B .点B在l上C .点C在l上　　D .点A、B、C均不在l上3 .与圆 (x -a) 2 (y -b) 2 =4(a2 b2 )和圆 (x a) 2 (y b) 2 =4(a2 …     

直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.