一道竞赛题的新解法及其推广

省第二届初中数学竞赛有这样一道试题:“P是等边三角形ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。”贵刊90年第10期P20,《一道竞赛题引起的思索》介绍了该题的四种解法,并将△CDP是三边长分别为3、4、5的直角三角形,联想到涉及一个内角为60°的整边的三角形。     

可用轴对称解的一类赛题

在初中数学竞赛中,曾出现过以下一类试题,解这类题目,学生比较困难。本文利用轴对称知识,给出这类试题的统一解法。 [试题1] P是等边△ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。(浙江第二届初中数学竞赛决赛试题) 解:分别以△ABC的三边为对称轴作P点的对称点P_1,P_2,P_3,并分别连结各相邻顶点(如图1)于是P_1B=P_2B=PB=5,∠P_1BA=∠PBA,∠P_2BC=∠PBC。又因△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,则∠P_1BP_2=120°。连结P_1P_2,在等腰△P_1BP_2中,     

三角形内的比例线段问题——从AIME的几道竞赛题谈起

自八三年举办至今的六届AIME(美国数学邀请赛)竞赛中,曾多次出现三角形内的比例线段问题。现摘录如下: 例1 (第二届 AIME 3题,1984) 在△ABC内部取一点P,过P作三条分别与△ABC的三边平行的直线,这样所得的三个三角形     

“法格勒洛问题”的另一种解法

正在《初中数学竞赛讲座》中,给出了"法格勒洛问题"两种不同的解法,即:"费叶尔解法"和"许尔瓦兹解法".本文给出另一种不同的解法,以期对读者有一定的参考价值.法格勒洛问题在△ABC的三边分别取D、E、F三点所成的三角形称为△ABC的内接三角形,试在锐角△ABC的所有内接三角形     

对一道数学竞赛题的探讨

1990年全国初中数学竞赛第一试有中这样一道题:△ABC中,AB=2,BC=2~(1/2),AC=1,设P为BC上任意一点,则PA~2>PB·PC。本文在三角形中讨论了PA~2>PB·PC成立的充要条件,由此进一步讨论了使等式PA~2=PB·PC成立的PA分别是△ABC的中线、高、角平分线的充要条件。     

一道初中几何竞赛题之别证

《 中学数学月刊》1997年第2期上介绍了第十一届江苏省初中数学竞赛试题及解答.其中第三道试题为: 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等.证明:△ABC为正三角形. 这里,笔者给出上述赛题的另一种证法. 证明 如图1,设一边在BC边上的内接正方形DEFG的边长为x.则由△AGF∽△ABC.可得上x/a=(h_a-x)/h~a,于是x=     

关于“三角形内一点”的问题

近年来的国内外数学竞赛中,与“三角形内一点”有关的赛题时有出现.本文介绍此方面的内容,供辅导参考. 一、“过三角形内一点向各边引垂线”的问题定理1 (Steiner定理)P是△ABC内任一点,P到三边距离为d_a,d_b,d_c,对应的三边上高为h_a,h_b,h_2。则     

一类竞赛试题的解法

在国内外的一些数学竞赛试题中,经常可发现涉及三角形内点的几何问题,若引进一个简单的定理,则可得解决此类问题的一种十分有效的方法——面积法。定理 P为△ABC内任一点,连结AP、BP、CP并延长,分别交三边于D、E、F。若AE:EC=p:r,AF:FB=q:r。则 S_(△APB):S_(△APC):S_(△BPC)=p:q:r。证明:作AG⊥BE于G,CM⊥BE的延长线于M(如图1),则△AGE∽△CME,故AG/CM=AE/EC=p/r,     

利用面积证题一例

84年在贵州参加全国数学竞赛的命题工作,会议期间曾讨论过一道问题: 设在△ABC中,D为BC的中点,G为重心,过G任作直线分别交AB、AC于E、F。设AE/AB=h,AF/AC=k,求证我们不想局限于就解决这一个问题,所以,先作一些推广,考虑一下,D为BC上任意一点,G为AD上任意一点,这时的结论是什么? 设BD/DC=λ_1/λ_2,λ_1+λ_2=1,AG/AD=t,我们断言有为了证明(2),我们借助于三角形的面积。设△AEG,△AGF,△ABC的面积分别为S_1,S_2,S。则由于△ABD的高与△ABC的高相同,而     

巧用三角形分角线长公式解题

本文介绍三角形分角线长的一个公式,并举例说明它在数学竞赛解题中的广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边C上任一点,CD分∠C为α、β,则 CD=absin(α β)/asinα bsinβ证明;如图, ∵ S_(△BCD) S_(△ACD)=S_(△ABC), ∴ 1/2a·CDsinα 1/2b·CDsinβ =1/2absin(α β),     

拿破仑三角形问题的进一步推广

<正>拿破仑不仅是十九世纪法国伟大的军事家、政治家,而且还是法兰西科学院院士.他对数学很感兴趣.即使是行军打仗,他也利用空闲时间,经常研究一些平面几何问题."拿破仑三角形"就是其中一例.拿破仑三角形,包括"外拿破仑三角形"和"内拿破仑三角形"两种.如果在△ABC的外侧,分别以△ABC的三条边为一边,作三个等边三角形,那么以这三个等边三角形的中心为顶点所构成的三角形就称为"外拿破仑三角形";如果在△ABC的内侧,分别以△ABC的三条边     

等补三角形的性质及其应用

定义有一角对应相等而另一角对应互补的两个三角形,称为等补三角形。 等补三角形广泛存在于下列几何图形中:(1)有内或外角平分线的任意三角形;(2)顶点与底边所在直线上任一点连线的等腰三角形;(3)有对角线的等腰梯形;(4)对角线平分一内角的圆内接四边形;(5)一组邻边相等的圆内接四边形。鉴于等补三角形的存在范围非常广泛,笔者研究了它的一些性质,本文介绍其中较为优美的几个,并例谈其在解题中的应用,供参考。 定理1 等补三角形中,相等角的对边与互补角的对边对应成比例。 证明如图1,等补△ABC和△A’B’C’中,     

一个定值问题的引伸

命题1“等边三角形内任一点至三边距离之和为一定值”有几种证法,但以下面的证法较简便。证明:如图1,连结PA,PB,PC. ∵S_(△ABC)=S_(△PBC)+S_(△PCA)+S_(△pAB),∴S_(△ABC)=1/2BC·PD+1/2CA·PE+1/2AB·PF又 AB=BC=CA,∴ PD+PE+PF=2S_(△ABC)/BC. 等边三角形的这一性质可推广到等边凸多边形中,以上的证明实质上给出如下的定理1 等边凸多边形内任一点至各边的距离之和为定值。特殊地,正多边形内任一点至各边的距离之和为定值。     

一个数学问题的别解

在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,正△PQR的顶点分别在三角形ABC的三边上,求△PQR的最小边长。 这是《数学通报》1997年10月号问题第1100题,下面给出一种简单解法。     

构造等腰三角形解竞赛题

等腰三角形是三角形家族中的“骄子”,在近几年各级各类数学竞赛中备受青睐,有许多数学竞赛试题通过构造等腰三角形去解,便可化繁为简,化难为易。1 构造等腰三角形求值 例1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C     

三角形中勃罗卡点到三顶点距离的几个不等式

设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角．关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式．为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B,     

巧用三角形分角线长定理解竞赛题

本文介绍三角形的分角线长的一个公式,然后举例说明它在数学竞赛解题中广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边c上任一点,CD分     

与“中点”相关的典型赛题类型及其常规解答策略

在各级各类的数学竞赛中，与“中点”相关的赛题比较常见，笔者鉴于相关赛题的典型性、代表性，故尝试结合初中数学竞赛试题归纳其中的典型赛题类型及其常规解答策略。由于“中点”问题广泛存在于三角形、四边形和圆中，同时与中位线相关的问题比较突出，故分与三角形相关、与中位线相关、与四边形相关、与圆相关这4类加以分析，具体如下：1.与三角形相关 1.1与三角形的中线相关 例1如图1，P是△ABC内的一点，直线AC，BP相交于点Q，直线AB，CP相交于点R，已知AR=RB=CP，CQ=PQ，求∠BRC。     

垂心余弦定理及其应用

在国内外数学竞赛中,与三角形垂心有关的试题时常出现。本文对三角形垂心余弦定理作些探讨,并举实例说明其应用。 定理 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R     

从今年的一道数学竞赛题想到的

1988年全国初中生数学竞赛第一试里,有这样一道题: 如图,已知:△ABC中,AB=2,AC=3。Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ分别是以AB,BC,AA为边的正方形,则图中阴影部分面积和的最大值是__。分析:要求的是阴影部分面积和的最大值,这个值一定和题中已给数据有联系,具体点说,就是和△ABC的面积有关。而阴影部分是由三个互不相邻的三角形组成,因此我们可以设想,只要找出每个三角形与△ABC的关系。不难发现,这三个三角形的面积均等于△ABC的面积。因而只要求出△ABC面积的最大值。阴影部分面积和的最大值便由此可求。