公式EF=(d~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2)应用教学的三个层次

<正>高一立体几何42页上的例2提出了一个异面直线上任意两点间的距离公式:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,使A′E=m,AF=n,则EF=(d~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2) (1)     

开展探究性例题教学大有好处

探究性问题是指具有探索研究性质的数学课题. 本文是探究性问题的一个例子. 例1 两条异面直线间夹角公式的探索. 六年制重点中学高中数学课本《立体几何》介绍了异面直线上两点间距离的公式:“已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n(图1),则EF~2=     

利用异面直线上任两点间距离公式解题

已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设|A′E|=m, |AF|=n, 则|EF|=(a~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2)这就是异面直线上两点间距离公式(见高中立体几何课本乙种本第一章)本文谈谈它的一些应用。     

异面直线距离公式的变通应用

图1题根普通高中数学必修课本第9.8节的例2结论是──两条异面直线a和b所成的角为θ(如图1),在直线a、b上分别取点E、F,且A′E=m、AF=n、EF=l、则公垂线段A′A的长(即异面直线a和b的距离)为d=l2-m2-n22mn·cosθ.①注:对于公式①中的负正号“”,当〈A′E,AF〉=θ是锐角或直角时     

异面直线上两点间距离公式(d~2 m~2 n~2±2mncosθ)~(1/2)的应用

部颁立体几何课本上有这么一个例题:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n,求EF。课本上利用图1推出: EF=(d~2 m~2 n~2-2mncosθ)~(1/2)。并指出当点F(或E)在点A(或A′)的另一侧,则     

对异面直线上两点距离公式的改进

六年制重点中学高中数学课本《立体几何》第45—46页给出了异面直线上两点间的距离公式,条件如图1所示,其中θ为异面直线a和b所成的(锐)角,     

异面直线上两点间距离公式的应用

现行高中数学第二册(1979年6月第1版)35页介绍了异面直线上两点间距离的公式: 已知两条异面直线a、b所成的角θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设|A′E|=m,|AF|=n,则 |EF|=(d~2+m~2+n~2±2mn)~(1/2)。     

两个立体几何问题的讲法

六年制重点中学高中数学课本《立体几何》第45页的例2是“已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA’的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A’E=m,AF=n,求EF.”(图1)在学习此例时,学生已掌握了异面直线的定义,用一个或两个平面衬托异面直线的绘图方法,两条异面直线所成的角的定义,常用的表示异面直线所成角的方法以及两点间距离的定义等。学生在学习此例时的主要困难,是完成     

异面直线上两点间距离公式的推广

已知两条异面直线a、b所成角为θ(0<0<π),它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n.则 EF~2=d~2 m~2 n~2-2mncosθ.(1)     

对《异面直线上两点间距离公式》的一点补充

在通用教材《立体几何》中,作为两个平面互相垂直的判定定理和性质定理的一个应用,用例题的形式,推导出求异面直线上两点间距离的一个公式,公式的条件和结论是这样的:如果两条异面直线a、b所成的角为Q,它们的公垂线段AA＇的长度为d,在直线a、b上     

cos_θ=cosθ_1·cosθ_2的一个妙用

在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1　　　　　　　　图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P…     

求异面直线所成角的另一方法——辅助平面法

根据异面直线所成角的定义 ,求两条异面直线所成的角一般需通过平移直线 ,将空间角转化为平面内的角来求解 .这一转化过程通常是解题的难点所在 .倘若解题时能借助适当的辅助平面 ,往往可以避繁就简 ,顺利求出 .(如图 1)引理　已知 a,b是异面直线 ,a α,b β,且α⊥β,α∩β =l,又设 a,b与 l所成的角分别为θ1、θ2 ,a,b所成的角为θ,则 cosθ =cosθ1cosθ2 .它的证明很简单 ,现留给大家 .对任意的异面直线来说 ,这样的辅助平面α、β是否一定存在呢 ?(如图 2 )设 a,b为异面直线 ,在直线 a上任取一点 O,则点 O及直线 b可确定一个平面 ,…     

用公式法求两异面直线的距离及公垂线足

求两条异面直线的距离在诸多参考资料中介绍有多种方法,但遇到具体问题用何种方法,有时不易判断,且各种方法未能解决公垂线的位置问题。本文介绍一种既通用又简便易记的公式法,企求较圆满地解决立体几何中的这一难点。定理如图1,a、b是两条异面直线,从a上任两点A、B分别向b作垂线AC、DD,C、D为垂足,若|AC|=m,|BD|=n,射线CA、DB所成的角为θ(0<θ<π)(注),则: (1)异面直线a、b的距离     

异面直线上两点的距离公式的应用

我们熟知两异面直线上两点距离的公式,如图,异面直线a、b成角为θ,且与它们的公垂线L交于A、B,则a、b上两点E、F的距离: EF=(AB~2+AE~2+BF~2±2AE·BFcosθ)~(1/2)活用此公式,往往可收到化难为易,化繁为简的效果例1 棱锥S-ABCD,ABCD是矩形,AB=2~(1/2)。BC=1,SD⊥面AC,SB=2,求二面角A-SB-C的大小。解作AE⊥SB于E,作CF⊥SB于F,连AC。∵ SD⊥面AC,AB⊥AD,BC⊥CD。∴ AB⊥SA,BC⊥SC,则BE=AB~2/SB=1,AE=(AB~2-BE~2)~(1/2)=1,BF=BC~2/SB=1/2,CF=(BC~2-BF~2)~(1/2)=(3/2)~(1/2),EF=BE-BF=1/2,     

距离公式EF=√m^2＋n^2＋p^2±2mncosθ的应用举例

引子：已知两条异面直线所成角为θ,如图1所示,在直线a、b上分别取E、F,已知AE=m,A1F=n,a、b的公垂线段AA1=d,则EFEF=√m^2＋n^2＋p^2±2mncosθ,下面通过三个例子说明其应用．     

cosθ=cosθ1·cosθ2的一个妙用

在立体几何中,有一个常见的模型 如图1,已知直线a、b、l与平面α满足a(α, b(α, a∩b=P, P∈l, l与a、b成相等的角θ,在l上任取异于点P的Q点,过Q作QK⊥α于K,那么K点到直线a、b的距离相等,即K点落在∠APB(或其补角)的平分线所在的直线上,记∠QPK=θ1, ∠KPB=θ2,不难得到cosθ=cosθ1·cosθ2.     

一个立几公式的几种应用

六年制重点中学高中数学课本《立体几何》P46,给出了计算异面直线a、b上两点E、F间的距离公式:|EF|~2=d~2+m~2+n~2±2mncosθ十年制统编教材中这只是一道例题,新课本则用黑体字标出了这一结论,并在附录中表明,它可以做为公式直接应用。新课本这样处理是必要的,这不但有助于丰富学生的空间想象能力和培养他     

异面直线距离的几种求法

求异面直线的距离,在立体几何中是一个难点。怎么求?条件不同,方法各异。很多刊物介绍了其代数和几何求法,下面再介绍几种代数求法。式1 如果l_1、l_2为异面直线,l_2交以l_1为交线的两平面π_1,π_2于A、B两点。若AB==m,又对l_1上任两点C、D,有AC=a、BD=b、∠ACD=a,∠BDC=β,l_1、l_2间夹角为θ,则l_1、l_2间距离: d=1/(2msinθ)(4a~2b~2sin~2a.sin~2β-(a~2sin~2a+b~2sin~2β-m~2sin~2θ)~2)~(1/2)     

求异面直线间距离的又一方法

求异面直线间的距离为高中《立体几何》的难点.有关书刊介绍不少方法.本文旨在利用三角形面积射影给出它的求法。为此,先证明下面的命题: 若异面直线a,b所在平面成θ度的二面角α-l-β,且B‖l间的距离为c,则异面直线a,b间的距离d=csioθ (A) 证明:设a∈α b∈β在b上任取一点P,作PM⊥l,PN⊥α,M、N为垂足连结MN,由三垂线定理的逆定理知MN⊥l     

新版本数学教材使用中发现的几个问题及相应的改进措施

课本是我们教与学的一个标准,熟悉教材、深挖教材历来为师生所强调.我在近几年的教学中,发现现行版本教材中的有些部分,对老师的教及学生的学而言,有值得商榷之处,特此提出,以供同仁参考.1 内容安排与讲授时间回序不协调如《立体几何》教材,1.5节,例2:“已知两条异面直为a、b所成角θ,它们的公垂线段AA’长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,且A’E=m,AF=n.求EF”.在本例中,求EF时,涉及余弦定理及诱导公式,