关于函数图象对称性的两个结论

我们知道,在现行高中教材《代数》第一册中的函数部分给出了函数的性质：（Ⅰ）偶函数的图象关于ｙ轴对称。（即：对ｙ＝ｆ（ｘ）定义域中任意的Ｘ都有：ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）成立,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝０对称）显而易见：（Ⅱ）函数ｙ＝ｆ（ｘ）与函数...     

一次函数错解例析

一、忽视一次函数定义中ｋ≠０这一条件 例１已知一次函数 ｙ＝（ｍ－２）ｘ＋ｍ２－３ｍ－２的图象与ｙ轴的交点为（０，－４），求ｍ的值． 错解 把点（０，－４）代入已知的函数解析；式中，得－４＝ｍ２－３ｍ－２．解得ｍ１＝１，ｍ２＝２． 分析 产生错误的原因是忽视了一次函数定义中“ｋ≠ｏ”这一条件．当ｍ＝２时，ｍ－２＝０，此时函数就不是一次函数，故应舍去．正确答案是ｍ＝１． 二、忽视一次函数中自变量的取值范围 例２ 下列函数的图象与ｙ＝ｘ的图象完全相同的是（）． 错解 由于函数①②④都可化为ｙ＝ｘ③不能直接化为…     

含有绝对值函数的作图

一、含有绝对值的一次函数的图象例１画出下列各函数的图象．（１）ｙ＝１２｜ｘ｜＋１;（２）ｙ＝｜２ｘ＋１｜＋｜ｘ－１｜．解：（１）原函数可化为ｙ＝１２ｘ＋１,（ｘ≥０）,－１２ｘ＋１．（ｘ＜０）．因此,原函数图象是由射线ｙ＝１２ｘ＋１（ｘ≥０）和ｙ＝－１２ｘ＋１（ｘ＜０）组成的一条折线,转折点是（０,１）,如图（１）．整个图象关于ｙ轴对称．（２）当ｘ≤－１２时,ｙ＝－（２ｘ＋１）－（ｘ－１）＝－３ｘ;当－１２＜ｘ≤１时,ｙ＝２ｘ＋１－（ｘ－１）＝ｘ＋２;当ｘ＞１时,ｙ＝２ｘ＋１＋ｘ－１＝３ｘ．即…     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

如何求一次函数的最值

一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的基本性质 是： １）它的图象是一条直线、 （２）当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大；当 ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小 从一次函数的基本性质来看，当自变量 ｘ取全体实数时，它没有最值．但如果自变量 ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值 因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键 是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理． 例１ 已知关于 ｘ的方程ｘ２＝２ｘ＋ｋ＝０有实数根ｘ１、ｘ２，且ｙ＝ｘ１３＋ｘ２３，试问：ｙ是否有最大值或最小值？若有，试求出其值；若没有，请说明理由…     

函数y=2tgx/(1-tg~2x)的周期

函数ｙ＝２ｔｇｘ１－ｔｇ２ｘ的周期广东省吴川市第二中学丁立群笔者在听一个讲座时,注意到关于函数ｙ＝２ｔｇｘ１－ｔｇ２ｘ的周期问题．若遵循常规思路,先化简后求周期,即由ｙ＝２ｔｇｘ１－ｔｇ２ｘ＝ｔｇ２ｘ求得周期Ｔ＝π２,这种解法是错误的．究其错误的原因...     

三角函数的对称中心

三角函数的对称中心徽县一中李宗奇通常人们认为，坐标原点是三角函数ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｔｇｘ及ｙ＝ｃｔｇｘ的对称中心。确切地说，三角函数有无数个对称中心，坐标原点只是其中之一。一般地，关于三角函数的对称中心有下面的结论。定理１ｙ＝ｓｉｎｘ的对称中心为（ｋ...     

代数函数的最值问题的图象解法

求各种函数的最值问题是中学阶段的重点与难点．中学阶段所涉及到函数通常是二元函数ｆ（ｘ，ｙ）或带着约束条件的二元函数ｇ（ｘ，ｙ），若令ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ或ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ，则可以在ｘＯｙ平面上画出其图象，利用函数图象来求解最值问题是一种常用的方法，其中典型的例子是二次三项式的最值问题．     

利用函数图象，一目了然

在许多参考书上都有这样一个命题：在等差数列｜ａｎ｜中,已知 首项ａｌ＞０,公差ｄ＞０;等比数列｜ｂｎ｜中,公比ｑ＞０,且ａｌ＝ｂ１,ａ_（２ｎ＋１）＝ｂ_(２ｎ＋１）,（ｎ∈Ｎ）,试比较。ａ_（ｎ＋１）与ｂ_（ｎ＋ｌ）的大小。 关于这个问题的解法,各书都是利用等差数列和等比数列性质,化为不等式证明．比较繁琐。其实,如果从函数观点出发．利用线性函数和指数函数图象,问题的结论简直是一目了然。 设线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｌ＋ｄｘ． 指数函数 ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｂｌｑ～ｘ（ｑ＞０）, 则有ａｎ＝ｆ（ｎ—１）,ｂｎ＝ｇ…     

函数的性质

函数是高中数学教学的主线内容,应用函数的性质和函数观点解题,体现了一种解题策略：即将静态的数学问题放到一个动态的过程中去考察,将局部的放置于整体的环境中来解决．一、基本性质１．函数图象的对称性（１）奇函数与偶函数．奇函数的图象关于坐标原点对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）成立;偶函数的图象关于ｙ轴对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）成立．容易得知：奇函数、偶函数的定义域Ｄｘ必然关于坐标原点对称．（２）原函数与其反函数．原函数与其反函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．若某一函数与…     

用分段函数的几个结论解竞赛题

本文利用分段函数的几个结论，智解第十一届“希望怀”全国数学邀请赛的有关试题． 结论１若分段函数Ｆ（Ｘ）＝ ｆ（Ｘ）（ｘ ≤ ａ）存在反函数，则它的反函数可表示为Ｆ－１（Ｘ）＝ ｇ－１（Ｘ）（ｇ（Ｘ）的值域）． 例１（高一第一试题） ｘ２（ｘ≤０）函数ｙ＝２－Ｘ－１的反函数是 ２－Ｘ－ｌ（ｘ ＞ ０） 用当Ｘ≤０时，ｙ＝Ｘ２的反函数为 ｙ＝－Ｘ（ｘ≥０）； 当Ｘ＞０时，ｙ＝２－Ｘ－１的反函数为 ｙ＝－ｌｏｇ２（ｘ＋１）（－１＜Ｘ ＜ ０）． 故原国数的反函数是 １一Ｊ工ｋ＞０〕． Ｉ－－ｌｏｏＺ（ｘ＋１）（１＜ｘ＜…     

函数最值求法举隅

本文以“求函数ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３的最值”为例,谈谈这种类型函数最值的几种求法：１利用弦的有界性此法是将原函数式变形,用ｙ表示某个角的弦,再利用弦的有界性,求出原函数的最值。解：由ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３得ｃｏｓｘ＝４－３ｙ２ｙ＋１,∵｜ｃｏｓｘ｜≤１,∴４－３ｙ２ｙ＋１≤１。解得３５≤ｙ≤５,故ｙｍｉｎ＝３５,ｙｍａｘ＝５２万能置换法利用万能公式,将原函数式的分子、分母化为正切的二次式,再借助判别式,即可求得原函数的最值。解：令ｔｇｘ２＝ｔ,则ｙ＝５ｔ２＋３ｔ２＋５,即（ｙ…     

有关平面直角坐标系、函数概念、一次函数中考题选登

１．如果ａ＞０，ｂ＜０那么点Ｐ（ａ，ｂ）在第象限．（吉林省） ２．点Ｐ（－２，－４）关于ｙ轴的对称点的坐标是＿．（安徽省合肥市） ３．已知Ａ（２，ｙ）与点（ｘ，－３）关于ｘ轴对称，则点Ｐ（ｘ，ｙ）为＿．（湖南省娄底市） ４．已知点Ｐ的坐标是（－３，２）Ｐ’点是Ｐ点关于原点Ｏ的对称点，则Ｐ’点的坐标是（安徽省） ５．函数的自变量ｘ的取值范围是＿（山西省） ６．函数的自变量ｘ的取值范围是＿．（湖南省娄底市） ７．函数ｙ＝中自变量ｘ的取值范围是＿．（河北省石家庄市） ８．直线 ｙ＝１２－３ｘ与ｘ轴交点的横坐标…     

运用中点公式作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

运用中点公式作函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象安徽省合肥市第１７中学张凤仪关于函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋）的图象，教材详细介绍了列表、描点作图的“五点法”．这种方法是学生必须掌握的，但是此法拘泥于呆板，计算耗时费事，所以当学生掌握了教材的方法之后，可...     

谈谈函数单调性的复习

函数是中学数学的主轴 .函数单调性的研究有利于加深学生对其概念的理解 ,有利于形成运用函数知识解题的意识 ,有利于沟通初高等数学的联系 ,有利于培养学生运用数学思想、方法解决问题的能力 .本文从五个方面谈谈函数单调性的复习 ,不妥之处敬请斧正 .一、函数单调性定义的理解理解函数单调性的定义 ,应把握好以下两条 :1 函数的单调性是与其定义域密不可分的 .说“函数 ｙ =ｔｇｘ是增函数”就不确切 ,也不能说“函数 ｙ=ｔｇｘ在第一象限是增函数” ,而应说“ｙ =ｔｇｘ在 (ｋπ-π2 ,ｋπ π2 ) (ｋ∈Ｚ)上是增函数” .2 单调递增 (…     

函数y=ax+b/x与高考试题

函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａｂ≠０）及其应用在历年高考题中屡屡出现,足以说明此函数的重要性．下面仅以高考题为例做一些分析．先将函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａｂ≠０）的性质与图象列表如下（证明略）．例１如图（１）,在平面直角坐标系中,在ｙ轴的正半轴（坐标原点除外）...     

一类函数的值域、极值和最值

对于实数域上有理分式函数（其中分子、分母互质，ａ与ａ＇不同时为零）本文将给出值域、最值的求法，并给出该函数极值的有关结论。一、用判别式法求（Ｉ）的值域和最值易知对任实数ｙ，（Ｉ）与下式同解（ａ—ａ＇ｙ）ｘ２＋（ｂ—ｂ＇ｙ）ｘ＋（ｃ－ｃ＇ｙ）＝０（ＩＩ）设ｙ是（Ｉ）的值域中一点，则存在实数ｘ使（Ｉ）成立，即（ＩＩ）成立。于是有：△＝（ｂ—ｂ＇ｙ）～２－４（ａ－ａ＇ｙ）（ｃ—ｃ＇ｙ）≥（Ⅲ）反之，若实数ｙ使（Ⅲ）成立，且ｂ—ｂ＇ｙ与ａ－ａ＇ｙ不同时为零，则ｙ在（Ｉ）的值域中。若ａ—ａ＇ｙ＝ｂ－ｂ＇ｙ…     

从两道高考试题谈函数图象变换教学

１９９７年高考题中,有这样两道试题：（１）（全国高考理科题）将ｙ＝２ｘ的图象（）后,再作关于直线ｙ＝ｘ对称的图象,可得到函数ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图象．（Ａ）先向左平行移动１个单位（Ｂ）先向右平行移动１个单位（Ｃ）先向上平行移动１个单位（Ｄ）先向下...     

我省初中会考题中函数试题的分析

我省初中会考试题中 ,函数内容占比较重要的地位 ,本文对近几年有关试题归纳分析 ,以指导初三会考复习。中学数学教材中 ,一次函数的图象和性质的难度不大 ,学生易于接受。但是由于简单的初等函数 ,学生在以后的学习中经常用到 ,特别是一次函数 ,教师在教学中应予以足够重视。学生学习二次函数有一定难度 ,教师在讲解函数 ｙ＝ａｘ２ +ｂｘ +ｃ（ａ≠０）的图象和性质时 ,应使学生清楚地理解它的图象是有对称轴和顶点的抛物线。现行教材是按ｙ＝ａｘ２→ｙ＝ａｘ２ +ｎ→ｙ＝ａ（ｘ +ｍ）２ +ｎ的顺序研究二次函数的图象和性质 ,还安排在同…     

双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…