(√a2)运算中的错例分析

例1计算(√4)-(√7)-(√4)+(√7) 错解:设x-(√4)-(√4)-(√4)+(√4),得 x2=((√4)-(√7)-(√4)+(√7))2 =4-(√7)-2(√(4-(√7))(4+(√7)))+4+(√7)=4-(√7)-6+4+(√7) =2. ∴x=(√2)     

2005年全国高中数学联赛

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.使关于x的不等式 (√x-3)+(√6-x)≥k 有解的实数k的最大值是( ).     

一道奥赛培训题的多角度审视

命题1:n为正整数,求证:1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/2n-1-1/2n<(√2)/2. 这是一道常见奥赛培训题,文[1]、文[2]、文[3]中均引用了该题,且所提供的证法如出一辙,引用如下:     

数学教学中对例题的挖掘

在数学教学中应注意例题的教学,特别是对例题的功能应进行深层次的挖掘,不能就题论题,例子分析完了思路就断了,而应该多想一想,这道例题告诉了我们什么,还有什么可挖掘的,是否能启迪我们得出更一般的结论或规律。 现行中师数学教材《代数与初等函数》第一册242页有这样一个例题:求证3~(1/2) √7<2√5.这是一个证明不等式的问题,宜用分析法,证明如下: 假设√3 √7<2√5 则有(√3 √7)~2<(2√5)~2,即√21<5 两边平方得21<25。 21<25恒成立,又因上面每步推理都可逆,所以原不等式成立。 回过头来再看原题,不等式左边两个被开方数3和7之和为10,右边是两个√5,如果也视作两个平方根,则被开方数之和也是10,它们的区别在于左边两个被开方数7和3之差是4,而右边两数相等,结论是左边小于右边。由此可启发学生作大胆猜想(1);若两数(正数)之和一定,则以相近两数的平方根之和为最大。为此,可举一特殊例子验证,如证明     

Viviani曲线上管状曲面的全平均曲率

给出了T.J.Willmore猜想的一个推广,说明Viviani曲线上管状曲面的全平均曲率满足(√2π2)＜∫∫M2H2dA＜(√5π2).     

一道解几题解法的引申(高二)

题设P为圆C:(x-3)2 y2=1上的动点,Q为抛物线y2=x上的动点,求|PQ|的最小值. 解由条件可知C(3,0),设Q(a2,a),则|QC|2=(a2-3)2 a2=(a2-(5/2))2 11/4,即当a2=5/2时,| QC |min=(√11/2),此时,| PQ |的最小值为(√11/2)-1. 此题的解法可作以下类比,引申. 引申1 一个酒杯的横截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,今在杯内放入一个     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

对一道高考题的解法探究与拓展延伸

题目 (2015年四川理第20题)如图1 ,椭圆 E:x2a2 + y2b2 = 1 ( a> b> 0 )的离心率是(√2)/2 ,过点 P(0 ,1)的动直线 l与椭圆相交于A,B两点,当直线 l平行于x轴时 ,直线 l被椭圆E截得的线段长为2(√2).     

一道英国数学竞赛题与斐波那契数列

文[1]给出了这样一道英国数学竞赛题: "证明:数列y0=1,yn 1=(1)/(2)(3yn (√5y2n-4))(n≥0)的各项都由整数构成."对于这道题的证明可参看文[1],这里不再赘述.现在我们想要弄清楚的是这个数列{yn}究竟是什么数列.为此,经计算求得该数列的前几项是:     

数评二00三年全国高考文科综合试卷

全国范围的文科综合高考已历两载。从宏观的层面分析 ,2 0 0 3年综合试卷结构依然照旧 ,题型基本稳定 ,命题原则保持不变 ;从微观的角度研究 ,试卷的主要特点表现为 :“一个提高”“三个弱化”“五个突出”。一、试题的综合水平有所提高1.综合种类增加。 2 0 0 2年高考文科综合试卷第Ⅰ卷共 3 5题 ,跨学科的有 15题 60分 :第 1～ 7题 (政政政地地地政 )、第 2 0～ 2 2题 (史史政 )、第 2 3～ 2 7题(史史史史政 ) ;第Ⅱ卷共 5题 ,跨学科的有 2道大题( 10小题 ) 60分 :第 3 9题 2 6分 ( 1)史 ( 2 )地 ( 3 )史 ( 4 )地( 5 )政、第 40题 3 4分 (…     

赏析阅读材料二次根式问题

阅读材料二次根式问题在近年中考题中屡见不鲜.解答它们,应认真阅读给出的材料,从中了解和掌握阅读材料提供给我们的信息. 例1 阅读下列材料,然后回答问题 在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如5/√3,√2/3,2/√3+1一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简: 5/√3 =5×√3/√3×√3 =5/3√3;√2/3 =√2×3/3×3 =√6/3;2/√3+1 =2×(√3-1)/(√3+1)×(√3-1)=2(√3-1)/(√3)2-1 2=√3-1. 以上这种化简的步骤叫作分母有理化. 2/√3+1还可以用以下方法化简: 2/√3+1 =3-1/√3+1 =(√3)2-12/√3+1=(√3+1)(√3-1)/√3+1 =√3-1. (1)请用不同的方法化简2/√5+√3.     

2008年安徽高考理科22题结论的推广

笔者在做2008年安徽高考题时,发现理科22题结论可推广,得到圆锥曲线的共有性质: 原题设椭圆c:x2/a2 y2/b2(a＞6＞0)过点M(√2,1),且左焦点为F1(-√2,0).     

对2013年山东理科数学第22题的进一步探究

1 试题呈现 2013年山东理科数学第22题:椭圆 C:x2/a2 + y2/b2 = 1 ( a> b> 0 )的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为(√3)/2 ,过 F1 且垂直与 x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.     

浅谈解析几何中一类题目的解题策略

一、步步为营逐步消参 例1 求与圆x2 y2-2x=0相外切,且与直线x (√3y)=0相切于点M(3,-(√3))的圆的方程. 思路一:设所求圆的方程为:(xa)2 (y-b)2=r2(a、b、r为参数).     

一道高考题的疑问及剖析

2011年上海市春季高考数学第23题:对于给定x0＞3√a(a＞0),由递推式xn+11/2=(xn(√a/xn)(n∈N)得到数列{xn},且对于任意n∈N,都有xn＞3√a.用数列{xn}可以计算3√a的近似值.     

一道IMO试题的几何模型及应用

第五届IMO第5题是:证明: cos π/7-sos (2π)/7+cos=(3π)/7=1/2. 因为cos (3π)/7=cos(π-(4π)/7)=-cos (4π)/7,所以原题变为: cos π/7-cos (2π/7)-cos (4π/7)=1/2.由于π/7+(2π)/7+(4π)/7=π,故可构造一个三角形来证明.     

高考立体几何的命题规律及复习建议

高中立体几何是中学一个重要内容 ,考生对这部分内容的复习 ,感觉上总是没底 ,高考得分情况也不很理想 .下面对高考立体几何的命题规律作一个简要的分析 ,供考生在复习时参考 .一、题型分布 ,较稳定年份　　　　题型　　题号 选择题填空题解答题分值1 998年 7、9、1 3 1 82 3 3 01 999年 7、1 0、1 2 1 82 1 2 92 0 0 0年 3、9、1 2 1 61 83 1　　二、源于课本 ,重基础例 1　原题 (课本第 5 8页第 5题 ) :有一个长方体 ,它们的三个面的对角线分别为ａ、ｂ、ｃ,求它的对角线长 .高考题 (2 0 0 0年全国高考理科第 3题 ) :一个长方体共一顶点的…     

一道课后习题及解答的订

普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2-2,人教版)第二章《推理与证明》:第111页复习参考题B组:第一题,观察:2×3 1=72×3×5 1=312×3×5×7 1=2112×3×5×7×11 1=23112×3×5×7×11×13 1=300312×3×5×7×11×13×17 1=510511……由此可以发现什么规律?利用这个规律     

九年级第一学期期末英语质量检测题

一、听力理解 (每小题读两遍 ;1～ 15题每小题 1分 ,16～ 2 0题每小题 2分 ,共 2 5分 )A)听对话 ,按照所给示例填空完成下面的表格STUDENTHOSTEL　ChargesformealsExample　BREAKFAST　　　 2 0 0 2 5 0　LUNCH 3 0 0　√　　DINNER 3 0 0 1.　　　　THREE MEALPLAN 4 8 0 0perweek 2 .　　　　TWO MEALPLAN 36 0 0perweek 3.　　　MealTime　BREAKFAST 7:0 0 - 9:30am 4 .　　　　LUNCHnoon - 2 :0 0pm　DINNER 6 :0 0 - 7:30pm 5 .　　　　B)在下列每小题内 ,你将听到一个句子并看到供选择的…     

一个问题的另解

近日翻阅贵刊 ,看到 2 0 0 1年第 7期第 1 5页《露一手》栏目的一道题的妙解 .题目如下 :某次数学竞赛共有 5道题 (满分不是 1 0 0分 ) ,赵军只做对了 (1 ) (2 ) (3) (4)题 ,得 2 6分 ;钱广只做对了 (1 ) (2 ) (3)(5)题 ,得 2 5分 ;孙悦只做对了(1 ) (2 ) (4) (5)题 ,得 2 6分 ;李彤只做对了 (1 ) (3) (4) (5)题 ,得 2 7分 ;周泉只做对了 (2 )(3) (4) (5)题 ,得 2 8分 ;吴伟全做对了 ,得分 .原作者采用的是列表法 .一一比较 ,得出各题得分的关系式 ,然后通过方程求出答案 .虽说是妙解 ,但笔者仍认为其繁琐 .因为从题目中不难看出 ,赵、钱、…