“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

谈一个几何定理及其应用

我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论     

如何证四点共圆

四点共圆是《圆》一章的重要内容,在几何中应用较为广泛.如共圆呢?这里给同学们介绍五种方法.第一,利用圆的定义:即到一定点距离相等的各点共圆.例1如图1,试证明菱形ABCD各边中点E、F、G、H四圆.思路和证明:应用定义,去证OE=OF=OG=OH.这很容到,所以E、F、G、H共圆.第二,若两个(或多个)直角三角形共斜边,则各顶点.例2已知:如图2,AB和AC与⊙O相切于B、C,P是上一点,且PE⊥AB于E,PD⊥BC于D,PF⊥AC于F,求PD2=PE·PF.思路和证明:欲证PD2=PE·PF,即证PDPF=PEPD,只需证△PFDE.由于这里证边成比例比较困难,因而转证对应角…     

圆内接四边形的定义、性质、判定及应用

一、知识要点1．圆内接四边形的定义．2．圆内接四边形的性质．3四点共圆的证明方法．4四点共图在证题中的应用．二、解题指导例1如图1，过正方形ABCD的对角钱AC上任一点分别作两邻边的平行线，分别交各边干E、F、G、H．求证：E、F、G、H四点共图．分析（1）由国的定义可知，要证结论成立，只要证H、F、G、H多l］某一定点的距离相等．设正方形ABCD的对角线交点为O，于是只要证OE=OF=OG=OH即可．OE=OH，OF=OG是显然的，只要证明OF=OH即可，为此过O作AB的垂线MN，易证MN平分AB和FH．由此即得OF=OH．证明略．（2）由阿…     

去异求同 启迪思维——从一道题目两种结果说开去

人教版九年级数学上册103页有这样一道题目:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r学生在作业中出现如下两种解答方法:解法1:如图1,设三个切点分别为D,E,F,作过切点的半径OD,OE,OF,则OE⊥4C,OD⊥BC,OF⊥AB.∵∠C=90°,∴四边形ODCE是正方形.     

相似图形中的探究题

相似形的内容丰富,解题思路灵活.最近几年,以相似形为题材的探究题,在各地中考题中频频出现.现举数例,供大家参考. 一、类比联想,探求作图思路例1 (1)阅读下列材料,补全证明过程: 已知:如图1,矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,OE⊥BC于E,连结DE交OC于点F,作FG⊥BC于G。     

例说破解异面直线所成角问题的三类方法

<正>题目将正方形ABCD沿对角线BD折叠成空间四边形A'BCD,当所得四面体A'BCD的体积最大时,直线A'B与CD所成的角为.分析所得四面体的体积最大时,显然平面A'BD⊥平面CBD.设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,取OA=OB=OC=OD=1.下面求异面直线A'B与CD所成角的大小.一、平移法解法1如图1,设A'C、A'D的中点分别为E、F,连结OE、OF、EF.     

构造三角形中位线解题例举

例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而…     

一道IMO试题的另一证法

《中学数学月刊》2 0 0 2年第八期上 ,蔡玉书老师在《两条直线合成技巧的应用》一文中用解析几何法证明了下列竞赛题 :△ ABC是等腰三角形 ,AB=AC,假如 :(1) M是 BC的中点 ,O在直线 AM上 ,使得 OB⊥ AB;(2 ) Q是线段 BC上不同于 B和 C的一个任意点 ;(3) E在直线 AB上 ,F在直线 AC上 ,使得 E,Q和 F是不同的和共线的 .求证 :OQ⊥ EF,当且仅当 QE=QF.(第 35届 IMO试题 )这里再给出一种平几证法 .证明　题目所求证即为 QE=QF是 OQ⊥ EF的充要条件 .充分性 :过 E作 DE∥ AC交 CB延长线于 D,连 OE,OF,OC.∵ DE∥ AC,…     

2009中国数学奥林匹克

第一天 1.给定锐角△PBC,PB≠PC.设A、D分别是边PB、PC上的点,联结AC、BD交于点O.过O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,线段BC、AD的中点分别为 M、N.     

正方形内“十字架”问题及其变式

<正>引例(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边CD,AD上的点,若AE⊥BF,垂足为点P.证明:AE=BF.(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,CD,AD,BC上的点,EF⊥GH,垂足为点P.证明:EF=GH.     

一道竞赛题的推广和有关结论

原题在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，P是对角线AC、BD的交点，M、N分别是AB、CD上的点，满足DM⊥AC，BN⊥AC．求证：M、N、P三点共线．[第一段]     

与中点有关的辅助线

在几何问题中,中点问题是一类常见的问题.与中点有关的辅助线有以下几种.一、已知三角形两边中点,连结两个中点构造三角形的中位线例1 如图1,□ABCD的对角线BD、AC相交于点O,DB=AB,E是AB的中点,DE交AC于点F.求证:(1)∠BDE=∠DCA;(2)FD=FA.(温州97年中考题)分析 因为ABCD平行四边形,故O是BD中点,又E是AB的中点,连结OE,则OE是△ABD的中位线,可证ADOE是等腰梯形.证明 连结OE.     

浅谈利用弦图解题的一点瑕疵

近日,笔者研读了"例析残缺弦图的玄机"一文(下称"原文"),对其构造或补全弦图的解法感触颇深.下面再举一例,以便读者充分感受到此种解法的巧妙之处.题目(2014年重庆中考题)如图1,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连结OF,则OF的长为___.分析注意到CF⊥BE,可在正方形ABCD中顺次作垂线构造弦图(如图2).     

妙用向量解题

向量作为一种新型的解题工具,在众多数学问题中有十分广泛的应用.除了在空间立体几何的广泛应用外,笔者也发现在解析几何,不等式,代数中,也能找到它的影子.一、用向量证明三点共线例1在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N是BD上一点,BN=1/3BD.求证:M、N、C三点共线.证明:设AD=a,AB=b,则MN=1/2 AB+1/3 BD =1/6(2a+b).又因为MC=MB+BC=1/2(2a+b),所以MC=3 MN.所以MC∥MN,所以M、N、C三点共线.     

两个简单结论在竞赛中的应用

如图1.正方形ABCD的一个顶点A在直线l上,DE⊥l于点E,BF⊥l于点F,则易得△ADE≌△BAF,DE=AF.如图2,正方形ABCD、AGHK的公共顶点A在直线l上,KB⊥l于点F,     

浅谈利用弦图解题的一点瑕疵

<正>近日,笔者研读了"例析残缺弦图的玄机"一文(下称"原文"),对其构造或补全弦图的解法感触颇深.下面再举一例,以便读者充分感受到此种解法的巧妙之处.题目 (2014年重庆中考题)如图1,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连结OF,则OF的长为___.分析注意到CF⊥BE,可在正方形ABCD中顺次作垂线构造弦图(如图2).由条件,知CE=2,BC     

空间向量在立体几何中的应用

一、空间向量在线面关系证明中的应用 例1 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点．     

关系四边形的几个命题

命题 1　如图 1 ,在四边形ABCD中 ,F图 1为对角线AC上任一点 ,BF交CD于点E ,DF交BC于点G .P为AC上任一点 ,直线PG交AB于点R ,PD交AE于点H .则R、F、H三点共线 .证明 :因直线AHE截△DCP ,由梅涅劳斯定理得DHHP·PAAC·CEED=1 .①由直线ABR截△CPG得PRRG·GBBC·CAAP=1 .②由直线BFE截△CGD得GFFD·DEEC·CBBG=1 .③①×②×③得DHHP·PRRG·GFFD=1 .对△DPG用梅涅劳斯定理的逆定理知R、F、H三点共线 .命题 2　如图 2 ,在四边形ABCD中 ,F图 2为对角线AC上任一点 ,BF交CD于点E ,DF交BC于点G …     

解读四边形

【知识归纳】~~【例题分析】例1.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是BC上一点,AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点M、O、N,试判断四边形AMEN的形状并给出证明.解:四边形AMEN是菱形3/2005山西教育·初中版证明:AD∥BC∠1=∠2,MN垂直平分AE∠AOM=∠EON=90°OA=O△AOM≌△EON(AAS)OM=ONOA=O四边形AMEN是平行四边形AE⊥MAMEN是菱形例2.根据下列不同条件,计算梯形的面积.(1)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=4,BD=3,求梯形ABCD的面积.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,AE=12,BD=15,…