2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题     

对一道高考试题的火热思考

好的高考试题总能给我们带来无限的遐想与火热的思考,2012年安徽高考解析几何试题便是成功的一例.题目（2012年安徽高考理科第20题）如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=a²/c于点Q;（Ⅰ）略;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.思考1:结论能否推广到一般情况呢?     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

妙用双曲线定义解题

数学中的定义是解答许多数学问题的工具,在解答某些解析几何问题时,如能灵活、巧妙地应用双曲线的定义,不仅能深化对双曲线这一数学概念的深刻理解,而且还能提高同学们应用双曲线的定义去分析和解决数学问题的能力,开拓思维视野。一、求双曲线的标准方程例1已知双曲线的两个焦点F₁(-5^1/2,0),F₂(5^1/2,0),P为双曲线上一点,且PF₁,⊥PF₂,|PF₁|·|PF₂|=2,则双曲线的标准方程为（）     

一道浙江省高三联考试题的别解与拓展

浙江省名校高考研究联盟2011届高三第二次联考理科卷的试题卷中出现了这样一道解析几何试题,原题如下:如图1,设F₁、F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,A、B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/2的正三角形.     

平面几何用于圆锥曲线五例

1.三角形中位线例1已知点Q是双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（a,b>0）上异于顶点的一个动点,左右焦点分别为F₁、F₂,从F₂向∠F₁QF₂的角平分线作垂线F₂P,求垂足P的轨迹方程.     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

巧用椭圆中“特征三角形”解题

我们知道椭圆两种标准方程x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和y²/a²+x²/b²=1（a>b>0）中都有等式a²=b²+c²（其中c为半焦距）,而此等式正好满足勾股定理,构成了一个直角三角形（三边为a,b,c）,那么这样的三角形我们可以叫做椭圆的"特征三角形"。以x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）为例,设B₁,B₂分别为椭圆的下上顶点,F₁,F₂分别为左右焦点,则△F₂OB₂就是这样     

一个分力做的功究竟应该为多少

例一个质量为m的物体静止放置在光滑的水平面上,在互成60°角的大小相等的两个水平恒力（即F₁、F₂）作用下,经过一段时间,物体获得的速度为v,在力的方向上获得的速度分别为v₁、v₂,如图所示,那么在这段时间内,其中力F₁所做的功为（）（A）1/6 mv²（B）1/4 mv²（C）1/3 mv²（D）1/2 mv²笔者在所看到的很多资料上,对这道题都采用下面的解法一。解法一:可以把这个物体的运动看作由两个分运动组成。物体的两个分运动分别为沿F₁、F₂两个方向的运动。故F₁、F₂所做的功分别为它们与各自方向上位移的乘积。即有:     

对一道数学高考题的研究

2010年全国高考安徽卷文科第17题（理科第19题）是:椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F₁、F₂在x轴上,离心率e=1/2.（1）求椭圆E的方程;（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线的方程（以下简称问题）.该问题是以椭圆焦点三角形内心为背景进行命制的,笔者认为它是一个很好的研究性学习问题.1.问题的推广定理1设点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）上除去四个顶点外的一点,点E、F分     

例说向量数量积运算中的基向量法

在平面向量与平面几何的交汇题型中,有时候不容易建立平面直角坐标系,此时我们可以采用"基底法"进行求解,即运用平面向量基本定理:如果e₁和e₂是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一一对有序实数（x,y）,使a=xe₁+ye₂,这里{e₁,e₂}称为这一平面内所有向量的一组基底,e₁,e₂称为基向量.如果我们能把题目中所涉及的向量均转化为用"基向量"进行表示,即可利用"基向量"的运算来进行向量的数量积运算。     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

求解析几何中范围问题的好方法

向量的夹角公式、向量的各种运算的坐标表示都可以产生范围．根据题目的不同条件，灵活地用向量求解解析几何中的范围问题，可以使我们从原始的、繁杂的传统解析几何运算中解放出来，我们的解题状态才可能达到“既钻到题内，又站在题外”．     

探求双曲线问题中三角形面积问题

<正>关于双曲线问题的解答题在近几年的高考中不断出现,也引起了老师和应试学生们的重视,其中的求相关的三角形面积非常有特点,本文通过对几个典型题目的分析探求,介绍常见的解题方法,希望能给同仁一些帮助．一、活用双曲线的定义例1已知F₁, F₂为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,∠F₁PF₂=60°,求△F₁PF₂的面积．     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

新高考背景下解析几何试题分析与备考建议

<正>一、近两年新高考Ⅰ卷解析几何试题统计二、命题特点分析不难发现,高考试题对解析几何的考查是在注重基础知识、基本技能、基本思想、基本经验的同时,又兼顾知识的全面性;各题型均有分布,相对稳定,即“三小一大”;五个知识点直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线均有考查,且以中档题和难题形式出现,合计分值一般约为27分,是整套试卷中比较难啃的“硬骨头”。三、备考策略1.注重基础知识、基本技能,强化通性通法例1.已知F₁,F₂是椭圆C:(x²/9)+(y²/4)=1的两个焦点,点M在C上,则|MF₁|·|MF₂|的最大值为()     

圆的妙用

1.求长度例1在平面直角坐标系中,已知点A（cos80°,sin80°）和点B（cos20°,sin20°）,求|AB|的值.解由题设条件知道点A、B是单位圆x² +y²=1位于第一象限的两个点,则∠AOB=80°-20°=60°,故△AOB是边长为1的正三角形,因此|AB|=1.2.求范围例2 F₁和F₂是椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

一道北大保送生考题的再探究

一、试题再现及评析2011年北大保送生考试第一题为:点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F₁、F₂为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F₁PF₂.