不要小看反比例函数

函数y=1/x在区间（-∞,0）和（0,＋∞）上单调递减,其值域为{y/y：f=0},对称中心为（0,0）．对一般结构形式的函数y=1/x-a＋b,由图象平移知识可得其对称中心为（a,b）．     

函数单调性的八种理解及应用

函数的单调性可以从八个方面理解 ,且每一种理解都有其应用价值 ,分述如下 :设函数 y=f(x)的定义域为 1 ,D为I内的某个区间 .1　宏观理解在区间D上 f(x)的图象上升 (下降 ) f(x)是区间D上的增函数 (减函数 ) .例 1　已知a0 ,那么｜f(x) ｜在区间 [a ,b]上 (　　 )A 单调递减 ,且 f(x) >0B .单调递增 ,且 f(x) >0C .单调递减 ,且 f(x) <0D .单调递增 ,且 f(x) <0解　取a =- 3,b=- 2 ,利用数形结合画出示意图 ,观察图象知｜f(x) ｜在区间 [-3,- 2 ]上单调递增且…     

活用导数意义求极限 巧破分离参数之难关

《中学数学教学参考》（上旬刊）2009年第1-2期高考频道栏目“2009年高考：我的优质训练题”征文选登中有这样一道题目： 题目 已知函数f（x）=x^2＋2z＋alnx． （1）若函数f（x）在区间（0，1）上恒为单调函数，求实数a的取值范围；     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

泛函微分方程x'(t)=f(x~(n)(t))单增解的存在性

在条件f：R→R连续，单调递增，当z=0时，zf（z）＞0，limf（z）=M，z→＋∞其中M＞1，研究了过t-X上半平面上任意一点方程X’（t）=f（x（n）（t））解的存在性及其性质，得出了解曲线可以“填满”整个上半平面的结论．     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

江苏卷第19（2）题

题目 已知a,b是实数,函数f（x）=x^3＋ax,g（x）=x^2＋bx,f＇（x）和g’（x）是f（x）和g（x）的导函数,若f＇（x）g’（x）≥0在区间I上恒成立,则称f（z）和g（x）在区间I上单调性一致．     

导数的三个基本关系

一、三大关系 1．函数的导数与单调性的关系。 函数y=f（x）在某个区间内可导，则： （1）若f＇（x）〉0，则f（x）在这个区间内单调递增；     

全纯函数与其微分多项式分担函数的正规性

研究全纯函数与其微分多项式分担函数,得到了如下的正规定则：设F是区域D内的全纯函数族,k是一正整数,h1（z）,h2（z）在区域D内的解析,满足｜h1（z）｜2＋｜h2（z）｜2≠0。若f∈F,f的零点重级至少为k,且f（z）=0｜f（k）（z）｜≤M（常数M〉0）,（z）=αi（z）L（Z）=αi（z）,i=1,2,其中L（z）=f∞（z）＋α1（z）f（k-1）（z）＋…＋αk（z）f（z）为f的微分多项式,αi（z）（i=1,2,…,k,k≥1）在D内解析,那么F在D内正规。     

利用单调函数定义证明一类不等式

笔者发现,函数y=f（x）在区间D上单调递增,则有x1,x2∈D时,（f（x1）-f（x2））（x1-x2）≥0,利用这个结论可以操作简便地证明字母变换具有对称性的一类不等式,下面略举几例．     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题：（2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx． （Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．     

涉及单项分担值的全纯函数的正规性

应用Zalcman引理研究了与导数有单向分担值的全纯函数族的正规族,得到了如下的结论：即：设F是区域D上的全纯函数,若对于任意的f∈F,都有f（z）=0→（z）=z→f＇＇（z）=0且f（0）≠0,则F在D上正规（不再限制零点的级）．     

让解题思路来得更自然一些——对一道高考题的解法反思

2010年高考新课标全国卷第21题： 设函数f（x）=e^x-1-x-ax^2．（1）若a=0,求f（x）的单调区间; （2）若当x≥0时f（x）≥0,求a的取值范围．     

培养解题能力——探索函数的单调性

一、利用零点法判定函数的单调性 在函数f（x）的定义域内（或指定区间上）任取x1〈x2,作差f（x1）-f（x2）并因式分解变形,记其中关于x1,x2且不能确定符号的式子为g（x1,x2）,然后令g（x1,x2）=0,且x1=x2=x0,从中解出x0,x0是函数f（x）的单调区间的端点,然后就可以利用单调性的定义确定函数的单调区间及单调性,下面举例说明。     

他简三角式的思路

I．负化正。大化小通过诱导公式可实现负化正,大化小．例1函数f（z）=sin（π/6-2x）的单调递增区间是——．詈）,     

利用导数探究f（x）是否穿过x轴单调的策略

在高中数学中,有一类函数问题需要利用导数方法探究函数f（ x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减。对此类问题,许多学生找不到突破口,甚至束手无策。以下结合实例探讨判断函数f（ x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略。     

向量与三角

题目：设ω〉0,m〉0若函数f（x）=m sinωx/2·cosωx/2在区间[-π/3,π/4]上单调递增,则ω的范围是（）．     

一类高阶齐次线性微分方程解的超级

本文研究了高阶齐次线性微分方程f（k）＋Ak-1（z）e^pk-1（z）f^（k-1）＋Ak-2（z）^e^pk-2（z）f（k-2）＋…＋A0（z）e^pk（z）f=0和f（k）＋（Ak-1（z）e^pk-1（z）＋D（k-1）（z））f（k-1）＋…＋（A0（z）ep0（z）＋D0（z））f=0解的增长性问题,其中Pjk（z）=ajz^n＋bj,lz^n-1＋…bj,n,Aj（z）和Dj（z）是有限级整函数。针对Pj（z）中aj（j=0,1,…k-1）的幅角主值不全相等的情形。得到了σ2（f）=∞。     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．