借用数字宝塔解难题

下面是一个四层的数字宝塔。观察这个数字宝塔,我们可以发现:最下面一层上的数都是1,从第二层(从下往上数)开始,每个数都是下面相邻两数的和,宝塔的层数越多,最上面     

关于直角三角形内切圆和旁切圆的半径

三角形的内切圆,是圆心在三角形内且与三角形三条边都相切的圆。三角形的旁切圆,是与三角形的一边及另外两边的延长线都相切且圆心在三角形外的圆。每一个三角形都有一个内切圆和三个旁切圆(见图1)。如果我们只把注意力放在直角三角形上,就会发现直角三角形的内切圆与旁切圆的半径之间的一个有趣的关系。     

方中排圆之谜

在一个边长为10厘米的正方形中,最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆?最容易想到的排法往往是排成10排,每排排10个圆,10排的总高度正好是10厘米,一共可排100个圆(图1).但我们知道,四个等圆每个只与另外两个相切的情形和三个等圆两两相切的情形相比,四个圆中间所留的空隙较大(图2),因此采用图1这种排法圆的个数并不是最多的.要排出更多的圆就必须把已排出的圆“挤紧”,也就是要充分利用中间的空隙.显然,这就要把圆排成每三个成两两相切.因此第一排排10个,交错一下第二排排9个,第三排排10个……这样虽然有几排只排9个,但由于11排的高度还不…     

究竟能作出多少个这样的圆

义务教育课程标准实验教科书（人教版）九年级数学上册第112页第16题：如图1,已知⊙O1,⊙O2,作一个圆,使它与这两个圆都相切．你能作出多少个这样的圆？与同伴交流．（以下简称人教版）     

例说直线与圆相切习题的解法

直线与圆相切是《圆》一章中最重要的内容,也是学生在几何学习中感觉最困难的内容之一,它除了切线的判定外,主要由有关圆的切线的四个定理组成:切线的性质定理、切线长定理、弦切角定理、切割线定理。已知直线与圆相切的问题,若由四个定理人手解题,一般都方便有效。例1 如图(1),AT切⊙O于T,OA交⊙O于C,TB⊥OA于B,求证:TC平分∠ATB     

滚动的圆自身旋转的规律

一、问题的提出有两个圆,其中一个圆固定不动,另一个圆与这个固定圆不滑动地相切滚动,如图1.当动圆绕着定圆滚动到某一位置时,这个动圆自转的周数是多少?应怎样计算?目前有几种不同的说法.说法一《中小学数学》(教师版)2003年第9期《也谈“滚动中的‘玄机’”》一文的结论是:“如果大圆的周长是小圆周长的n倍,则小圆不论是沿大圆的内壁还是沿大圆的外壁滚动,它转过的圈数都是(n 1)圈.”说法二《中学生数学》2004年第4期《由硬币自转几周引发的思考》一文的结论是:“若定圆的半径是滚动圆的半径r的n倍时,则滚动的圆绕固定的圆外切滚动一周,滚…     

试论由一组相切圆的半径所构成的数列通项公式的规律性

笔者在文[2]中,提出了在一组两两相切的圆中,(如图1)任意三个相切圆所围成的区域中,从任一圆起(外圆即(?)O除外,以下不再强调)顺次相切的圆的半径都构成一组数列,且这些数列的通项都可表为1/(an~2+bn+c)的形式.其中a,b,c是整数,且a≥1.本文将揭示式中a,b,c与相关圆的半径的联系.为便于讨论,我们把文[1],[2]中给出的数列摘录如下(注:为便于统一,某些数列n原来从0开始的,已变换为n从1开始了).     

公切线的妙用

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系,给我们以一条直线和两个圆同时相切的形象.我们把这抽象成一种简单的数学建模,即和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线.两圆的公切线分两种:(1)外公切线:两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线叫做外公切线.如图1.(2)内公     

对课本一道习题答案的研究

人民教育出版社《数学》（九年级）教科书习题24.2第17题:"如图1,已知⊙O₁、⊙O₂,作一个圆,使它与这两个圆都相切.你能作出多少个这样的圆?"教师用书（人教版2009年3月第2版）给出的参考答案是:"这样的圆可以作无数个".第175页对于此题的答案作了注释,给出了更为具体的答案:"这样的圆能作无数个,其圆心实际上在一条双曲线上."对于这个答案,我认为不够全面.就本题条件而言,与两圆都相切的圆的圆心轨迹会因     

有趣的同心圆

圆心互相重合的两个圆叫做同心圆,在单个的一个圆中很普通的东西,在同心圆中会变得很神奇,下面就让我们一起来感受一下.一、有趣的结论1.若大圆的弦与小圆相切,则切点为弦的中点.如图1,两个以点O为圆心的同心圆中,作大圆的弦AB与小圆相切于点C,则点C是AB的中点.证明连结OC如图1,根据切线的性质有OC⊥AB于点C,再根据垂径定理,则得到AC=BC,即问题得证.     

不要仅满足于一种答案

例小刚将3枚一元硬币平放在桌上,使任意两枚硬币的边缘都能互相接触,但不重叠。这样就得到一个圆弧围成的三角形“小洞”(如图1阴影部分)。小红用m枚一元硬币平放在桌面上,使得最靠近的三枚硬币都像右图那样,她得到了n个“小洞”,而且n=m-1。请给出n=m-1这个条件的两种答案。(《小学生数学报》杯江苏第三届竞赛初赛题)分析与解:以原图为基础,在拼摆的过程中要观察硬币枚数与“小洞”个数的关系:当硬币有7枚,“小洞”有6个时,第一次出现了符合问题要求的图案(梅花型)如图2,即6个圆都与中间的圆相切。在这个图形的基础上如果再添一枚,有8枚硬…     

对《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文的商榷与补充

《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文介绍了与具有不同位置关系的两个定圆都相切的动圆的圆心轨迹随两圆位置的变化而变化,但是,当两定圆相交时,动圆与两相交定圆同时相切的位置关系应该有三种情况:与两相交定圆同时外切;与两相交定圆同时内切;与两相交定圆中的一个内切,一个外切.动圆的圆心轨迹是双曲线(特殊情况是直线)或椭圆.同时,该文标题是圆与圆锥曲线的不解之缘,为了体现圆锥曲线的"完整性",本文补充了与定直线和定圆都相切的动圆的圆心轨迹是抛物线.这样我们就可以说双曲线、椭圆、圆、抛物线都能够从圆相切而生成.     

动圆相切问题的分类求解

<正>动圆与相切这类问题是近几年的热点考题之一,它新颖、独特,综合性强,有利于培养同学们的学习兴趣,对提高同学们的解题能力也大有益处.下面将有关考题分类归纳如下,供同学们学习时参考.一、确定坐标的取值范围例1如图1,P为正比例函数y=3/2x图象上的一个动点,⊙P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).(1)求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标;     

圆与“直线形”相切

规定：当圆和直线形的一条边所在的直线只有一个公共点时,叫做圆和这个直线形相切．下面,以圆分别与三角形、四边形相切为例说明．     

谈■sinx/x=1的证明

作为微积分中两个重要函数极限之一的是三角函数求导的基础(它本身就是sinx,在x=0处的导数)。正因这样,每一本微积分教科书都少不了要给它一个证明。证明方法大同小异。都是从下面的图形(图1)出发,其中x为用弧度度量的半径为1的圆心角。AD为过弧x的端点的关于圆的切线。显     

一道名题的对偶命题及引申

题目　如图 1 ,在平面上有三个圆 ,其中每一对圆的两条外公切线都有一个交点 .试证 ,这样得到的三个交点位于一直线上 .图 1这是著名的工程师兼教育家斯威特 (Sweet)提出的一道题 ,曾经被誉为“第一流的数学题” .本文先给出一个对偶命题 ,再引申一对新的对偶命题 .对偶命题　如图 2 ,在平面上有三个圆 ,图 2其中每一对圆的两条内公切线都有一个交点 ,过每个交点与另一个圆的圆心作直线 .试证 ,这样得到的三条直线共点 .引申命题　在平面上有三个圆 ,其中每一对圆的两条外公切线与两条内公切线都有一个交点 .试证 :( 1 )任两对圆的内公切线…     

第12届美国数学邀请赛试题(AIME)

1.递增数列3,15,24,48,…,由既是3的正倍数又是比一个完全平方数小1的那些整数组成,这数列的第1994项除以1000的余数是多少? 2.一个圆的直径PQ的长为10,它内切一个半径为20的圆于P点,正方形ABCD的顶点A和B在大圆上,CD与小圆在Q点相切,且小圆在ABCD之外,AB的长可写成m n~(1/2)的形成,其中m和n是整数,求m n.     

多球相切问题的建模策略

当若干个球相切时,很多同学对于该问题的求解常觉得难以想象,究其原因是对于多球相切问题的建模诀窍没有掌握好,请看下面两例.一、堆砌球的建模【例1】把半径为1的四个小球叠成两层放在桌上,下层三个,上层一个,两两相切,求上层小球最高点离桌面的距离.分析:该题表面上是要处理四个堆砌的球的问题,实际上是要解决如图1的四面体的高的问题.因为下面三个球的球心与桌面的距离相等,所以构成一个与桌面平行的平面.而四个球心恰好构成一个正四面体,因此上层小球的最高点到桌面的距离等于该四面体的高加上两个球的半径.解:设上层小球的球心为O1,下…     

有关圆和圆的位置关系、正多边形和圆中考题选登

一、填空题1 若半径为 5和 4的两个圆相交 ,且公共弦长为 6 ,则它们的圆心距ｄ等于 . (山西省 )2 已知圆Ｏ1 和圆Ｏ2 外切 ,半径分别为 1ｃｍ和 3ｃｍ ,那么半径为 5ｃｍ且与圆Ｏ1 、圆Ｏ2 都相切的圆一共可以作出个 . (上海市 )3 以Ｏ为圆心的两个同心圆的半径分别是 9ｃｍ和 5ｃｍ ,⊙Ｏ′与这两个圆都相切 ,则⊙Ｏ′的半径是 .(安徽省 )4 在以Ｏ为圆心 ,直径分别为 10ｃｍ和 16ｃｍ的两个同心圆中有点Ｐ ,ＯＰ =4ｃｍ ,过点Ｐ分别作大圆的弦ＡＢ和小圆的弦ＣＤ ,则ＡＢ的最大值和ＣＤ的最小值的和为ｃｍ . (湖北省黄冈市 )5 如图 1,⊙…     

数学问题与解答2014年第4期问题解答

911．如图1，A、B是已知圆O上的两个定点，P是优弧AB上的动点．圆I与圆内切于点L且与PA、PB分别相切于点E、F，求证：直线EF恒与某定圆相切．