一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

一道赛题的解法探秘

例如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若△ABC是等边三角形,∠ADC-30°,AD=3,BD=5,则CD的长为（ ）     

中点四边形的再探索

探索:1.当四边形对角线互相垂直时,中点四边形为矩形;例1如图1,F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使EFGH为矩形,四边形ABCD应该具备的条     

一道赛题中正方形边卡术法初探

例如图1,点P是正方形ABCD对角线AC上一点,连接BP,     

构造函数解赛题

1．构造一次函数 例1 设x,y,z∈（0,1）,求证： x（1-y）＋y（1-z）＋z（1-x）〈1．     

构造函数解赛题

例1如果cos5θ-sin5θ〈7（sin3θ-cos3θ）,θ∈[0,2π）那么θ的取值范围是——．     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

一道几何赛题的另证

本刊2013年第4期“一道几何赛题的多种证法”一文运用几何构造给出了第（2）问的四种证法．这里再给出另外两种不同证法,供读者参考．     

对一道IMO赛题的探析

在2007年举行的第48届IMO试题中，有这样一道构思巧妙、引发笔者深入研究的平面几何问题： 问题设A，B，C，D，E五点中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BCED是圆内接四边形．设l是通过点A的一条直线，l与线段DC交于点F（F是线段DC的内点），且l与直线BC交于点G．若EF=EG=EC，求证：l是〈DAB的平分线．     

一道几何赛题的六个思路

例 如图1,在凸四边形ABCD中,AB—BC—BD,∠ABC-80°,则∠ADC等于（ ）     

几道初中数学竞赛题的另解

题1 是否存在正整数α、b,使得等式 α^3＋（α＋b）^2＋b=b^3＋α＋2 成立？如果存在,求出α、b的所有值；如果不存在,请说明理由。     

两道竞赛题的另解

题1如图1，已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Г为过A、C且圆心不在AC上的圆，分别过A、C两点且与圆Г相切的直线交于点P，朋与圆Г交于点Q。证明：∠AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Г的选取。     

数学竞赛中的集合问题

本讲适合高中 )1　关于集合的概念与运算例 1　若非空集合A ={x| 2a 1 ≤x≤3a - 5},B ={x| 3≤x≤2 2 },则能使A (A∩B)成立的所有a的集合是 (　　 ) .(A) {a| 1 ≤a≤9}　　(B) {a| 6 ≤a≤9}(C) {a|a≤9}(D) ( 1 998,全国高中数学联赛 )图 1解 :根据A (A∩B)可知A B ,如图 1所示 .从而 ,2a 1 ≥3,3a - 5≤2 2 ,3a - 5≥2a 1 6 ≤a≤9,即a∈ {a| 6 ≤a≤9}.故选 (B) .注 :借助韦恩图或数轴可直观地表示出集合与集合的关系 ,使题设更加清晰、明了 .例 2　设集合M ={u|u =1 2m 8n 4l,m、n、l∈Z},N ={u|u =2 0p 1 6q…     

数学竞赛中的体育竞赛问题

在数学竞赛中有许多有关体育竞赛的问题,这些问题是对我们“心智”的考验。其所涉及的数学知识有方程、数论、组合数学和图论等。解决这些问题所要用到的数学方法和数学原理有整体核算法、不变量方法、数形结合和极端性原理,等等。 1 比赛场数问题 解这类问题要注意每场比赛都涉及两个队(选手)。准确把握参赛各方的数量关系,才     

数学竞赛中的体育竞赛问题

(本讲适合高中) 　　在数学竞赛中有许多有关体育竞赛的问题,这些问题是对我们“心智”的考验.其所涉及的数学知识有方程、数论、组合数学和图论等.解决这些问题所要用到的数学方法和数学原理有整体核算法、不变量方法、数形结合和极端性原理,等等.……     

几道数学竞赛题的简解

《中等数学》2004年增刊内容翔实，很多题目的解法精妙，阅读后使我收获很大，但也有些题目的解法较繁，本文给出几道题的较简便的解法。     

几道数学竞赛题的简解

题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1)     

数学教育见习存在的问题及对策

数学教育见习是发展数学师范生实践能力的重要途径。然而,数学教育见习在实施过程中出现了很多问题,导致它未能发挥应有的作用。为了提高数学教育见习的有效性,必须正确分析数学教育见习存在的问题和原因,并找到相应的对策。     

高等数学问题的辅助解法

仿照平面几何与立体几何证明中添加辅助线的方法，来处理高等数学中的一些问题。以实例给出了构造辅助方程、辅助行列式、辅助积分、辅助矩阵等解决高等数学问题的方法。