对一类分式求值题的变式剖析

题目1已知1/a+1/b=1/3,1/b+1/c=1/6,1/c+1/a=1/9.求abc/(ab+bc+ac)值这是一道分式求值问题,如果我们从已知中分别求出a、b、c,再代入所求分式,显然是一件非常困难的事,考虑到将所求分式取倒数化简,就可以得     

利用构造法求分式的值

<正>在给定条件下求分式的值,是一种综合性较强的题型,一般不能直接带入求值.解决这类问题不仅要掌握熟练的基础知识,而且还要根据题目特点,把已知条件或所求分式适当加以变形和转化,沟通两者之间的联系,然后利用构造法找到解题捷径.一、构造方程组例1(银川中考)已知4a-3b-6c=0,a+2b-7c=0,求2a2+3b2+6c2a2+5b2+7c2的值.分析由题设构造三元一次不定方程组,选定其中任一未知数作为已知值,再求出     

分式求值的技巧

<正>求分式的值是分式化简、计算的重要内容,经常出现在中考试卷中.这里介绍几种常用的解题技巧.一、特殊值法,巧取奏效例1已知abc≠0,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)的值为_.解依题意,不妨令a=1,b=1,c=-2,则原式=1×(1/1+1/(-2))+1×(1/1+1/(-2))+(-2)×(1/1+1/1)=-3.     

再谈分式不等式证明中的代换法

笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1　分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1　 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 :　 b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明　设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx…     

代数式与数列

1.整式、根式、分式例题1已知x+y+z=a,xy+yz+zx=b,求x2+y2+z2的值.思路由已知条件和所求代数式之间的关系,运用前面的三数和的平方公式来进行计算.     

用整体化思想解题

今天小明和Z老师探讨的题目是:已知3a b 2c=3,且a 3b 2c=1,求2a c的值.小明说:两个三元一次方程组成的方程组一般不能求出a、b、c的值,已知条件只有两个三元一次方程,似乎给解题设置了障碍,考虑到求2a c的值,我将方程组改写为3a 2c=3-b,a 2c=1-3b#.两式相减,得2a=2b 2,即a=b 1,代入得:c=-2b,所以2a c=2b 2-2b=2.Z老师说:你将b视作已知,解二元一次方程组,求出a、c,这种想法是对的,说明你运用知识时比较灵活,但是你仍没有摆脱求a、求c,再求2a c的模式.请注意,该题只要求出2a c的值,并不一定要求出a与c.分析2a c与已知条件的联系,从形式上看,…     

一堂数学课

复习课上 ,老师在黑板上写下 :已知 :a=1996x+ 1995,b=1996x+ 1996 ,c=1996x+ 1997.求 :a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac的值 .凭着多年的教学经验 ,胸有成竹地启发道 :要想求得a2 +b2 +c2 -ab-ac -bc的值 ,肯定要借助已知条件 .大家看 ,已知条件怎样用最简单 ?谷静 :最好是出现a、b、c两两相减的形式 .老师 :我也这样认为 .怎样才能将所求代数式转化成a、b、c相减的形式呢 ?(同学们在老师的引导下 ,配方得 a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc=[(a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ]÷ 2 =( 1+ 1+ 4 ) ÷2 =3 )网琳 :想得到a、b、c相减的形式 ,没必要配成三个完全平方式 ,…     

比较分式值大小的变形策略

同学们在解答比较分式值大小的相关问题时,通常需要对分式进行变形整理,下面给出几种方便快捷的变形策略,供同学们学习参考.一、通分变形例1已知a,b,c,d都是正数,且ab0B.A≥0C.A<0D.A≤0解:A=b(c+d)-d(a+b)(a+b)(c+d)=bc-ad(a+b)(c+d).因为a,b,c,d都是正数,且ab0,a+b>0,ad0,应选A.二、添项变形例2设a>0>b>c,a+b+c=1,M=b+ca,N=a+cb,P=a+bc,则M、N、P之间的大小关系是A.M>N>PB.N>P>MC.P>M>ND.M>P>N解:因为a+b+c=1,所以M=b+ca+1-1=1a-1,N=a+cb+1-1=1b-1,P=a+b+1-1=1…     

一道初赛题的解法探索

题目(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)已知a、b、c是整数,且a-2b=4,ab+c2-1=0,求a+b+c的值·该题文字简明扼要,题目的载体是学生十分熟悉的二元一次和三元二次方程·因此,解题的入口宽,给各个层次的考生创造了广阔的探究和解题平台,是一道考查学生探索能力、创新能力的好题·现从已知条件和所求结论出发,对具体的解法作一些探索,供读者参考·要求a+b+c的值,只要求出a、b、c的值即可·而已知的仅是关于a、b、c的两个方程,通常用两个方程求出三个未知数的值是不可能的·因此,必须挖掘题目的隐含条件,采用一些特殊的方法来求解·因为a…     

由两道题想到的……(高二、高三)

题1 已知实数a,b,c满足a b c=5,a2 b2 c2=9.求证:1≤a,b,c≤7/3.分析1 注意到a,b,c的对称性,只需求出其中一个的取值范围即可,可视其中一个为主元(如a),将已知式变形,再寻求两式之间的联系,建立不等关系,求出主元的取值范围.     

使用等比性质应注意什么

等比性质:a/b=c/d=…=m/m(?)(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.(b+d+…+n≠0) 这个性质在许多方面使用起来是方便的,但必须注意它的条件:b+d+…+n≠0.若a+d+…+n=0,则分式的分母为零,无意义. 例1 已知x/2=y/3=z/(-5)≠0,求(x+y+z)/(x-y)的值.     

两个有趣的无穷长代数不等式链

2005年罗马尼亚的一道数学竞赛题为:已知a、b、c为正实数.证明:a+b/c2+b+c/a2+c+a/b2≥2(1/a+1/b+1/c). 这是一道关于三个变元a、b、c对称的分式不等式,从这个不等式出发,将其引申拓广,可得两个有趣的无穷长的代数不等式链,即有以下两个命题中的不等式链成立.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一道竞赛试题的进一步探究

赛题呈现 已知a,b,c是正实数,求证:a3/c(a2 + bc) +b3/a(b2 + ca) + c3/b(c2 + ab)≥ 3/2. 这是2009年韩国数学奥林匹克竞赛的一道不等式证明题,文[1]给出了这道试题的一个证明和推广.笔者对这个结构优美、内涵丰富的齐次分式不等式再作进一步探究,供参考.     

条件分式求值的方法与技巧

求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容,解题主要有以下三个方面: 一、将条件式变形后代入求值例1已知x/2=y/3=z/4,求x+2y-z/2x-y+z的值. 解:设x/2=y/3=z/4=k, 则x=2k,y=3k,z=4k. 原式说明:已知连比,常设比值k为参数,这种解题方法叫参数法. 例2 已知a2+ab-6b2=0,求a-b/a+b的     

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

一、用一般式y=ax2 bx c当已知图象上任意三点坐标时,将它们的坐标分别代入二次函数的一般式,建立方程组,求出a、b、c的值,于是解析式即可确定。例1已知二次函数的图象经过(-1,-1),(0,-2),(1,1)三点,求这个函数的解析式。解:设所求二次函数的解析式是y=ax2 bx c,因为图象过(-1,-1),(0,-2),(1,1),所以有方程组a-b c=-1c=-2a b c= 1解这个方程组,得a=2b=1c=- 2所以所求二次函数的解析式是y=2x2 x-2。二、用顶点式y=ax-h2 k当已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最大(或小)值时,则将已知条件代入二次函数的顶点式,建立方程(组)而求解。例2…     

最新竞赛最值问题例析

最值问题历来是数学竞赛中的热点之一,最值问题涉及的知识面广,难度大,近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题,在题型上已呈现出一个崭新的形势,同时最值的求法也有了较大的拓展,打破了原有的思维定势,但仍然是有章可循的.本文就这类问题的解法用实例加以说明.1数式最值问题例1(2006年全国初中数学竞赛试题)已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a相似文献   

一题多解 发散思维

对于一个数学问题,若能根据已知与要求之间的关系,发散思维,善于联系,可以得到多种不同的解法,从而训练思维的广阔性、灵活性、深刻性.题(2014年高考辽宁卷理16)对于c>0,当非零数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为_.分析:先固定c,将|2a+b|取最大时的a、b用c表示,代入3/a-4/b+5/c后将3/a-4/b+5/c转化为c的函数,再利用函数思想求出     

对一道不等式问题的推广的补充与证明

文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考.     

不等式问题的三种特殊求解思路

一、齐次化与非齐次化齐次化方法与均值不等式、柯西不等式(或与它们等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.不等式的齐次化常可通过非齐次化的题设条件转化得到.例1(1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16;(2)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1/3abc;