解数列题的方法和技巧

一、应用方程和函数思想解题我们知道数列是一种特殊函数 ,用函数的观点学习数列 ,能使我们更深刻地理解数列。而用方程的思想可以方便地解决数列中的计算问题。例１ :已知｛ａｎ｝是等差数列 ,｛ｂｎ｝是等比数列 ,｛ａｎ｝的公差ｄ和｛ｂｎ｝的公比 ｑ相等且都不等于１ ,ａ１＝ｂ１，ａ４＝ｂ４,ａ１０＝ｂ１０,求ａ１ 和ｄ。解 :由题意得 :ａ１＝ｂ１,ｄ＝ｑ例２ :一个等比数列 ,前ｎ项和为４８ ,前２ｎ项和为６０ ,求前３ｎ项的和。解 :设等比数列的首项为ａ１,公式比为 ｑ,显然 ｑ≠１ ,依题意得有 :例３ :已知ｆ（ｘ）是一次函数 ,且…     

成果集锦

倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ...     

成果集锦

成果集锦一类分式方程的解初中代数中有很多分式方程都可归结为１ｘ－ｍ－１ｘ－（ｍ＋ｋ）＝１ｘ－ｎ－１ｘ－（ｎ＋ｋ）．（１）通分、求解,可知当ｍ≠ｎ,且ｋ≠０,ｋ≠｜ｍ－ｎ｜时,方程（１）有唯一解ｘ＝１２（ｍ＋ｎ＋ｋ）．例如,方程１ｘ－１－１ｘ－４＝１ｘ...     

浅谈换元法应遵循的原则

换元法是一种有效的解题方法,通过它可以达到化难为易,化繁为简的解题目的．本文笔者就一些具体的例子,对应用换元法解题应遵循的原则谈一谈拙见．１　整体性原则例１　解下列方程：（１）（２＋３）ｘ＋（２－３）ｘ＝４;（２）１０ｌｇ２ｘ＋ｘｌｇｘ＝２０．解　（１）令ｔ＝（２＋３）ｘ,则（２－３）ｘ＝１ｔ,于是原方程化为ｔ＋１ｔ＝４,解得ｔ＝２±３,即　（２＋３）ｘ＝２±３,∴ｘ＝±２．（２）令ｔ＝ｌｇｘ,则ｘ＝１０ｔ,原方程化为１０ｔ２＋１０ｔ２＝２０,所以１０ｔ２＝１０,ｔ２＝１,ｔ＝±１,即ｌｇｘ＝±…     

关于丢番图方程x~4-4x~2y~2 y~4=-239

在《数论中的问题与结果》（曹珍富著,哈尔滨工业大学出版社１９９４年版）一书中,丢番图方程ｘ４－４ｘ２ｙ２＋ｙ４＝Ｎ被列为数论中未解决的问题。到现在为止,人们仅仅解决了｜Ｎ｜≤２００的一些值,而对于｜Ｎ｜＞２００的值根本没有涉及到,本文用递推序列的方法解决了Ｎ＝－２３９这一情形。１　预备知识令ε＝５＋２６,ε＝５－２６,Ｔｎ＝１２（εｎ＋ε－ｎ）,Ｓｎ＝１４６（εｎ－ε－ｎ）,ｎ是整数,则通过验证可得如下诸性质：Ｓ。＝０,Ｓ１＝１,Ｓｎ＋２＝１０Ｓｎ＋１－Ｓｎ（１）Ｔ。＝１,Ｔ１＝５,Ｔｎ＋２＝１…     

浅析分域讨论在解题中的应用

分域讨论就是通过对所论数学问题的变量或参数允许值范围的分割 ,将整体问题化为局部问题 ;再通过对局部问题的处理 ,而获得对整体问题的解决的一种方法。它体现了“化整为零”,再“积零为整”的思想和归类整理的方法。１．求方程的解例１ :解方程│ｘ -２│ │ｘ -３│ -│ｘ│＝０分析 :方程中绝对值较多 ,如从整体着手 ,绝对值符号难以去掉 ,现应分段处理。令ｘ -２＝０ ,ｘ -３＝０,ｘ＝０,则得界点０,２,３,它们将实轴分为 ( -∞ ,０)、〔０、２〕、(２、３)、〔３ ∞）四个区间。解 :当ｘ∈ ( -∞ ,０）时 ,原方程化为２ -ｘ ３ -…     

一个不定方程的概率解法及其它

采用概率的方法经出方程｛ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝ｎ的全体正整数解,其中ｎ为任意正 ｘ１ｘ２＝ｘ３ｘ４ 意正整数。     

初一第一学期期末考试数学试题

一、填空题（每空１分,共２０分）１－１１２的倒数是;｜０．５｜的相反数是;若｜ｘ｜＝７,则ｘ＝。２单项式－３ｘ２ｙ３ｚ５的系数是;次数是。３多项式３ｘ２ｙ－ｘ３－ｙ３＋５ｘｙ２是次项式,按ｘ的降幂排列为。４已知ｍ－ｎ＝２５,则２５－ｍ＋ｎ＝。５当ａ时,代数式ａ－４５与３１０ａ－１的值互为相反数。６合并同类项－ａ－ａ－ａ＋ａ２＋ａ２＋ａ２＝。７若２５ｘｙｍ与－５ｘ２ｍ－５ｙｎ＋２是同类项,则ｍ＝,ｎ＝。８若ｘ＝－３是方程１４（ｘ－ｋ）＝－１的解,则ｋ＝。９在公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－…     

高考数学复习的比较教学

一、对易造成思维定势负迁移的基础知识进行比较教学１．对基础知识中易造成同化错觉的有关内容进行比较差异的教学．现行中学数学教材是遵循基础知识的循序渐进,由单个知识向完整的知识体系过渡．由于这个特点,学生在前后知识学习中容易造成同化错觉,这就要求我们在复习中将具有这样的特点的知识进行比较差异教学．如在复习复数乘方、开方运算时,学生习惯了实数指数运算法则,对于ｚ∈Ｒ＋时,（ｚｎ）１ｎ＝ｚ成立这个定势往往推广到复数范围,致使一些学生解形如（ｘ＋１）９＝（１＋ｉ）９（ｘ∈Ｃ）的方程,只得到一解ｘ＝ｉ的错误…     

应用根与系数的关系巧解无理方程

一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０）的两个根是ｘ１,ｘ２,那么这个关系式是初中数学中极为重要的基础知识之一,是解决许多数学问题的有力工具。同样,对有些无理方程,也可通过换元,化成两数之和以及两数之积的形式,利用根与系数的关系求解。 例１解关于Ｘ的方程原方程两边平方并整理得：根据根与系数的关系,ｍ与ｎ是方程由此求得：例２．解方程解：设将①、②代入上式,得ｑｑ＝４③由①、③知,的两根,解得ｙ１＝ｙ２＝２,由,得ｘ＝７由,得ｘ＝７经检验,ｘ＝７是原方程的根。例３…     

一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

整数一个简单性质的应用

性质　如果ｍ、ｎ为整数 ,那么ｍ ｎ与ｍ-ｎ同奇同偶 .整数这一貌似简单的性质 ,在解有关整数、整除、方程的有理数解 (包括整数解 )以及整数的分解等问题时 ,如果运用得当 ,常常能化繁为简、化难为易 .现举例说明 .例 1　方程ｘ2 - ｙ2 =1 998的整数解有 (　　 )Ａ .一组　　　Ｂ .两组Ｃ .无数组　　Ｄ .不存在(1 998年安庆市数学竞赛题 )解　ｘ2 - ｙ2 =1 998就是 (ｘ ｙ) (ｘ-ｙ) =1 998.因为ｘ ｙ与ｘ - ｙ同奇同偶 ,且 1 998是偶数 ,所以ｘ ｙ与ｘ- ｙ同为偶数 .但 1 998不能写成两个偶数之积 ,因此 ,原方程无整数解 .故选Ｄ .例 2…     

以退求进 探索规律

在计算某些复杂的算式时，如果直接计算比较繁难甚至不能求得结果，我们倒不如退一步思考这些算式，归纳探索更一般算式的较简单的情形，通过对较简单算式的计算，从而找出计算原有算式的方法。现举例说明如下。７７７…７７×９９９…９９２００２个７２００２个９例１计算：【分析与解】直接计算过程会十分繁琐，我们不妨退一步考虑它的简单情况，用７和９、７７和９９、７７７和９９９、７７７７和９９９９这几组相对较小的数来进行试算。７×９＝６３７７×９９＝７６２３７７７×９９９＝７７６２２３７７７７×９９９９＝７７７６２２…     

1996趣题六则

１９９６趣题六则平凉一中史浩春１．求证证明：２．若［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，求１＋解：因为当ｎ为大于１的自然数时，故原式＝１９９６。３．求证：方程ｘ３－ｘ＝１９９６无整数解。证明：若ｘ３－ｘ＝１９９６有整数解，则ｘ３－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ－１）必...     

抓特点巧解一元一次方程

一、巧去分母例１解方程ｘ＋４０．２－ｘ－３０．５＝１．６。分析：特点是方程左边分母都是小数,０．２×５＝１,０．５×２＝１,故应用分数基本性质对方程中分数作变形,可实现去分母。　　二、巧去括号例２解方程３２〔２３（ｘ４－１）－２〕－ｘ＝２。分析：特点是方程中３２与２３互为倒数,故利用倒数先去中括号,同时实现去掉小括号。　　三、巧并同类项例３解方程ｘ－１３〔ｘ－１３（ｘ－９）〕＝１９（ｘ－９）。分析：特点是利用方程中含（ｘ－９）的整体,合并同类项。　　四、巧拆项例４解方程２ｘ－１３－１０ｘ…     

一类变号系数泛函微分方程非振动解的存在性

本文研究具有变异系数泛函数分方程ｘ（ｔ）＋ｎ∑ｉ＝１Ｐｉ（ｔ）ｘ（１－τｉ（ｔ）＝０非振动解的存在性,获得方程存在有界非振动解的一个充分条件。     

一类n阶变系数线性方程的解法

本文给出ｘ￣（ｎ）＋ａ１（ｔ）ｘ￣（ｎ－１）十…十ａ＿（ｎ－１）（ｔ）ｘ’＋ａ＿ｎ（ｔ）ｘ＝０具有积分中因子μ（ｔ）＝的充分必要条件及这类方程的通解表达式．     

圆锥曲线的极限

新教材《高中数学》第二册(上 )第７５页例题指出 ,已知圆方程ｘ２ +ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ(ｘ０,ｙ０)的切线的方程是ｘ０ｘ+ｙ０ｙ＝ｒ２．这种“拆开代入法”可以推广到圆锥曲线．这里“拆开”的关键是 :ｘ２＝ｘ·ｘ,ｙ２＝ｙ·ｙ,２ｘ＝ｘ+ｘ,２ｙ＝ｙ +ｙ,然后“代入”,即其中１个ｘ用ｘ０,１个ｙ用ｙ０ 代入 ,我们得到定理１:(１)椭圆Ｅ :ｘ２ａ２ - ｙ２ｂ２＝１,则过Ｅ上一点Ｍ(ｘ０,ｙ０)的切线ｌ的方程是 :ｘ０ｘａ２ +ｙ０ｙｂ２ ＝１． (１)(２)双曲线Ｈ :ｘ２ａ２ +ｙ２ｂ２＝１,则过Ｈ上一点Ｍ(ｘ０，ｙ０)的切线ｌ的…     

互相渗透的函数、方程和不等式

1 .方程问题转化为函数问题一元二次方程 ｆ(ｘ) =0 ,经移项 ,可化为一端是一个二次式 ,另一端是一个一次式或常数项的形式 ,从而得到 φ(ｘ) =ψ(ｘ) .令 ｙ1 =φ(ｘ) ,ｙ2 =ψ(ｘ) ,则函数 φ(ｘ)与 ψ(ｘ)的图象的交点 ,即为ｆ(ｘ) =0的解 .判断一个方程的解的个数问题 ,可用此法求解 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 -2ｘ -1-ｋ =0 ,ｘ∈ [-1,2 ] ,ｋ≤ 1,求此方程的实数解的个数 .解 :原方程化为 :(ｘ -1) 2 =2 +ｋ ,-1≤ｘ≤ 2 ,ｋ≤ 1.令ｙ1 =(ｘ -1) 2 (-1≤ｘ≤ 2 ) ,ｙ2 =2 +ｋ(ｋ≤ 1) .在同一坐标系中 ,作出它们的图象 ,如右图 .观…     

从不对称到对称

对称既是数学美的一种形式 ,又是解题的一种思考方法。有些问题看起来是不对称的 ,但我们可以通过构造另外一个式子或改造原图形使问题变得具有对称性 ,帮助解题。如“已知α、β是方程ｘ２ ２ｘ １＝０的两根 ,求α 的值”一题中的“α ”是不对称的 ,那么我们可以设ｍ＝α ,ｎ＝β 。这样的两个式子的右边呈现了轮换对称性了 ,就能够运用根与系数的关系求出结果。因为α β＝２ ,αβ＝ １ ,ｍ ｎ＝（α β） （ ）＝（α β） ＝２ ２＝０ ,ｍｎ＝（α ）（β ）＝αβ ２＝ １ １ ２＝０。由此可解出ｍ＝０。几何中若给出…