导数解决含参数不等式恒成立举例

含参数不等式问题是高考重点,也是难点,它综合考查函数与方程、不等式之间的关系,学生苦于找不到解题突破口,从而陷入困境,本文对这类问题加以总结,愿能帮助同学们学习,     

一题多解“细”探究 巧构函数“觅”思路——一道以函数为背景的不等式恒成立问题的多解法探究

以函数为背景,巧妙设置不等式证明或不等式恒成立问题成为近几年高考命题的热点之一.此类试题,综合性强,难度大,对学生的数学核心素养要求高.解答这类题目,经常需要先恰当构造函数,再借力导数这一工具,综合应用函数、导数知识,方可觅到解题途径.     

应用导数证明不等式

在进行导数的应用的教学中，适当介绍应用有关知识证明不等式，加深学生对导数知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力。本文从三个方面进行了介绍，供参考。     

构造函数,妙用导数巧解不等式

1问题的提出 (2004年高考全国卷第22题)已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的最大值; (2)设0＜a＜b,证明 0＜g(a) g(b)-2g(a b/2)＜(b-a)ln2. 此题第(2)个问题用不等式常规证明方法是难以奏效的.     

利用导数处理与不等式有关的问题

导数是研究函数性质的一种重要工具.是研究函数单调性的最好工具,例如求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等等,而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质;因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.     

巧用导数解决不等式问题

对于不等式有关问题,可以通过构造函数,再运用导数研究函数的单调性,然后利用单调性将函数值的大小与自变量的大小相互转化,从而达到解决问题的目的.     

导数在证明不等式上的应用

导数常见的应用，一般都表现在判断函数的单调性、求函数的极值、判断函数的凹凸性、求曲线的拐点以及求曲线的渐近线等几方面。本文将介绍导数在证明不等式方面的应用，下面大家将会看到，利用导数来证明某些不等式，有时是非常快捷的。     

一个均值不等式链的几何证法

命题：已知a〉0,b〉0,求证： √a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b,当且仅当a=b时等号成立.     

探讨导数在不等式恒成立问题中的应用

不等式恒成立问题是常见题型,在高考中屡见不鲜。若能分离变量,则可把原问题转化为探求相应函数的最值;若不能分离变量,则要借用导数分析函数的单调性,探求函数的最值,并且常常要分类讨论,同时,这也体现了导数工具性的重要应用。但是如何构造函数进行不等式等价转化是解决问题的关键,下面结合几道典型例题谈谈利用导数处理不等式恒成立问...     

柯西不等式的几种证法

综述了证明柯西不等式的若干方法。     

平均值不等式的五种证法

平均值不等式是一个基本不等式,本文采用五种方法对它进行了证明。比较可知通过引理证明要比用数学归纳法证明简单。     

导数与不等式“三剑客”

导数,不仅可以用来研究函数的性质与图像.还可以解决不等式问题,它能让不等式“三剑客”,即解不等式、含参不等式恒成立问题和不等式的证明“峰回路转.直达成功”。下面举例说明。一、导数与解不等式。     

一类不等式恒成立问题的再探究

文[1]给出了含参数的不等式｜a-f（x）｜〉g（x）在给定区间上恒成立问题的一般解法，原文作者倾向于从否命题的角度进行处理．笔者作正面解答的尝试，得到了如下争议解法（以文[1]例2为例）．     

关于“不等式中的恒成立”问题

本文分析了近年来高考数学试题及各地的高考模拟试题中不等式中的恒成立问题,提出了高考命题中的一个热点问题,以期对教师和学生的高考复习起到一定的帮助作用.     

一个均值不等式链的几何证法

命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链,     

导数证明不等式中构造函数的策略

随着导数应用的深入，导数证明不等式这一较深层次的运用摆在了我们面前．但在实际操作中，需要构造函数这一创造性思维，因此如何有效合理地构造函数是使不等式获得证明的关键．而有效的策路使得在解决这类问题时有方向感．笔结合自己韵教学实践具体谈谈构造函数的策略，供参考．     

利用导数证明不等式中的函数构造法

利用导数证明不等式，是近年高考试题中的热点与难点．其证明的总体思路：将所证的不等式，通过构造函数的形式，利用导数判定原函数的单调性，找出最值（值域）使之获证．基于此，如何合理地构造函数，成为我们能否有效解决问题的核心．本文试就一些常见的构造方法作出例析如下．     

一道三角不等式的多种证法

【题目】已知a∈（0,π/2）,求证：sin＋cosa〉1．这是一道三角不等式证明题,下面从不同度思考,给出该题的多种证法．     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.