会变数的“魔盒”

在《数理大地》第3、4期,周国镇老师给大家提出了一个趣味无穷的结论: 只要让a、b取一对一对的正整数,3a+2b/4a+3b像一个魔盒一样就会变成一个一个比2/3大比3/4小的分数. 并概括成:当n、a、b都是正整数时,n/n+1和n+1/n+2之间的分数是,即这里两端的分数n/n+1和n+1/n+2,每个分数的分子都比分母少1,较大分数的分子等于较小分数的分母.     

“似非而是”的分数运算

我们知道,分数的运算与化简都必须按照相关的法则进行,可下面的运算却出乎意料之外,令人难以相信,但其正确性却是毋须置疑的,请看:1.有趣的加法(1)35 25=53××25=265;(2)1270 230=2107××230=45010.异分母分数加法运算,本应先通分,化为同分母后再相加,而这里却是把分母相乘作分母,分子相乘作分子.究竟什么样的分数才可以这样做呢?不难发现,这样的两个分数具备条件:①分子相同;②分母之和等于分子.反过来,是不是具备这样条件的分数相加就可以采用这种方法呢?请看:a ba a bb=(b a b)a (ba a b)(=a b)a(××b a b).2.奇妙的减法(1)76-98=76-…     

分式的加减知识导学

一、同分母分式加减法 同分母分式相加减,把分子相加减.用式子表示为:a/c±b/c=a+b/c. 特别提醒:(1)式中的a,b,c,d可以是单项式,也可以是多项式,当分子相加减时,一定把各分子看做一个整体,加上括号.(2)运算后的结果要进行约分化简. 解题方法:同分母分式加减法,(1)分母不变,分子相加减;(2)分子相加减后,分子、分母能因式分解的一定要因式分解,以便约分化简.当分母互为相反数时,应根据分式的符号法则化为同分母.     

异分母分式加减运算的通法和巧法

异分母分式的加减法是分式运算的重点和难点,必须切实掌握,其方法是先通法,后巧法.一、运用通法,掌握异分母分式的加减法的一般步骤(1)把各分式的分母分解因式;(2)确定各分式的最简公分母;(3)运用分式的基本性质化异分母为同分母;(4)进行计算,并将最后结果化为最简分式.例1计算:aa2+-3bb2+a1+b+b-1a.解原式=(a+ab)+(3ab-b)+a+1b-a1-b=(a+ab+)(3ab-b)+(a+ab)-(ab-b)-(a+ab)+(ab-b)=(a+3b)+a-b-(a+b)(a+b)(a-b)=(a+(ab)+(ab)-b)=1a-b.二、运用巧法,由于一些题目按通法解答繁杂,若抓住其特点,善用技巧,可化繁为简例2计算:a-1b+a1+b+a22+ab2+a44…     

一道例题引出的数学问题

中师《代数与初等函数》第二册53页有这样一道例题: 已知a,b,m为正数;且aa/b ①证明它可用分析法、比较法、综合法、反证法、几何法、辅助函数法等等,这里从略。当限定a,b,m∈N时,可推演出一组在小学数学中应用极其广泛的比较分数大小的命题。将①式看作a/b<(a+m)/(b+m),得 [命题1],一个真分数的分子和分母加上同一个自然数,所得的分数比原分数大。例,比较11/14和20/23的大小。解:∵(11+9)/(14+9)=20/23 ∴11/14<20/23 将①式看作(a+m)/(b+m)>((a+m)-m)/((b+m)-m),得 [命题2],一个真分数的分子和分母减去同     

这样解更巧

贵刊猴年第一期“巧解1/4>( )>1/5”一文中所谈解法确是巧,但有其局限。一是,此法只适合在两同分子(或同分母)分数间填数;二是分子、分母同时扩大几倍,如数字较大,学生容易出错,且速度不快。 我以为用分子相加的和作分子,分母相加的和作分母,求出要填的分数更简便。 比如“1/4>( )>1/5”之间的分数应是“(1+1)/(4+5)”等于“2/9”; 又如:3/4>( )>3/5(?)3/4>(?)(3+3)/(4+5))>3/5(?)3/4>(6/9)>3/5(?)3/4>(2/3)>3/5;     

常用有理化因式的类型及应用

在进行二次根式的运算时 ,往往需要把分母有理化 ,而分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式 ,因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式。我们清楚 ,两个含有二次根式的代数式相乘 ,如果它们的积不含有二次根式 ,就说这两个代数式互为有理化因式。由此可知 :1. a与 a互为有理化因式例 1.把下列各式分母有理化 :112;2 x+ 1x- 1(x>1)。解 :112=22· 2=22 ;2 x+ 1x- 1=x+ 1· x- 1x- 1· x- 1=x2 - 1x- 1。2 .a+ b与 a- b互为有理化因式例 2 .分母有理化 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2(n>2 )。解 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2= …     

相似型考点解析

考点1 比例线段例1 已知a+2b/2a-b=9/5,则a:b=_____.(答案:19:13.提示:①设a=kb,代入已知式子,求解k;②将已知等式左边的分子分母同除以6,视a/b为未知数,解方程即可)     

真分数的性质及应用(高一、高二、高三)

高中数学课本有一个例题: 已知α,b∈R+,m∈R+并且αα/b. 这是真分数的一个性质:真分数的分子、分母加上同一个正数时,分数的值变大. 类似地,假分数的分子、分母加上同一个正数时,分数的值变小.下面介绍它的应用. 例1 建筑学上规定,民用住宅的窗户面     

一个分数的变化及其证明

一个分数(a/b),如果将它的分子(b)扩大x倍,要使分数的值不变,求它的分母(a)应如何变化,学生都能回答这个问题,那就是利用分数的基本性质,将它的分母(a)也扩大x倍。即:b/a=bx/ax (a≠0) 但一个分数(b/a),如果将它的分子(b)增加或减少一个数x,要使分数的值不变,分母(a)应如何变化,大多数学生就无法解答了。     

1 2/5是最简分数吗

1 2/5是最简分数吗?有人说是,有人说不是。什么是最简分数,分子和分母互质的分数叫最简分数(或既约分数),即若(a,b)=1,则a/b是最简分数。最简分数是用概念加类差的方式定义的概念。它的种概念是形如a/b的分数,类差是(a,b)=1,它的外延是1/2;3/2;1/3;5/1……等真分数或假分数。1 2/5不     

分数b／a的分子分母同时加几约分后为c／d

在小学数学分数训练中,有的学生对“分数 b/a 的分子分母同时加几,约分后得 c/d”类型的填空题采用试验的方法,从1,2,3…进行试验,获取正确答案,这显然费时费力,解题效率低。经过论证可得此类题的计算公式。分数 b/a 的分子分母同时加几约分后的分数为 c/d?(a>b,d>c;a,b,c,d∈N 且均不为0)解法一:设分子分母同时加 x,根据题意得     

从“倍数”入手

例1．将2/11的分子加4,要使分数的大小不变,分母应怎样变化? [分析与解]解这道题,可以从分子扩大的倍数想起。因为将2/11 的分子加4,就是将分子乘(2+4)÷2=3,所以要使分数的大小不变, 分母也应乘3,变成11×3=33,即分母应加33-11=22。     

分数的拆分

本栏责任编辑肖钅监铿在我们小学计算中,常把一个分数拆成几个同分母的分数。例如:7/9=2/9+3/9+4/9。这个大家学过,一定都会。但在数学竞赛试题中,常要求我们把一个分数拆成几个不同分数单位的和。例如:1/20=1/()+1/(),又有什么方法呢?我在解题过程中发现了一个规律,与大家共同分享。一、找出所拆分数分母的约数。如:20的约数有:1、2、4、5、10、20。二、用约数1与其它任意一个约数的和去乘分数的分子、分母。如:1/20=(1+2)/20×(1+2)。三、将新分数拆成同分母的分数和,再约分,即得到不同分数单位的和。如:1/20×(1+2)=1/60+2/60=1/60+1/30…     

从探索规律入手

正规律是客观存在的,是不以人们的意志为转移的.但是,人们能够认识它,利用它.近年来中考题中,有一些问题的解答,需要我们从探索规律入手.例1已知,a1=11×2×3+12=23,a2=12×3×4+13=38,a3=13×4×5+14=415…依据上述规律,则a99=____.解析:不难发现,a1、a2、a3的求值式子都是分子为1的两个分数的和.其中第一个分数的分母是三个连续正整数的连乘积,第二个分数的     

证不等式比较与放缩

从a/b与a m/b m的大小说起 引例 正实数中,对任意a、b、m都有a/b=ma/mb. 这是分数的一个基本性质:分数的分子和分母乘以同一个正数,其值不变.这连小学生都知道.但我们的话题却要从这儿开始.     

2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

(2021奥地利数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R⁺,a+b+c=1,求证:a/2a+1+b/3b+1+c/6c+1≤1/2(1).本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.1.不等式(1)的证法分析1:不等式(1)的左端每一项的结构相同,但遗憾的是分母的系数不等,注意到每一项的特点,因此可通过证明局部不等式,再叠加.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

漫谈数学 课堂板书

一、板书的作用板书是课堂教学的重要组成部分,是一种必不可少的教学手段。一般来说,小学数学课堂上的板书,有以下几个方面的作用: 1.提供思维素材,进行思维导向。学生通过教师的板书,可以获得思维的依据。例如,在教学“3/7+2/7=5/7”这道同分母分数加法时,教师提问:3/7、2/7和5/7的分数单位各是多少?它们各有几个这样的分数单位?根据学生的回答,在算式的上方作如下板书:3个1/7 2个1/7 5个1/7 学生从板书↓↓↓中可以清楚地看3/7 + 2/7 = 5/7到,同分母分数相加,由于分数单位相同,所以实质上就是分数单位的个数相加。这样就很容易理解同分母分数相加,分母不变、分子相加的道理,顺利地掌握它     

走进分式加减的世界

知识扫描分式的加减法法则:(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;(2)异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算.即a/c±b/c=(a±b)/c,a/b±c/d=(ad±bc)/bd