题中无圆心有圆 圆来就这么简单

研究近年高考数学试题,发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降,“直线与圆”的地位大幅度提升,具有数学文化背景的题目层出不穷.其中,有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息,而是隐藏在条件中,需要通过分析转化,从而发现圆(或圆的方程),进而利用圆的知识求解,这类问题称为“隐形圆”问题.比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强,充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法,学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例,探寻“隐形圆”问题求解策略.     

挖掘数理 “圆”形毕露——一类隐圆问题的挖掘及求解策略

有些题目在题面中没有直接给出圆方面的信息,要通过分析和转化,自行挖掘圆(或圆的方程),最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为"隐形圆"问题.研究"隐形圆"问题的解题策略,可以提高学生的能力.     

让隐形圆无处遁形

<正>在江苏高考和模拟题中,有些题目将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查与圆相关的知识点.解答这类问题时,需要我们分析和探索,挖掘出这些隐藏的圆(简称隐形圆),再利用和圆有关的知识进行求解.本文通过几道典型考题的解析,谈谈发现隐形圆的常用策略,希望能起到抛砖引玉的作用.一、根据圆的定义发现隐形圆由圆的集合性定义,在同一平面内,到定     

发现隐形圆

<正>在电影《哈利·波特》中,只要穿上隐形斗篷,就会消失得无影无踪.在数学中,有一个图形就像披上隐形斗篷一样,很难被发现.当一条线段、三角形或四边形运动时,其中的某点随之运动,它的路径可能形成一个圆(或圆的一部分).在近两年各地的中考试卷中,有一些运动变化的好题,在所给的图形中并没有画出圆,但是在思考分析问题中,如果能发现某个点的运动路径是一个圆,可谓是"山重水复疑无路,柳暗花明又一村",将会对问题的解决起到重要作用.     

例析数学问题中的隐形圆

<正>圆是数学知识体系中非常重要的一个知识点,因此,每年的高考试题总会考查与圆有关的问题.从近几年各省市的高考试题及模拟试卷的考查情况来看,常常出现对"隐形圆"问题的考查,这样,不仅考查了圆的知识,还进一步考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.本文通过几道习题的解析,希望能起到抛砖引玉的作用.     

巧用隐形的“圆”

某些数学问题表面上似乎与圆无关,但挖掘其几何意义,可借助于圆的知识来解决.下面就对隐形的圆加以分类说明.一、隐形于不等式中     

构造隐圆 巧求最值

<正>在近年各地的中考中,屡屡遇到这样的问题,图中没有圆,但最后的问题需要通过构建圆来解决.在解题过程中很多学生找不到突破口,难以下笔.本文尝试从圆的本源出发,提升学生对于隐圆问题的分析能力和解题能力."隐圆"在综合题中一般伴随着"最值问题"出现,如"将军饮马"、"造桥选址"、"胡不归"、"阿氏圆"等等.最值问题探究无非就是点与点、点与线之间的距离问题.而在初中阶段,与圆相关的最值问题一般与"最长的弦"和"定点到直线上一点距离"相关.     

以终为始,锚定靶心—–谈中考隐形圆问题的教学突破

以中考题为例,分析问题背后需要掌握的基本概念和重点模型,为后续隐形圆的问题解决提供脚手架.     

巧用“隐形圆”模型,突破中考综合题

<正>在数学解题中,利用"隐形圆"模型常能破解一类较难的综合题,下面通过中考题对此类模型的应用做一归类说明.一、静态中的"隐形圆"模型1."到定点的距离等于定长"的"隐形圆"模型例1(2017年福建中考题)如图1,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.(1)若△PCD是等腰三角形时,求AP的     

打通纵横联系 巧构隐圆解题

<正>圆是一种非常完美的图形,具有很强的对称性和很优美的一些性质.因此,若能借助圆的一些性质进行解题,往往能达到化难为易的效果.笔者在教学过程中发现,有很多表面上看起来与圆无关的问题,若能通过细致的观察,实施一定的策略转化为圆的问题,往往能达到意想不到的效果,能突破解题的瓶颈.通过构造隐形的圆并转化为与圆有关的问题,体现了数形结合与化归的核心数学思想,是实数变式教学的重要途径与     

椭圆问题使用伸缩变换的条件

正近几年,有关椭圆问题"圆化"的文章,不断的出现.许多教师发现,一些椭圆的题目,通过伸缩变换,转换为圆,问题从"分析"到"解答"都变得更直观、简洁、优美.因此,许多教师、学生在遇到椭圆问题时,都"勇于"尝试此法.然而,并非所有的题目都可以使用伸缩变换.事实上,只有一小部分的题目适用.那么,我们如何在"审题"之时,就知道伸缩变换是否适用该题?为此,我们需要从几个方面来认识"伸缩变换":     

利用数量积式圆模型解向量模长最值问题

向量是浙江高考的热点问题,特别是“动态”向量元素的注入使向量问题呈现出新的活力,同时提升了对数学思维的考查难度.如何提高学生数学思维和想象能力,需要回归动态向量模长问题其存在的几何背景.本文列举了一类数量积式隐形圆解向量模长最值或范围的相关浙江高考和模考题的解决策略,来帮助学生突破这个难点.     

丰富的圆简单地学——谈“圆的认识”教学

教学现状 笔者发现,在"圆的认识"教学中普遍存在三个问题. 一、注重学生对圆的直观认识,没有让学生形成科学的概念 圆在生活中是依附于具体物体而存在的,许多物体上有圆形的面.因此,教师通常从生活实例中引入圆,让学生充分感知生活中的圆,激发学生的学习兴趣,导致学生在举例时往往说什么物体是圆的,没有区分物体和物体的面,也就是没有清晰地区分圆和圆面.而从集合的角度讲:圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合.因此,教学应该始终围绕圆的本质展开,而不是就现象论认识.     

"圆的标准方程"教学设计与思考

在"圆的标准方程"的教学中,基于对教学内容、教学方法的分析,从教学情境创设、标准方程构建、变式训练与实际问题的解决等角度,进行了详细的教学设计与实施.基于本内容的教学进行反思,发现对教学内容的定位,在学生实际与评价要求之间寻找平衡点,以及培养学生的数学意识,都是高中数学教学中需要重点关注的事项.     

对一类“隐形圆问题”的探究和思考

<正>近几年来,阿波罗尼斯圆就像一个老朋友一样常来拜访我们.如下面的高考题:试题(2008年江苏高考题)满足条件AB=2,AC=2^(1/2)BC的△ABC面积的最大值是.从此开始,一类与"阿波罗尼斯圆"相关的试题便反复出现在各大试卷中,成为了命题的热点.转眼间九年过去了,就好像细胞会变异一样,阿氏圆也开始慢慢的演化,悄无声息的演变为一类"隐形圆"问题.笔者根据近三年在高三教学的一些切身体会和经验,谈     

抓住问题本质 实施有效训练

<正>常常有些老师开玩笑地说:"这个问题我讲了八遍了,学生还是不会做."其实不在于做了多少遍,讲了多少遍,而在于有没有让学生拨开云雾,抓住问题本质.这就需要老师对训练做一些设计,让学生在训练中不断提升能力.下面以"直线与圆的位置关系"为例来说明.类型1判断直线与圆的位置关系已知直线和圆的方程,可以直接问两者的位置关系,也可以问交点的个数,这类问题是最简单的问题,常有两种方法,一是看由它     

求解圆的折叠问题时模型方法的运用

<正>"圆"是中考重点,也是学生学习的难点.很多学生常常"望圆生畏",尤其是圆的折叠问题.相比较于直线型的折叠操作起来要困难得多.圆的折叠问题对学生图形识别能力、空间想象能力、解题综合能力提出了考验.笔者结合几个的实例,谈一谈求解圆中折叠问题时,模型方法的运用.     

圆中求方:教师评价学生的艺术

教师评价学生,在一定意义上主要有两种方式:表扬与批评.其中表扬是"圆",批评是"方".教师要想有效利用这两种方式,就应该做到"圆中求方","从圆到方".因为这个"圆"是推动学生进步的动力,也是不断提高学生学习兴趣的重要方法.学生的成功源于信心,学生信心的形成往往源于教师的表扬和鼓励.但要用好这个"圆",教师应注意以下一些问题.     

“确定圆的条件”教学设计与评析

为培养学生的创新意识和实践能力,通过实际问题引导学生自己发现问题并提出问题,由浅入深逐步展开三个探究活动.在活动中,学生通过独立思考、主动探索、合作交流、归纳概括,得到猜想和规律并加以验证,在理解和掌握"确定圆的条件"的同时,体会和运用分类讨论、类比等数学思想方法.     

用动态圆解决磁场中粒子源问题

在电磁学的学习中,经常遇到"粒子源"的问题,由于这类问题涉及的研究对象不明确,对空间想象能力要求较高,有的题目还需要挖掘隐含条件和分析临界状态,因此学生求解这类问题感到很困难.本文试图通过认识动态圆来解决"粒子源"问题.高中物理中粒子源问题有两类:第一类是在同一平面内沿