一个无穷数列之和的简单解法

资刊91年竿3期pZg提供了灼告溉率模型求无穷数列:宾+了2一头)经、十r;一』,丫,一{,).于,+…+‘”‘2,‘(一22/32‘火’2,/\3,/42’仁劲书:)…(卜;:)。、与、2+…之和的一种方法.下面应用递推关系给出另一种更为简捷的解法.月一1 “,=。打“一‘(”》2)。反复应用这个递推关系.得a.噢刀+l 玲一2“万一.a。一,=’~= 6a:r:(”+1)’6a2(解:当”)2时数列灼通项为a.一、‘二一二一;(一击).气一(‘一;加一;i)..·当”=1时,也有奋一;(;(卜南)一南) (卜劫瑞为‘’”·岩一妇一奋)磷。一黯·S,从而这个数列之和为s二l*二。s二粤 ~、~自一个无穷数列之…     

有理数竞赛题归类解析

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,对于学有余力的同学开发智力极为有利.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛中的有理数赛题,介绍这些试题的题型特点和解题思路,供读者参考.一、求值计算题例1计算:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901=摇摇摇摇.(2001年)分析这里有99个数相加,考察每个数的特点,应适当变形之后再结合相加.原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…(1000-9)+(1100-10)+…+(9900-98)+(10000-99)=(200+300+400+…+10000)-(1+2+3+…99)=(200+10000)×992-(1+99)×992=5100×99-50×99=(5100-50)×99=499950.例2计算:2÷3÷7+…     

一个无穷数列之和的简单求法

贵刊引乍节3!’注君沟造{睽率模型解题一例乡给出孙一:、一个习。:求无穷数列{、+(卜奋)·卡(3X5)(4x6…【(。一i)x(。+1)]”+l)! 1=2云(。+i)--*(,一参一)(卜封·带十一十(‘一斌一宁)二(‘一带)·了汁下十…之和. 对这一习题作者在文中认为‘这个数列构造较复杂,用初等方法难以理出头绪”.事实上并不是如此,下面本人刘一比给出简单的解答以飨读者. 解:设该无穷数列的第。项为a。,前。项之和为5.,一音(青一命),S一+一+…+一蚤[(1一去)+(一杏一封+…+(青一命)1一钟一命)s二1 ims.二喜. _~‘~乙- 几-,,甲目所有各项之和为5.则a。=丝X;亏)(2…     

例说思维中的“常规”与“创新”

、.、少/qJ一厅‘ + 在解题思维的训练中要鼓励学生一题多解,在抓实通法的基础上寻求问题的最优解. 22 42 例1求和凡二二二二+一二十…+ 1·3’3·5&一(‘+l)+(掀)+(:+…+(病+击)2、/23\习十又百十习+“’ +111八」矛/犷.、、、 + 1l 一一 (Zn)“(Zn一1)(Zn+1)‘ 数列求和的思维常规是围绕通项变形,然后因势利导地根据它的结构“造型”. 解法1: (2。)2 /几一1。\十l:,一一一-丁+二,一-一二,!+ 、zn一1 zn一1/ 几Zn十1%=i酉石二1灭面拜丁) =n十解法3: 几Zn+12。(。+1) 2几+1一‘嘛瑞而一‘+;}病一击}O牡(2。)“(Zn一1)(Zn+1)202(2。+1)一…     

两道常见题的简单解法

题一求无穷数列 1/2~2+(1-1/2~2)·1/3~2+(1-1/2~2)·1/4~2+……+(1-1/2~2)(1-1/3~2)…(1-1/n~2)·1/(n+1)~2+…… (*)之和。贵刊1991年第3期P_(29)指出:这个数列构造较复杂,用初等方法难以理出头绪,于是,用构造概率模型的方法才求出了这个数列的和,但其解法太繁。在此之前,《数学通报》1983年第5期P_(15)和《初等数学解题方法研究》(欧阳维诚,湖南教育出版     

怎样理解数列1,22,333,4444,…,的通项?

4444,…的前”项之和。n一9 一题:求数列1,22,333,解这个数列的通项是: a。二九(10”一l+10”一“十…十10+1)=n(10”一1) 910”n 9设1 X 10 91 x 102 9+呈圣l蟹 9十;兰里旦i 9+一竺兰丝二 9空匕些旦9生+ 9刀X 10 9。+1则10一9 十 +n一Q口呀工一一一。 P。.’.P。·10P。一10尸。=丝+ 9n X 10“+立 9=些(z十,o+102+ U\…+10了一’)一竺曾里10P10 10.一1n xl呀)”+199P l729〔10+(gn一1).10“干‘〕最后答案为 l1458通2(gn一1)10”“一81n叮n+1)+20}上述题目和相同的解法,见于多种习题集。笔者认为,这题的题意不明确。上面解答中写出的通…     

数列创新题分类解析

一、定义新的概念 例1定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一 个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{久}是等 和数列,且内二2,公和为5,那么al8的值为,这个数列的前n项和凡的计算公式 为 解析由题意可知:al+娇时解……=a砂al户……二口冬l+电二叱+电+l二5. ,.’自二2,:沼户3,口声2,内二3.…… .’.当n为奇数时,气二2;当n为偶数时,华 3.…al户3. 当n为偶数时,有答个2 乙 合个, .2十华 2 _sn .J二气罗。 2 “一2 年 当动奇数时,有旱个3, 乙 二二二~个2 2 几+1 ,、号·3+警·2=等·…     

棋子摆法探究

题目:000 00000 0000000OO个“T,,字应该需要【(2·10+1)+(10+1)1=32枚棋子;’··…;以此类推可知第。个“T”字应该需要【(2·。+1)+(n+1)!=3n+2枚棋子,000 (1)(2)(3) 图1 图1是用棋子摆成的“T”字. (l)摆成第1个“T”字需要多少枚棋子?第2个呢? (2)按这样的规律摆下去,摆成第10个“T’,字需要多少枚棋子?第。个呢?这个探究规律型问题,选自《数学》七年级下册(北京师范大学出版社). 这是一个激发学生学习数学兴趣、发展学生数学思维能力的好问题.为此,本文对此间题的各种不同的思维方法加以归纳整理,供读者们参考. 文中所指问题的第(l…     

“1992”趣题

国求证 证明:愉扮是合数告茹带g卫竺誓卫至2卫宜擎卫(10996十l)(10996一l) 9=(1 0996+l)(10995+10994……十10+1)由此可知箭带是合数曰:几,,、COSx』CosZx Cos3x.}乙l仁又I、X少~只-州卜下-甲丁-一卜丁丁,下尸.-卜‘~J七OSX七05一X七05一X+Cos.(2 X 1 992x)CosZ又1992x试求f(二、、4解:f(x)+1= SinZxCOSXSinX+COSZxCosZx+COS3XCos3x+·””’.Cos(2X1992x)十一一-下尸,丁:节品兮二-,一 七05’·一人Sin3XCosZx Slnx Sin+C璐3XCos3x+·”.’.华竺簇黑黔丛(2X1992十1)xCoxZx19OZX Sinx“专,-sin(2 x 1 992+l)x弃—一1eo…     

一类数列的一个求和公式及应用

下面定理包括等比数列、等差数列在内的一类数列的求和公式,证明简单,应用方便。定理.没s一习。。,且 几=1 f(”)+口(ft)_“““=f(”千万一。.’则习。(‘)a、一f(n+‘)‘·+,一f‘,)a,·(,) 幽.1特别地,当试n)兰a护。,则s。二冬[f(。+,)a.+:一l(,)。门证明:由条件有,i(自+1)外+:=f(儿)a*+夕(k)a。,从而习,(k+‘)。+,二习f(‘)a。+习。(“)。。, 例3 .0,二(P+,)(P+。+l)…(P+”+口).(叮为整数,q共一2),求S。.自目1几=1为路1韶气卫二史士丝士夕士生,盯a。P十件(移一1+P)+(q+2)协+p并项即得,(。+,)a,+:一,(,。a,+习。(k,口。·f(”)二n+P…     

从一道高考题谈“放缩”的策略

先看2004年一道高考数学题:已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n≥1).(1)写出数列an的前三项a1,a2,a3;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对于任意的整数m>4,都有1/a4+1/a5+…+1/am<87.这是一道涉及探求递推数列的通项公式,特殊数列求和,放缩法证明不等式的题目,有较强的综合性.下面我们主要分析第(3)题.分析1由(1)、(2)可知:an=3/2[2n-2+(-1)n-1](n≥1),从而要证明的不等式可化为:2/1+6/1+1/10+…+3/2·2/(m-3)+(1-1)m-2+2/3·2m-2+(1-1)m-1<7/8.显然该不等式左边无法直接求和,此时应先对左边每一项进行放大变形,然后再求和.但考虑到左…     

等比数列求和公式的一个应用

本文提供等比数列前n项和公式的一个应用—求一个自然数所有约数的总和. 设自然数N的标准分解式为 N=尸户·尸争·尸黔……尸矛(P1,尸2,尸3,……尸。为质数.并且Pl<尸2<尸3<……<尸:;a,,aZ,气,……,a,为自然数) 。I入厂,。,.。。_二二。p夕;p刀:D几D凡、‘ 则万的约数必是形如尸护尸厂尸护……尸价的数 ‘其中夕.为非负整数.且夕‘《a‘,i~l,2,3,·一,n)而(l+Pl十月+……+呼,)(1十尸:十代十……+尸物二,…(l+氏+尸盖+.··…+尸黔)展开后的每一,,二二、胡,胡召。几胡.,‘二~*谓项都是形如辉‘邢‘p护……尸言“的数,因而每一项都为N的约…     

用复数三角式变形解三角函数问题

有关三角函数的问题,角式变形公式求解. 设复数三角形式 之=cogo+艺sino, :一丈二eoso一艺sino。 (1)·:一(2)·z整理,得 月可应用复数的三:2“+1 2全”⑥(l) (2)二2’‘一1乞(呀云不万’艺(z艺”+1)⑦5 ino二(1)。之十:2一12艺二(2)·z整理,得 z艺+1 2之COS左0二tgn口二e七gno二,2月1① 上述八个变形公式,把角分别用复数z的代数式来表示⑧0的三角函数,可把三角函C080=②数的问题转化为代数式的恒等变形的问题.由同角三角函数关系,得例1求sin等一s‘n磊的值·tgs22一1叔二「不乃一,③解:设z=cos工十10乞5 Ine七90=玄(z“+1)④由棣莫佛定理…     

《北京师范学院学报》(社会科学版)1992年总目录

政条么I口一人叔与道德·- 一兼评人权道德化倾向‘…~………~………~~“-…·…·………·…一,’’…………··…一王锐生(第1期)从巩固社会主义看反和平演变·,....”...···”1····”···”·~~-一,’’,··,”·”~”“··““一,f’·…:,’’高文生(第1期)一西方“和平演变”对当代青年的影呱我们角对知…-··”~…‘··启....“..“~··“··.’.···“一‘一刘艳军(第1期)试论中国人生哲学的历史地位和现实意义,””~:.””……“”·”….….”,….”·”··…“~….”·”·詹万生(第1期)马克思恩格斯和施蒂…     

数列陷阱题剖析

例1已知等差数列的首项是 ,第10项为开始比l大的项,求数列 1一25 公差d的取值范围. ,解一>,,…六+gd>,·解得 8 d>秀· 剖析等差数列第10项为开始 比1大的项,隐含了第9项小于或等于 1的条件. 正解据题意得 一*六·,d>,, 、六+8d、‘4 解得晶。‘会 例2已知数列《久!是递增数列, 且华n斗人n,求实数A的取值范围. 错解因为‘二价+人n为n的二次 函数,它的对称轴方程为:二一粤,所 一一’~一’‘「‘’一-一一2”’ 以,欲使数列{叼为递增数列,则必须 ^___ 使一于簇l,即A〕一2. 一2 例析 ._二_._.__,A 本题的一陷研”在一丁续1 ‘ 它只是数列{叼…     

分析法证题与每步可逆小议

1991年冬,某地区高二中考数学试题中有如下一题:已知:a>b>0,求证:a仍一乙饥 nZ>”>0,a几一乙牲歹耳不而>万可弃石孔. 在评分标准中给出的解答是: 分析法:’:a>b>o,二>7,>o,:’只需证(a饥一乙,)(a几+乃”)>(a朴一尹)(a”十少)······························……(1分)即a饥+枯一a”b侨+a,b,一乙饥+牡>a饥+”一a饥乡介+a”乡仇一西饥+件, 只需证:俨乙”)a”沪······……(2分) 只需证:‘勃“一”>:......……(。分) 乃【川~三、西//‘、。刀/分析使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些…     

多姿多彩的有理数竞赛题

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,趣味无穷.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛题中有理数赛题,供大家学习参考. 一、计算求值题 例1 计算:199+298+397+… +991+1090+1189+…+9802十9901=__.(2001年初一赛题) 分析及解:这里有99个数相加,考察每个加数的特点,我们将每个加数适当变形之后再相加: 原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…+(1000-9)+(1100-10)+(1200-11)+…+     

本刊1993年总目录

。‘‘暂。’学一政 治_l' ,噬.‘妒越+气?t:i‘:.沦I卜冈传统哲学的负价值系统…………………………………………………朱宗信f l一22)r}】㈧I宁j℃中i学中的“超越解脱”意识…………………………………………高 杰(1雌)入炎行为研究疗法论舯÷题思考,……譬·’._.?·“·:r!…·,¨!“-.·’”‘::‘,一:一·’………胤少:拳。(t:l一33)改卟jl:放.。l-j心维,『式的变革………………-:-’.…….--·………咿…一…、··..一高静文‘2—1)混沌学及J￡哲学意义………………………·t…心0一”“v………·…...”··“郝宁湘(2—25)“三…     

“化学练习题选(一)”部分习题解答

(题见本刊一九七九年第三期) 第+五题解: 点火爆炸发生的化学反应是:2C0+02二ZCO?,体积减少45一40=5(毫升)。 用KOH处理后,由于C02被吸收:ZKOH+COZ=KZCO3+H20,体积减少40一15“25(毫升)。 根据第一次体积减少.可求出反应后生成的c02体积。从反应式知道,生成2体积coZ,整个气体体积就会减少1体积。 l:2=5:xx=10(毫升).…生成的Coo 25一10二15(毫升卜··…原来混合气体中COZ的体积。器x‘。”%=33·3%……coZ的百分含氢 又根据反应式知道,有10体积COZ生成,一定有10体积CO反应,这就是混合气体中CO的体积(因为CO是完全氧化)。兰45…     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…