利用相似三角形证线段成比例

相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR…     

一道常见题的变式

在中学数学学习过程中 ,将一些题目进行变式练习 ,有利于开阔同学们的思路 ,培养创造性思维能力 ,提高归纳、总结、发现规律的能力。图 1问题 :如图 1 ,C是线段AB上的一点 ,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,边接AE、BD 求证 :AE =BD 证明 :△ACD和△BCE是等边三角形 ∠ 1 =∠ 3=6 0° ∠ACE =∠BCDAC =CD ,BC =CE △ACE≌△DCB图 2 AE =BD 变式一 :将点C改在AB的延长线上 ,如图 2。证明 :△ACD与△BCE是等边三角形 AC =CD ,BC =CE∠C =∠C △ACE≌△DCB AE =BD 变式二 :点C…     

一道课本习题的变式

<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.     

中考新看点:双正三角形

先看下面这个经典双正三角形几何题:如图1所示,点O是线段AD上(不同于A、D)任意一点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E.本题有几个常规的结论:三角形全等:△ODB△OCA,△DOM≌△CON,△OMB≌△ONA.线段相等:DB=AC,OM=ON.角相等:∠BDO=∠ACO,     

用转化法解平面几何中的非基本题

本文谈到的基本题,有证明角相等、线段相等、等积式或比例式.在证明一些非基本题时,有时可转化为基本题求解.1 线段的和差关系 证明a±b=c类题,往往可通过“截长补短”转化成证明线段相等. 例1 如图1,△ABC是等边三角形,P为BC上任一点.求证:PA=PB PC. 分析:采取“截长”法,可在PA上截取PD=PB,转化成证明DA=PC.这可通过证明△PCB和△DAB全等来实现.     

一类成比例线段问题

同一直线上线段成比例的证明是证明题中较难的一类,下面举例说明这类问题的证明方法. 如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°.求证:AQ·RB=QR~2.     

怎样证明三角形全等

全等三角形是研究其他图形的重要工具。学习时必须掌握全等三角形的判定方法。本文举例介绍证明三角形全等的基本思路。 一 若已知两个三角形有两边对应相等,则只须证明这两边的夹角对应相等或第三边对应相等 例1 如图1,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形。     

借题发挥——谈一道课本习题的变式

题如图1,△ABD、△ACE都是等边三角形.求证:CD=BE.(华东师大版八年级(下)《数学》第94页习题)分析只须证明△ACD≌△AEB,即可得CD=BE.证明△ABD和△ACE都是等边三角形,     

一道习题的研讨

已知 :如图 1点C是线段AB上一点 ,△ACM、△CBN是等边三角形 ,求证 :AN =BM .(人教版现行初中几何第二册P113第 13题 )。1 设AN与BM的交点是P、AN与MC的交点是G、BM与CN的交点是F ,连结GF、除了可以证明AN =BM外 ,我们还能发现 :(1)由于△ACN≌MCB ,得∠ANC =∠MBC ,易证明△CGN≌△CFB ,可得CG =CF .(2 )在△PFN和△CFB中 ,∠PFN =∠CFB、∠PNF =∠CBF ,利用三角形内角和定理易得∠NPF =∠BCF ,即AN与BM的夹角∠BPN =∠BCN .(3)由于CG =CF、∠GCF =6 0° ,所以△CGF也是等边三角形。(4 )由∠CFG…     

2011印度国家队选拔考试摘选

1.在锐角△ABC中,已知AD为中线,BE为角平分线,CF为高线.若△DEF为等边三角形,证明：△ABC也是等边三角形. 2.已知△ABC的各内角均大于30°,⊙T与边BD、CA、AB依次交于点P、Q、K、L、M、N,且此六点按顺时针方向位于⊙T上.若△TQL、△TLM、△TNP是等边三角形,证明:     

巧用“等边三角形”证“全等三角形”

“全等三角形”这部分内容是几何证明中证明方法的基本训练,也是今后学习其他知识的基础。因此要学会运用判定定理进行推理论证,并能正确地表达证明过程。同时这也是大纲对学生的要求。由初一的几何课简单的点、线、面过度初二对“全等三角形”的认识有一个适应的过程。因此,不仅要灵活运用全等的判定,而且巧用一些线段证明全等三角形可以起到事半功倍的效果。例如:在教材P114复习题三的第13题中。已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形,求证:AN=BM。此例从图中观察,思路不是很明确的。怎样将集中在两个等边三角形中…     

两个等边三角形中的三角形全等

等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°     

例谈三角形全等的证题

三角形全等的证明是几何证题中的重要内容.证三角形全等,可用来证明两线段相等,两角相等,两直线垂直等等.如何准确、迅速地探求出从已知条件到达求证结论的证明途径呢?下面通过实例来谈谈探求证明途径的基本思路.例1已知:如图1,A、B、C三点在一条直线上,△ACD和△BCE都是等边三角形.求证:AE=DB.分析从△ACD是等边三角形,可得AC=DC,∠BCD=60°,同理,EC=BC,∠ECA=60°.欲证AE=DB,只需图1证△BCD≌△ECA.证明∵△ACD是等边三角形,∴AC=DC,∠BCD=60°.同理,EC=BC,∠ECA=60°.在△ECA和△BCD中,∵AC=DC,∠ECA=∠BC…     

怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…     

巧用因式分解,妙解三角形问题

例1已知、、是△的三边长,且满足2 2 2= .求证:△为等边三角形.解析:要证△为等边三角形,只需证==.根据等式的结构特征,可以把等式变形为()2 ()2 ()2=0,则==.证明过程如下由题意,得2 2 2=0.则22 22 22222=0.即()2 ()2 ()2=0.∴==.即△为等边三角形.例2已知、、是△的三边长,且     

讲讲菱形的判定(初二)

菱形,是四边相等的四边形,这是菱形的定义,要判断一个四边形是不是菱形,除用定义判断,还可用其它等价条件.1.证明四边形的四条边相等例1已知:如图1,C是线段BD上一点,△ABC和△ECD都是等边三角形,R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点.求证:四边形RFGH是菱形.     

面积法在几何解题中的应用

面积法不但可探索各种图形面积的等量关系,而且还可求解某些线段的长度、证明两角相等以及比例式等多种类型的题目.下面举例加以说明.一、利用面积法求解垂线段的长度例1如图1,△ABC是等边三角形,点D     

例谈相似三角形的应用

相似三角形,除用在证明线段成比例外,还有其他方面的一些应用. 例l如图1,△ABC是等边三角形,点D、E分别在CB和BC的延长线上,且乙DAE~12巴A求证:BCZ一BD·CE.分析要证BCZ~BD·CE,可证丝BDCEBC’而D、E都在直线Bc上,找D B CE图1不到相似三角形,△ABC中,AB~△ABD切△ECA,乙刀一艺1+乙2 (证略)需要转化BC一AC 在等边故只需证些B刀CEAC’由此,可设法证由题意不难得乙ABD一艺ACE一1 200,匕1+一600,。.。/刀一/2,故△ABDc乃△ECA. 例2匕BCD一 求证: 分析如图2,直角梯形ABCD中,AD// BC,匕ADC一900,对角线AC、Bl…     

一道课本复习题的探究

题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所…     

由一道习题引发的思考

<正>习题(人教版八年级下册《中心对称图形——平行四边形》复习题)已知:如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF.求证:△ECF是等边三角形.分析本题主要涉及到菱形的性质、等边三角形的性质与判别以及等式性质的运用,从而找出△CAF≌△CBE的判别条件,由"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"这一判别方法完成本题证明过程.