关于圆锥曲线统一的极坐标方程的教学

由二次曲线理论,圆锥曲线可以这样统一定义:点M到定点F和定直线L(不过F点)的距离的比是一个常数(通常用e表示)时,点M的轨迹叫做圆锥曲线。定点F叫焦点,定直线L叫准线,定比e叫离心率。根据这一定义,建立如下极坐标系,得统一方程: p=(ep)/(1-ecosθ) 其中01时表示双曲线。 教学中,大部分学生能够理解这一定义,甚至对统一方程记得很牢,但在解决有关实     

极坐标的几种变换及其应用

如同直角坐标系有平移变换和旋转变换,极坐标系也有平移变换、旋转变换以及位似变换。讨论极坐标的这些变换,能帮助我们化简某些极坐标方程,有助于解决某些极坐标方程的作图问题。 (一) 平移变换 改变极点位置,而极轴方向、长度单位和角度正方向都不改变,这样的变换叫极坐标的平移变换。 如图,O′x是原坐标系的极轴,O′x′是经过平移变换后新坐标系的极轴,O′关于原坐标系的坐标是(ρ_0,θ_0),设平面内任意点M在原坐标系中的坐标是(ρ,θ),在新坐标系中的     

双极坐标与圆锥曲线

文给出了双极坐标系的定义: 如图1,在平面上取两个定点A、B叫做极点,有向直线AB叫做极轴,选定逆时针方向为角的正方向,对于平面上(除极轴外)任意一点P,分别用。,卢表示AP、BP与AB方向所成的角度,。、卢叫做点P的极角,有序数对(。,卢)叫做点P的双极     

一道国家集训队选拔考试题的简证及推广

题目设∠XOY=90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP=30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N.求OM ON-MN的最大值.(2004,IMO中国国家集训队选拔考试)图1解:如图1,设∠PMO=θ(0°<θ<90°),则OM ON-MN=32 12cotθ 12 32tanθ-12sinθ-32cosθ.令tanθ2=t∈(0,1),则OM     

点的极坐标的多值性及极坐标的应用

在极坐标系里,平面上的点与其坐标之间的关系不是一一对应的,这是极坐标与直角坐标的根本区别,这种区别根源于点的极坐标的定义而产生的多值性(即同一点的极坐标不只一个)。利用具有这种特性的极坐标来研究某些问题(特别是旋转运动的轨迹)尤其方便,比直角坐标优越得多。本文着重讨论点的极坐标的多值性,并对极坐标的某些应用作初步探讨。一、点的极坐标的多值性。首先,若(ρ,θ)为任意有序实数对,则(ρ,θ)与(-ρ,θ π)都表示同一点的极坐标。 (1)当ρ>0时,以(ρ,θ)为坐标的点M可以唯一地确定:作射线OP,使∠XOP=θ,在OP上取点M,使|OM|=ρ;而-ρ<0,按“规则”([1]P175)确定以(-ρ,θ π)为坐标的点M'的位置:作射线     

浅谈高考中坐标系与参数方程的解题思想

<正>一、极坐标系选定一个参照物,用与物体的距离和所成的角度来刻画物体的位置关系,这就是极坐标的思想。如图1就是一个极坐标系,其中O为极点,Ox为极轴,M的位置关系用坐标(ρ,θ)表示。同时极坐标系与直角坐标系存在转化关系,如图2所示,所     

将asinα+bcosα化为(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ)的教学设计

教师 :如图 1所示 ,设M( a,b)是角θ终边上的一点 ,点 M到原点的距离为 r,则 cosθ =?,sinθ =?学生 :cosθ =ar,sinθ =br.教师 :由此我们得到 a =rcosθ,b=rsinθ.这两个等式说明了一个什么问题 ?学生 :这两个等式表明 :角θ终边上的任意一点 M的坐标 a、b可以分别用角θ的余弦和正弦来表示 .教师 :点 M的坐标 a,b可以取哪些实数 ?由此说明了一个什么问题 ?学生 :由于角θ是任意角 ,点 M是θ上的任意点 ,所以点 M的坐标 a,b可以取任意实数 ,这说明对于任意实数 a,b都可以用一个角θ的余弦和正弦来表示 ,即 a =rcosθ,b =rsinθ,其中r =…     

这个点不能忽略

小小的一个点可以作为几何上的一个图形,可不能小看它。一条直线,如果除去一点,它就不能再叫做直线,曲线也是如此。数列的图象就是由点构成的。我们在解题过程中,稍不留意,就可能丢失或增加一个点,产生谬误。例1 从极点O作直线和直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12,求P点的轨迹方程,并且说明轨迹是什么曲线。(高中课本《平面解析几何》183页第6题)     

对摆线参数方程推导的质疑与解答

一、问题的提出设圆的半径为a,取圆滚动所沿的直线为x轴,圆上定点M落在直线上的一个位置为原点,建立坐标系(图1)。圆滚动角后圆心在点B,并与x釉相切于点A。作MD⊥OX,MC⊥BA,垂足依次为D、C。用(x,y)表示点M的坐标,取作为参数,那么、OA的长等于的长,得     

函数及其图象

平面直角坐标系与函数概念一、复习要点1平面直角坐标系(1)在平面内有公共且互相的两条组成平面直角坐标系.坐标平面内的点与有序实数对是的.(2)特殊点的坐标:ｘ轴上的点表示为,ｙ轴上的点表示为,坐标原点的坐标为.2函数概念(1)在某一变化过程中始终保持的量叫做常量,可以取的量叫做变量.(2)函数的概念:设在某一变化过程中有两个变量ｘ与ｙ,如果对于ｘ的每一个值,ｙ都有的值与它对应,那么就说ｘ是,ｙ是的.函数的表示方法常用的有、和.用数学式子表示函数的方法叫做法,这种数学式子叫做函数解析式.用解析式表示函数时,自变量的取值必须使解析…     

浅析极坐标曲线及其所围平面图形的面积

讨论了极坐标系和极坐标的概念以及曲线在极坐标系下的对称性、周期性,具体研究了曲线r=acosbθ(a∈R ,b∈N)所围平面图形面积的一些规律。     

复数问题的极坐标解法

复数的三角式r(cosθ+isinθ)是用一对有序实数r、θ确定复数Z及其在复平面上的对应点(r≥0,0≤θ<2π).在平面极坐标系中,也是用一对有序实数p、θ(p≥0,0≤θ<2π)来确定点的位置,而且化成直角坐标后x=p·cosθ,y=p·sinθ恰与复数的实部、虚部的系数类同.于是,有些复数问题,在某种条件下,应用极坐标法解更为简     

学习极坐标的五点注意

直角坐标系与极坐标系存在较大的差异 .学生初学极坐标时 ,往往受思维定势的影响 ,容易忽视这两种坐标系的差异 ,从而导致解题失误 .本文把学习中易被忽视的几个注意点综述如下 ,希望引起同学们警觉 .1　注意极坐标的多值性例 1　在极坐标系中 ,点Ｐ(5 ,π3)和点Ｑ(ρ ,2θ)　 (ρ∈Ｒ ,0 <θ<π)表示同一个点 ,求点Ｎ(ρ ,θ) .错解　∵ ρ =5 ,2θ=π3,∴　ρ=5 ,θ =π6 ,即点Ｎ的坐标是 (5 ,π6 ) .剖析　点的极坐标具有多值性 ,可以有无数种表示形式 ,即点 (ρ ,θ)可表示为 (ρ ,2ｋπ +θ) ,也可以表示为 (- ρ ,(2ｋ+ 1)π +θ) .上…     

数学(三)期末复习自测题

一、复数 1.数_称为虚数单位。 2.i的幂有周期性,所以_=1、 =1、=i、=-i。 3.1 i i~2 … i~(50)_。 4.复数Z的代数形式是_、三角形 式是_。 5.复数Z=a bi(其中a、b都为实数)中a叫做_、bi叫做_、b叫做_;Z表示实数需满足_,Z表示0需满足_且_,Z表示虚数需满足_,Z表示纯虚数需满足_且_。 6.两个复数Z=a bi、Z_1=c di ,Z=Z_1的条件是_和_。 7.如果两个复数都是_,可以比较大小,如果_,就不能比较大小。 8.在复平面上x轴称为_,y轴称为_,原点O在_上,它表示_。 9.两个互为共轭复数Z与的实部 _,虚部_;Z =,Z-= ,Z·=,=。 10.复数Z=a bi可以用复平面以 _为起点,点_为终点的向量来表示,向量的_叫做这个向量的模。 11.复数Z=a bi(a≠0)的幅角θ可用公式_求得,模可用公式_求得。两个共轭复数的模_。 12.Z=a bi化成r(cosθ iSinθ)来表示,其中模r=_,幅角θ有公式cos=_,sinθ=_。 13.复数幅角θ的主值取_,在电     

函数及其图象复习指导

(一)复习要点1郾平面直角坐标系(1)构成郾平面内有公共______且_________的两条数轴,构成了平面直角坐标系郾这两条数轴分别叫做______轴(x轴)和______轴(y轴);x轴和y轴把坐标平面分成______个象限郾应注意的是:坐标轴上的点不属于任何一个象限郾(2)基本性质郾坐标平面内的点与___________是一一对应的郾这就是说:坐标平面内的任意一点可以用唯一的一对__________表示;任意一对__________表示坐标平面内唯一一个点郾(3)点的坐标郾表示点的有序实数对(x,y)叫做点的坐标,其中x叫做________,y叫做________郾坐标平面上点(x,y)的符号规律如图1.(…     

关于极坐标系中对ρ的规定的意见

统编教材《解析几何(平面)》169页规定:“对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长度”,而下面又讲:“在某些必要的情况下,也允许取负值”,这显然是矛盾的:既然表示长度,长度是决不允许取负值的,如能取负值,则决不能用它表示长度。长度允许取负值,是令人难以理解的。我认为,如果把“用ρ表示线段OM的长度”,改为“用ρ表示有向线段(?)的数量”既避免了上面所说的矛盾。学生在学习上也容易接受,在应用上也是合理的。理由如下: 1.从角的定义来讲,射线OM是极轴ox绕O点旋转的终止位置,而ox有方向,因此,射线OM是有方向的(实际上,因为OM为射线,就已经知其以O     

旋转变换的妙用

平面几何中的一些题目,由于涉及的知识面广,多变性强,因此难度较大。利用旋转变换,常可使得一些复杂的甚至感到无从下手的题目迎刃而解。本文将通过几例,从不同角度谈谈这一方法的运用。1 旋转变换的定义及性质 定义:将平面图形F上各点绕一定点O转动同一个角度θ得图形F′,这种变换称为旋转变换,简称为旋转。记作R(O,θ)。这里的定点O叫做旋转中心。角度θ叫做旋转角或转幅。     

怎样学好平面直角坐标系

一、正确理解平面直角坐标系的构成平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成了平面直角坐标系 ,两条互相垂直的数轴把坐标平面分成四个象限 ,坐标轴上的点不属于任何一个象限 .二、准确理解一个对应坐标平面内的所有点与有序实数对是一一对应的 .就是说 :坐标平面内的任意一点可以用惟一一对有序实数表示 ,反之 ,任意一对有序实数表示坐标平面内惟一一个点 .三、掌握点的坐标图 1表示点的有序实数对 (ｘ ,ｙ)叫做点的坐标 ,其中ｘ叫做横坐标 ,ｙ叫做纵坐标 ,这对有序实数的前后位置不能颠倒 .若点Ｐ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则点Ｐ到ｘ轴的距离…     

极坐标复习刍见

复习这一单元,要求学生更深刻地理解有关极坐标的一些基本慨念,熟悉一些常见曲线的极坐标方程;会求曲线的极坐标方程;会进行两种坐标的互化。复习要点如下。 1.极坐标系。参阅高中数学课本第二册(以下简称“课本”)P174～176。注意: (1)在直角坐标系内,平面内的点M可与其坐标(x,y)建立起一一对应关系;而在极坐标系中,平面内的点与其坐标间却是一多对应的,这是极坐标系与直角坐标系的根本区别之一。如果     

浅谈极坐标系与力学关系

本文继贵刊1995年第一期题为《论自然坐标系》后再次论述数学与物理的关系,即从另一个侧面谈用极坐标系来解决力学中的相关问题,以填补大学数学中这一空白地带,以下从三个方面加以阐述:一、极坐标系单位矢量的确定及其单位矢量的导数表达式1.单位矢量的确定极坐标可用一对数(r,θ)表示,它有两个单位矢量,(?)和(?);(?)表示位置矢量(?)方向的单位矢量,(?)表示垂直(?)方向且以指向θ角增大方向为正方向的单位矢量,如(图一)所示: