巧用对称 化繁为简

在数学问题中 ,经常出现在某种意义下对称的形或式 ,如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线 ;代数中的一些不等式、方程 ,共轭复数与根式 ;函数ｆ(ｘ)与其反函数ｆ- 1 (ｘ)及它们的图像等等 ,不一而足 .近几年的高考中 ,出现过不少这方面的问题 .充分利用对称原理 ,可使我们在解决这类问题时多一条有效的途径 ,而且常能起到化繁为简 ,出奇制胜的效果 .本文旨在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍 .一、利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变 ,则称它是关于这些字母的对称式 ,…     

例谈对称性在解题中的应用

例谈对称性在解题中的应用石豫青在中学数学的某些问题中，经常出现在某种意义下对称的图形或式子，若能挖掘出它们的对称性特征，往往可取得出奇制胜的效果。下面以几种类型题为例，略述对称性在解题中的应用。一、字母的对称性定义：分顶式ｆ（Ｘ，ｙ，…Ｚ）中的任意两...     

中考二次根式的新视角

二次根式的性质与运算是近年来中考试题中的热点,以贴近学生生活的背景为题材,以培养学生的探究能力为重点,体现“突出能力,强调应用,着重创新”的新课标理念,给命题注入了生机和活力.下面采撷近几年中考二次根式的经典试题加以剖析,供大家参考.视角一:代数式子的对称型数学家族里,许多问题具有和谐的对称美,不仅有几何中的对称,也有代数中的对称.代数式子的对称是指原题中各个字母互相替代,表示式不变,然后这些字母一起参与运算.这就要求我们利用“对称性地处理具有对称性的问题”的数学解题原则来正确求解.例1(2005年江苏)已知a1-b2 b1-a2…     

一类方程组的特殊解法

对于a＋b＋c,ab＋bc＋ca,a^2＋b^2＋c^2-3abc等,交换式中任何两个字母时,其值都不改变．像这样的代数式叫做这些字母的对称式．两个字母的对称式,常用它们的和与积解题．比如：     

揭示对称省时省劲

数学中存在大量对称的形与式,不过许多问题中的对称性比较隐蔽,若能注意发现和挖掘或变形构造出对称关系,在解题中常能收到事半功倍的效果.     

互余对偶——“灵动”的构造技巧

数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：     

巧用数学对称美解题

德国教育学家魏尔曾说:美与对称性紧密相关.对称是最能给人以美感的一种形式,它是整体中各个部分之间的匀称和对等.在数学上常常表现为数式或图形的对称,命题或结构的对偶或对应.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.下面举例说明,供同学们在学习中参考.一、巧用数式结构对称解题数式结构的对称,必将蕴含着解法(证法)的对称.从而,具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理的手法必将相同.从数学中的对称美的角度出发,常能优化解题思路和简化解题过程.例1已知x y z=a,x、y、z∈R,求证:x2 y2 z2≥a32.分析由题意可知x、y、z三个元素地位一样,这是关于x、y、z的轮换对称式,因此可以采用均值代换法,即利用x、y、z与它们的算术平均值3a的关系进行换元,从而快速得到了证明的思路.证明设x=3a α,y=3a β,z=3a λ,由已知得α β λ=0.x2 y2 z2=(3a α)2 (3a β)2 (3a λ)2=a32 2a3(α β λ) α2 β2 λ2=a32 α2 β2 λ2≥a32.例2试比较20062007...     

活用对称 省时省劲

数学中存在大量对称的形与式,不过许多问题中的对称性比较隐蔽,若能注意发现和挖掘或变形构造出对称关系,而加以灵活运用,在解题中常能收到事半功倍的效果,下面举例说明.     

设S=A B C解题

根据消元的思想和简化的解题原则,对含有三个对称性字母的一类数学问题,设S=A B C代换,常可化繁为简,且解题过程清晰,不易漏解和出错.举例如下:     

例谈解题中“主元思想”的应用

在数学解题中常用到"主元思想",所谓"主元思想"是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视其为"主元",而将其余各字母视作参数或常量,以此用来指导解题的一种思想方法.这一     

巧用数学对称法解题

对称,是数学美的重要特征之一,在数学教学中,对称美是最容易体验到的.数学中的对称性主要指数学概念、公式、图形、命题的结构形式具有对称性.数学对称法是解决此类问题的重要方法,它是指用数学的理论与方法来定量,精确地描述客观事物对称性的一种方法.教师在进行教学活动时,应注意启发和帮助学生认识和发现数、式以及图形中的对称性,引导学生学习和掌握数学对称法,简洁完美地解决问题.根据笔者多年的教学实践经验,运用对称法解题大致有以下若干途径.     

利用对称性解题

数学中的对称包括式的对称和图形的对称,利用对称性解题,不仅能使一些问题获得巧妙的解决。还能充分感受和谐的数学美．     

变式视角 例谈“任意”

<正>高中数学中的"任意"一词在函数解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等问题中常见常用,变式多样,丰富多彩,内含深刻.由于许多同学在数学解题中对"任意"一词理解不深,掌握不透,应用不活,从而严重影响解题思路与正确率.本文结合例子,从变式出发,多视角例谈数学中     

几种隐形的对称性问题

对称性是解析几何中一个常见问题,通常有四种类型:点关于点的对称、点关于直线对称、直线关于点的对称以及直线关于直线的对称.有些题目是直接考查对称性,而有些题目则不然,从题意上往往看不出是对称性问题,这就要求我们能充分挖掘题目中的隐含条件,利用对称知识解题.下面笔者归纳出几种隐形的对称性问题.     

对称式和轮换对称式

一、基础知识1 .对称式 :把一个代数式里的两个字母对调 ,所得的代数式和原来的代数式恒等 ,则这个代数式叫做关于这两个字母的对称式 .特别地 ,如果一个对称式各项的次数都相等 ,那么这个对称式叫做齐次对称式 .2 轮换对称式 :如果一个多项式中的所有字母按某种次序轮换后 ,得到的多项式与原代数式恒等 ,则称这个多项式为轮换对称多项式 .如ａ3 ｂ3 ｃ3-3ａｂｃ、ｘ2 ｙ2 ｚ2 -3ｘ -3ｙ -3ｚ 1都是轮换对称式 ,而ａ ｂ -ｃ就不是轮换对称式 .对称式都是轮换对称式 ,而轮换对称式不一定是对称式 .如ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ是轮换对称式 …     

斗转星移,合二为一——例谈主元思想在多元变量问题中的妙用

主元思想,就是把多元变量题目中的其中一个或两个元作为自变量,其他都作为参量来研究问题.在高中的数学学习中,我们经常遇到一道题目中出现两个或两个以上的字母,其中包括变量、参量、常量等等,我们把这些统称为元,把这一类问题称为多元变量问题.在处理多元变量问题过程中,“主元思想”这一思想方法常常会给解题带来大大的惊喜.     

数学中的对偶关系

<正>数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系一对关系式,在解题过程中,有时若能合理构造对偶关系式,并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算,可达到解决数学问题的目的.在解题的过程中,恰当使用对偶法,往往能使问题得到巧妙     

引入对称辅助元解题的若干方法

引入辅助元解题在初等数学中具有广泛的应用性,在各类辅助元中,有一类较特殊的辅助元,即在某种意义下成对出现的两个数学式子,我们称之为对称辅助元.解题中对于某个对象,有意识地引入对称辅助元,对一些问题往往可获得较简捷的解法.下面举例说明引入对称辅助元的若干方法,供参考.     

利用图形的对性解题

数学中无不充满着对称,利用对称性是解决数学问题的一种有效方法.但许多具体数学问题往往不具有对称的形式,因此,需要构造对称的图形来解决问题.本文举例谈谈如何利用图形的对称性解题.一、利用对称证明相等关系     

掌握对称规律 提高解题效率

对称包括“点对称”和“线对称”，既有曲线自身的对称性，又有曲线之间的对称性。纵观近年的高考题，对称问题成为一个新的亮点，解题的一个重要环节。本文力求总结“函数、三角、曲线方程”中的对称规律，以期提高解题效率。