数列中的两个恒等式

数列综合题已越来越多的出现在高考试卷中,且多以压轴题与考生见面,在这些综合题的求解中又经常会用到两个恒等式an=a1·(a2/a1)…(an/an-1)及an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1);对于这两个恒等式,如果我们能恰到好处     

例谈两个数列恒等式的应用

我们熟知两个数列恒等式1．α_1 (α_2-α_1) (α_3-α_2) … (α_n-α_(n-1))=α_n．2．α_1·α_2/α_1·α_3、α_2……α_n、α_(n-1)=α_n(α_n≠0)．笔者在教学中发现这两个恒等式在求数列通项及数列恒等式与不等式的证明中有着不可低估的作用．下面举例说明上述恒等式的应用．     

两个三角恒等式的应用

在三角恒等式sin(二+掩6)。竺逻叫·+丫吟口一2 n Scos(x+存6)二醋一(·+号“)~~~,.~.,.‘.,.-1习h-..-1名柯中,令 一1 口。2才=拜,口=”(,:〔N,。)2)则有一a+殊兀。5 In-一—---一一二二U云。os。绝一,壳一0艺曰 运用这两个公式,值计算问题. 例1计算:(1)可方便地解决一类三角式的求 4几+cos~了一十毋舀6汀7纷︸7 O+cos瞥+。05‘号‘+。05垮些 7,‘、兀(名)COS石ee COS O通1 5﹁曰.0兀r、/.r OU 解:(1)原式==一1。Zk才eos一7一e0SO二0一1(2)注意到eos 衬=cos万,CoS加扬 3对=cos百 cos石 2对一cos一万 介=COS~二.十COS b旦丝6 1/兀…     

两个重要恒等式的应用

1 两个重要恒等式 an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1）（n≥2）,     

两个重要恒等式的应用

一、两个重要恒等式an=a1 (a2-a1) (a3-a2) … (an-an-1)(n≥2),an=a1·aa21·aa23·…·aan-n1(n≥2).在求解数列问题时,我们可以探讨an-an-1,或aan-n1的表达式是否可导出.如果能寻求到,那么利用上述两个恒等式,可以方便得到an的表达式.二、应用1.求指定项例1数列{an}满足an 1     

两个新的三角函数恒等式及其应用

定理　设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ)　　将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (…     

两个反正切恒等式及应用

两个反正切恒等式及应用潮斌（安徽省铜陵市三中２４４０００）反三角函数是高中数学中的一个难点,中学教材中又未涉及到反三角求和问题,但在高三复习阶段却常碰到这类问题．为此,本文特介绍两个反正切恒等式,并举例说明它们的应用,以作为对这部分内容的补充与延伸．...     

两个代数恒等式及其应用举例

两个代数恒等式:①ab+a+b+1=(a+1)(b+1);②ab-a-b+1=(a-1)(b-1).利用这两个恒等式,可以解决一些与整数有关的问题.以下通过举例加以说明. [例1]已知方程x2+ax+1-b=0的两根是正整数,求证:a2+b2是合数. 证明:设方程x2+ax+1-b=0的两根为x1、x2,则x1+x2=-a,x1x2=1-b. ∴a=-(x1+x2),b=1-x1x2. ∴a2+b2=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=x21x22+x21+x22+1=(x21+1)(x22+1). ∵x1、x2都是正整数,∴x21+1与x22+1都是大于1的正整数.     

两个三角形对偶恒等式

<正>近日,笔者发现了涉及三角形各边上的高及旁切圆半径的两个对偶恒等式.定理在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别是它的外接圆半径和内切圆半径,ra,rb,rc分别为三边上的旁切圆半径,ha,hb,hc分别为三边上的高.则有:     

三角形中的两个恒等式

定理设尸是△ABC内任一点,过尸引三边的平行线,这三条直线把△A召C分成六个部分(如图),记△ABC的面积为S,则 (l)s一(袱歼 了云了十了瓦)2.(2)S=(S,S。 Sose SeS,)2证明:(l)// BC,FG// △DH尸 25,S,Se DE// AC,AB,的△ABC,A片//助△尸FE的△ABC,△G尸J的△冰BC.凡\Sc 卜 H尸训瓦… 丽一万’ 了瓦P,I一丫了’邵一叨E一C月F一B一gJ一.子了了/一尸 一一一S一E 了了一r户 一一即辛-亦即奈-丫云丁了了丫亏丁了了尸而丁 丫瓦 H尸十FE HP十丫万FE 尸J一BF FE EC一召C,一了瓦. 子丫瓦 产厂盯了云丁十,/云丁 JZ云丁)2. …     

两个重要的三角恒等式

两个重要的三角恒等式杨变清郭海萍ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（－Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝４ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ……（＊）其正确性既可由左和差化积到右,也可由右积化和差到左。在（＊）中分别以π２＋Ａ、π２＋Ｂ、π２...     

反函数中的两个重要恒等式及其应用

在反函数这一章节的教学中，笔者发现以下两个恒等式在解题中应用广泛。     

两个恒等式的概率证法

本文对两个恒等式的证明,用概率论的思路给出一种证明方法,并从中引申出几个恒等式的证明思路.     

两个简单恒等式的妙用

众所周知:mn+m+n+1=(m+1)(n+1) (1) mn-m-n+1=(m-1)(n-1)(2) 利用上述恒等式可以巧解某些竞赛题,下面举例说明: 例1 (1993年北京初中预赛试题)若自然数m、n满足m+n>mn,试求:m+n-mn的值.     

数列的两个性质

背景 :本文将高一数学新教材第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题 :“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 + b+… + bn=7n+ 2n+ 3=f ( n) ,求 a5b5.”进行深化延拓 .得到了等差数列与等比数列的两个新的性质 .定理 1　有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn 与 Sn′之比为 Sn Sn′=f( n) ,则　( 1 ) ambm=f( 2 m- 1 ) ;( 2 ) am+ am+1 bm+ bm+1=f( 2 m) .证明　 ( 1 )∵ {an) ,{bn}均为等差数列 ,∴ 2 am=a1 + a2 m- 1 ,∴ S2 m- 1 =a1 + a2 +… + a2 m- 1=a1 + a2 m- 1 2 ( 2 m- 1 ) =2 ( m- 1 ) am.同理 S2 m- 1 …     

两个有趣的递推数列及其应用

一、两个递推数列的有趣性质 考察如下两个递推数列 a_0=1,a_1=1,a_n=2a_(n-1) a_(n-2),b_0=0,b_1=1,b_n=2b_(n-1) b_(n-2)。由特征方程可得 它们有如下关系: 定理一     

两个数列构成的新数列的极限

由两个收敛数列进行混排或按某种特定关系进行组合,得到一个新的数列。对这个数列的敛散性进行了探讨.     

两个三角恒等式的几何证法

笔者曾在文[1]建立过如下两个三角恒等式：cosa＋cos（12O”－a）＋cos（12o”＋a）一0,sina－sin（1200－a）＋sin（12O“＋a）一0,其中a为任意角．下面笔者再给出这两个三角恒等式的一个统一的几种证法．形,0（0,O）既是外心又是重心,因此两个三角恒等式的几何证法@田彦武$宁夏固原一中数学教研室!756000 @申笃轩$宁夏隆德中学!7563001田彦武.一个三角恒等式的几何解释及其应用.中学数学月刊,1999,5.     

两个三角恒等式的几何意义

这两个三角恒等式用三角方法不难证明.现从几何角度给予证明，从而明确其几何意义.如图，设内切圆半径为1，圆心为O，切点为D、E、F，由海伦公式，得此三角恒等式的几何意义可解释为：三角形的面积等于其内心分成的三个小三角形面积之和.此三角恒等式的几何意义可解释为：△DEF的面积等于其外心分成的三个小三角形面积之和两个三角恒等式的几何意义@胡大柱$安徽滁州市腰铺中学     

学好两个基本数列

<正> 数列是高中数学新教材中重要内容之一,等差数列和等比数列是两个特殊的基本数列,同学们在学习中要掌握好它们各自的特点、定义、性质、通项公式和前n项和的公式.