一元二次方程综合题归类分析

本文以初中数学竞赛题为例,将与一元二次方程有关的综合题进行归类分析,供参考.一、与一元二次方程相结合例1(1999年山东省初中数学竞赛题)已知方程x~2+a_1x+a_2a_3=0与x~2+a_2x+a_1a_3=0有且只有一个公共根,求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x~2+a_3x+a_1a_2=     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

与“根与系数的关系”有关的中考题集锦

根与系数的关系是指:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.它在解一元二次方程题中有着重要的作用.在中考中多以填空题、选择题、解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等问题结合起来考查,是考试的热点,是方程理论的重要组成部分.现从2012年各地中考试题中精选几例解析如下,供     

求作新方程三法

求作一个新的一元二次方程使新方程的根为原方程各根的k倍或平方等,可有以下三种方法.现举一例说明之. 例不解方程,求作一个新的一元二次方程,使它的两根是方程2x~2+4x—3=0两根的 (1)2倍;(2)平方.     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大,是中考特别是竞赛中的爬坡题型.本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法. 例1 已知方程x2+(α-6)x+α=0(α≠0)的两根都是整数,试求整数α的值. 思路分析:当α取值不同时,方程的系数就随之不同,方程的根的情况也就发生变化.究竟什么情况下,方程的两根都是整数呢?还是从根与系数的关系人手比较好. 解:设方程的两整数根为为x1、x2,根据根与系数关系得     

二次方程根的分布分类对比研究

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的分布问题,实质上是函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点分布问题,即抛物线与x轴的交点问题．下面从两个视角审视一元二次方程根的分布问题:(1)方程视角(韦达定理法);(2)函数视角(图象法)．设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的两根为x1、x2,m、n、p、q∈R,则有:     

根的判别式的灵活应用

△ =b2 - 4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx+ c=0(a≠ 0 )的根的判别式。灵活应用它 ,不仅可以解答一些与一元二次方程有关的问题 ,一些非一元二次方程问题也可获得巧妙解答。一、与一元二次方程有关的问题例 1　若方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,则方程 x2 + ax+ b=0的两根分别是 (　　 )(A) 0 ,3;(B) 0 ,- 3;(C) 1,4 ;(D) 1。解 :由方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,∴△ =(a- 3) 2 - 4(- 3a- b2 ) - 0 ,∴ (a+ 3) 2 + 4 b2 =0。∵ (a+ 3) 2≥ 0 ,4 b2≥ 0 ,∴ a=- 3,b=0。这时 ,要求的方程即为 x2 - 3x=0∴ x1=0 ,x2 …     

运用根的判别式解题

根的判别式在求解一元二次方程的有关问题中占据重要的地位,现举例说明.一、不解一元二次方程,判断根的情况例1不解方程,判断下列方程的根的情况:(1)2x2+3x=4(2)ax2+bx=0(a≠0)分析:将方程化为一般形式,确定a、b、c的值,计算b2-4ac并与0进行比较.     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

含有字母系数的一元二次方程错解例析

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是初中数学的重点内容.解含有字母系数的一元二次方程时,常常会因对字母系数考虑不周,或对判别式运用不当而产生错误.例1求证:关于方程mx2-(m+2)x+1=0有实数根.错解:当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4m=m2+4,∵m2≥0,∴m2+4>0.即原方程有两个不相等的实数根.分析:含有字母系数的方程不一定是一元二次方程,所以二次项系数也可能等于0,即应对二次项系数进行分类讨论.应补充:当m=0时,原方程变为-2x+1=0,此方程只有一个实数根x=12.例2关于x的方程mx2-(2m+1)x+m=0,有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:根据题…     

中考数学中几何综合题例析

识图,巧用根的判别式:例1:已知:如下图1△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC上的一点,以BD为直径作⊙O,交AB于点E,连结CE交⊙O于点F,BF的延长线交AC于点G,若BD、DC的长是关于x的方程(m2+1)x2-2(m+1)x+2=0的两根.求证:GF·CA=CF·EA;求tan∠BGC的值.求作以线段AE、BE的长为根的一元二次方程.     

一元二次方程根的妙用

若x1、x2是方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两根,则ax_(1)~2+bx1+c=0和ax_(2)~2+bx2+c=0.方程与方程根的这一关系在解题中有着广泛的应用. 例1(1994年河南省中考题)以x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( ). (A)y2-11y+1=0 (B)y2+y-11=0     

如何解两个一元二次方程有公共根的问题

关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

一元二次方程公共根问题的求解策略

一元二次方程是中学数学的重要内容 ,因此 ,有关一元二次方程的问题一直受到各级各类竞赛的青睐 .本文通过一些不同形式的例题 ,介绍解答一元二次方程公共根问题的基本策略 .1　消去二次项例 1　若两个方程 x2 +ax+b=0和 x2+bx+a=0只有一个公共根 ,则 (　 ) .(A) a=b　　　　 (B) a+b=0(C) a+b=1(D) a+b=- 1(2 0 0 2年江苏省初中数学竞赛题 )解　设两方程的公共根为 x0 ,则x20 +ax0 +b=0 ,x20 +bx0 +a=0 .121- 2 ,得 (a- b) (x0 - 1) =0 .∵两方程只有一个公共根 ,∴ a≠ b.从而x0 =1为两方程的公共根 ,代入 1,得 1+a+b= 0 ,即 a+b=- 1,选…