n边闭折线计数问题的解答及猜想

杨之在《n边闭折线的计数问题》(见《中学数学教学参考》2 0 0 3年第9期)一文中提出:问题　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定多少条n边闭折线?解:设n边闭折线条数为T (n) ,则T (n)=(n -1 ) !2 .证明如下:在n点确定的n边闭折线中,把任一顶点打开,加入第n 1边,即可得n条n 1边闭折线,且从不同顶点打开,所获n 1边闭折线不同,因此,有T(n 1 ) =nT(n) (n≥3 ) ,又T( 3 ) =1 ,故T(n) =(n -1 )T(n -1 )=(n -1 ) (n -2 )·T(n -2 )=(n -1 ) (n -2 )…3T( 3 ) =(n -1 ) (n -2 )…4·3=12 (n -1 ) (n -2 )…4·3·2·1=(n -1 ) !2 .关于正…     

两条封闭折线交点个数的最大值

定理 分别有m、n(m,n≥3)边的两条平面闭折线(无公共边),它们之间交点个数的最大值记为P(m,n)。则 mn,m、n均为偶数; P_(m,n)= (m(n-l),m为偶数,n为奇数; m(n-1),m、n均为奇数且m≥n. 我们采用典型的证明方法:先估计,再构造,但关键还需要如下的引理。 引理 直线l与闭折线L的交点数为偶     

成果集锦

关于闭折线的“可对称化”问题随着闭折线研究的深入,其应用前景日益看好．由于“对称的”闭折线有着多方面的应用,因此,什么样的闭折线可画成对称形的问题,引起关注．比如,边数为３,４,５的闭折线,均可用适当方式画成（轴）对称形（图１）：图１图２但有的六边闭折线（如图２所示）,只要不改变每条边的折性,则无论如何,画不成对称形．定义　如果不改变闭折线任一条边的折性,而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成轴对称图形的,就称为可对称化的闭折线．定理１　对ｎ≥３,凸ｎ边形可对称化．我们业已证明［１］,ｎ边…     

n边闭折线的计数问题

定理　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定T(n) =12 (n -1 ) !条n边折线.证明:n边闭折线的顶点分别记为1 ,2 ,…,n -1 ,n .那么任一条闭折线都对应着这n个顶点的一个环形排列,这排列数为(n -1 ) !.但是,由于与环绕顺序无关,比如,排列1 ,2 ,3 ,…,n -1 ,n和n ,n -1 ,…,3 ,2 ,1对应同一条闭折线,因此(n -1 ) !这个数,多算了一倍,从而T(n) =12 (n -1 ) !.并进一步猜想正n边闭折线的类数L(n)有如下表达式:L(n) =[n2 ]·L(n -1 )=[n2 ]·[n -12 ]…[32 ][22 ].( [x]表示不大于x的最大整数)n边闭折线的计数问题$江苏省江阴市祝塘中学@张心…     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

成果集锦

成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

对一道错误习题的浅析

有这样一道习题 (新编高中数学配套练习高中一年级第一学期用书 6 4页 ) :一个等差数列共有 2ｎ + 1项 ,其中奇数项之和为 30 5 ,偶数项之和为 2 76 ,则ｎ + 1项是 (　　 ) .(Ａ) 31　　 (Ｂ) 30　　 (Ｃ) 2 9　　 (Ｄ) 2 8.咋一看 ,答案选 (Ｃ) ,似乎正确 !因为该等差数列共有 2ｎ+ 1项 ,设其奇数项之和为Ｓ奇 ,偶数项之和为Ｓ偶 ,则ａ2 +ａ4 +ａ6 +… +ａ2ｎ- 2 +ａ2ｎ =Ｓ偶 ,①ａ1+ａ3+ａ5+… +ａ2ｎ- 1+ａ2ｎ+1=Ｓ奇 .②① -②得　 (ａ2 -ａ1) + (ａ4 -ａ3) + (ａ6 -ａ5) +…+ (ａ2ｎ -ａ2ｎ- 1) -ａ2ｎ+1=Ｓ偶 -Ｓ奇 ,即　　ｎｄ-ａ2…     

关于正多边形铺砌平面的一个定理

定理　一个正ｍ边形被ｍ个正ｎ边形包围 (不重不漏 ) ,则ｎ =4ｍｍ -2 (ｍ≥ 3 ) (ｍ、ｎ均为正整数 ) .证明 :正ｍ边形一个内角α =(ｍ -2 ) 1 80°/ｍ ,正ｎ边形一内角 β =(ｎ -2 ) 1 80°/ｎ ,“包围”意味着在每个顶点处有α +2 β =3 60°,把α、β的表达式代入 ,即得欲证 .但公式中有两个条件 :ｍ≥ 3为整数 ,ｎ为正整数 .依此 ,可以确定ｍ、ｎ的具体数值 .事实上有ｎ =4ｍｍ -2 =4+8ｍ -2 (ｍ≥ 3 ) .令ｔ=8ｍ -2 为整数 ,则ｍ =8ｔ +2 ,ｔ为 8的因数1 ,2 ,4和 8.于是　　ｔ 1 2 48ｍ =8ｔ+2 1 0 643ｎ =ｔ+4 5 681 2　　现只有 4个…     

广义回形折线的环数与内角和

本文所述的闭折线都是平面闭折线 定义1 设M是闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1所在平面内的定点,动点P沿着这条闭折线的边A_1A_2、A_2A_3、…、A_nA_1依次行进,若定点M始终处于动点P行进方向的左侧(或右侧),则M称为这条闭折线的同侧点,有同侧点的闭折线称为广义回形折线。     

有奖解题擂台(65)

题　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i相似文献   

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质--兼擂题(65)解答

擂题(65)(熊曾润提供)设闭折线A1A2A3…AnA1内接于圆,若它的垂心是它的某个顶点,则称闭折线A1A2A3…AnA1为直顶闭折线.     

谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质

文献[1]建立了圆外切闭折线的奈格尔点的概念,并研究了它的若干性质.本文对圆外切闭折线的奈格尔点的性质作进一步探讨.首先引入圆外切闭折线的奈格尔点的定义. 定义[1] 设闭折线1231nAAAAAL(以下简记为()An)外切于⊙(,)Ir,以圆心I为原点建立直角坐标系xIy,设顶点iA的坐标为(xiy)(i=1,2,L,n), 令 1nNiixx==, 1nNiiyy== (1) 则点N(,NNxy)称为闭折线()An的奈格尔点. 定理1设闭折线()An外切于⊙(,)Ir,其奈格尔点为N,设闭折线的内角11iiiAAA-+=qi(1,2,,in=L,且0A为1,nnAA+为1A), 则 2222122(1)cscnijijniANAAnr??+=-邋…     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

平面闭折线有向面积的一个性质

文[1]给出了平面四边闭折线有向面积的一个性质,本文将该性质推广到平面n边闭折线的一般情形中.定义1[2]设闭折线A1A2…AnA1(简记为A(n))的顶点Ai(i=1,2,,n)在平面直角坐标系xoy中的坐标为(xi,yi),记     

圆内接闭折线垂心的一个有趣性质

本文揭示圆内接闭折线垂心的一个有趣性质 .为了节省篇幅 ,沿用文献 [1 ]中的有关概念而不复述其意义 .本文得到的结果是 :定理　设 3≤ｋ <ｎ ,Ａ1Ａ2 Ａ3 …ＡｎＡ1内接于圆Ｏ ,其垂心为Ｈ ,且其顶点子集 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}、{Ａｋ,Ａｋ+ 1,… ,Ａｎ,Ａ1}、{Ａ2 ,Ａ3 ,… ,Ａｋ-1}、{Ａｋ + 1,Ａｋ+ 2 ,… ,Ａｎ}的垂心分别为Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4,则△ＨＨ1Ｈ2 ≌△ＯＨ4Ｈ3 证明　以圆心Ｏ为原点建立直角坐标系ｘＯｙ ,设顶点Ａｉ 的坐标为 (ｘｉ,ｙｉ) (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,点Ｈ、Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4的坐标分别为 (ｘ ,ｙ)、(ｘ1,ｙ…     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

垂心闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。定义对闭折线A(n),设其顶点全集的最大真子集{A_1,A_2,…,A_(i-1),A_(i 1),…,A_n}的垂心为H_i(i=1,2,…,n),则闭折线H_1H_2H)3…H_nH_1称为A(n)的垂心闭折线,记作H(n)。垂心闭折线具有下列性质:     

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质——兼擂题（65）解答

擂题 (65 ) (熊曾润提供 )　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i相似文献   

闭折线K号心的一个重要性质

设A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2…AnA1.由闭折线A(n)的任意m(1≤m≤n)个顶点组成的集合称为闭折线A(n)的顶点子集.把闭折线A(n)的所有顶点组成的集合Ω=A1,A2,,An(称为A(n)的顶点全集)任意分成两个非空集合Ω1、Ω2,则Ω1、Ω2称为闭折线A(n)的互补顶点子集.     

三角形垂心定理的再推广

在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献