欧氏空间的等积变换的性质

首先给出了欧氏空间的等积变换的定义.其次给出4个引理并利用这些引理给出了有限维欧氏空间的两个线性变换为等积变换的充要条件,其中一个充要条件反应了两个等积变换在规范正交基下的矩阵关系,另一个充要条件反应了两个等积变换之间的关系.最后给出了无限维欧氏空间为等积变换的一个充要条件及等积变换的一个性质.     

欧氏空间中的Gram矩阵及其应用

定义：设Ｖ是ｎ维欧氏空间，α；，…，αｎ是Ｖ中的向量组，β１，…，βｎ也是Ｖ中的向量组，我们规定： 用此定义对于解决欧氏空间中某些问题来得简单，直观易懂，特别牵涉到Ｇｒａｍ矩阵问题的解决更为简单，请看下列各例： 例Ｉｎ维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵。 证明：设ε１…εｎ和η１…ηｎ是Ｖ的两组标准正交基，且Ａ是ε１…εｎ到η１…ηｎ的过渡矩阵，那么有 亦即是 Ｅ＝ Ａ’Ｅ Ａ＝ Ａ’Ａ所以 Ａ是正交矩阵（证毕） 例２．ｎ维欧氏空间Ｖ的一个正交变换σ关于Ｖ的任意标准正交基的矩…     

欧氏空间中的Gram矩阵及其应用

定义:设V是n维欧氏空间,α1,…,αn是V中的向量组,β1,…,βn也是V中的向量组,我们规定:     

α-酉变换的特征值及其谱分析

通过引进α-正交组、α-正交基、α-酉矩阵等概念,将酉变换推广为满足 A（ξ）＝αξ（α＜0）的一类线性变换,并讨论推广后的线性变换的性质。同时由线性变换与矩阵之间的对应关系,利用α-酉矩阵的性质研究了α-酉变换的特征值问题,得到了关于α-酉变换的谱的一些结论。     

标准正交基的一种简便求法

设ａ１,ａ２……,ａｎ是ｎ维欧氏空间Ｖ的一组基,文［１］利用矩阵的合成变换求得Ｖ的一组标准正交基。这种方法比某些教科书介绍的方法简单易行。本文对此法进一步加以改进,使得计算量节约近一半。 设ａ１,ａ２,……,ａｎ是ｎ维欧氏空间Ｖ的一组基,Ａ是ａ１,ａ２,……,ａｎ的格兰姆矩阵,则Ａ是正定对称矩阵,从而存在ｎ阶可逆矩阵Ｃ,使Ｃ’ＡＣ＝Ｉ, 令（η１,η２,……,ηｎ）＝（ａ１,ａ２,……,ａｎ）Ｃ 则η１,η２,……,ηｎ就是Ｖ的一组标准正交基（见文［１］）,文［１］求矩阵Ｃ是采用一般教科书介绍的合…     

模观点下看矩阵Jordan标准形的存在性

利用模的有关性质,把复数域上n维向量空间V看成是一个V上线性变换T所决定的C[x]—模,将有限加群的结构定理推广到C[x]—模V中,得到了C[x]—模V可以分解成一些循环C[x]—模的直和,进而得到任一个复矩阵都与一Jordan标准形相似。这样,在模观点下矩阵相似于若当形矩阵就与C[x]—模V分解成一些循环C[x]—子模的直和是相当的。     

线性变换在数学解题中的应用

<正>我们在教学数学选修内容《矩阵与变换》时,往往只着眼于用它解决相关的高考附加题,忽略了它在处理其它数学问题中的独特功效.对于平面上两个平行向量α、β,设β=λα,在矩阵M对应的线性变换T的作用下,Mβ     

内积与线性变换初探

内积与线性变换是高等代数的两个重要内容.探讨内积与线性变换有助于深入理解二者之间的关系,促进知识体系的系统化、网络化.初步探讨了内积关系与线性变换,即当欧氏空间V的变换满足一定的内积关系时,它便是V的线性变换,并将线性变换作了进一步推广,推广至n维欧氏空间及酉空间.     

高等代数中两个基本问题的研究

本文给出了在有限维欧氏空间中，利用基的度量矩阵，采用矩阵的合同变换，化一组基为标准正交基的一种方法，特别指出这种方法在R~n中的应用。同时给出了在求齐次线性方程组解空间的标准正交基时，化原来的两步进行为一步完成的方法。     

格莱姆矩阵及其在欧氏空间中的应用

在R域上的欧氏空间中,我们总可以定义向量的内积,设α_1,α_2,……α_n是n维欧氏空间V中的任意一组向量,用这组向量的一切可能的内积作成一个矩阵,     

对称内积空间的等角基与正惯性指数

文[1]给出欧氏空间的等角构形的概念．文[2]把文[1]推广到实一复欧氏空间，并给出了等角基的定义。本文作者探讨了实对称内积空间等角基的存在与对称矩阵的正惯性指数及秩的关系，丰富了等角基的理论内容。     

欧式空间的一个推广

欧式空间指出:若V是数域F上的一个n维线性空间,α1,α2,…,αn是V的一个基,那么对于V中的任意n个向量β1,β2,…,βn,恰有V的一个线性变换σ,使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n);在欧式空间中把它给推广,即在一定的条件下,找到存在一个正交变换σ,使得σ(αi)=βi(i=1,2,…,m)成立的充分必要条件,并给出相关题目的证明。     

线性方程组理论的一个应用

设V是数域F上的向量空间,{α1,α2,…,αr}与{β1,β2,…,βs）是V的任意两组向量．本文利用线性方程组的理论,给出了计算子空间L（α1,α2,…,αr}∩（β1,β2,…,βs）的基的一般方法．     

一类局部凸空间的一些特征性质

文章给出了共轭锥Xβ^*的完备性与局部β－－凸空间的可分性等一些局部β－－凸空间的特征性质。     

一种用初等变换求标准正交基的方法

设 a_1,a_2,…,a_n 是 n 维欧氏空间 V 的一组基,利用正交化方法可以得到 V 的一组正交基,进而求出 V的一组标准正交基。对于这一方法,不少教科书中都给出较为详尽的证明。本文借助二次型理论中的初等变换,给出一种较为直观、方便的计算方法,这种方法的依据如下:     

广义Aluthge与广义*-Aluthge变换的一些性质

设T是作用在希耳伯特空间H上的有界线性算子,如果T=U|T|是算子T的极分解,对t∈(0,1),则T~t=|T|t|U |T|1-t和Tt(*)=|T*t|U|T*|1-t分别称为算子T的广义Aluthge变换与广义*-Aluthge变换,以此给出它们的一些性质.     

从V=AV⊕A-1（0）的一个条件谈起

给出n维线性空间中线性变换的值域与核的直和是整个空间的充要条件.在此基础上对幂等变换与幂等矩阵的若干性质进行了研究,进而解决了涉及幂等变换与幂等矩阵的一些问题.     

一类特定数字集下自仿测度的非谱性

主要讨论与扩张矩阵M=diag[p_1,p_2,p_3](p_j∈Z\{0,±1},j=1,2,3)和数字集D={0,e_1,e_2,e_3,e_1+e_2,e_1+e_3,e_2+e_3,e_1+e_2+e_3}所对应的自仿测度μ_(M,D)的谱性,这里e_1,e_2,e_3是空间R~3中的标准正交基.通过分析Fourier变换μ_(M,D)的零点Z(μ_(M,D))的特征,证明当p_j∈2Z+1\{0,±1},j=1,2,3,μ_(M,D)是非谱测度,空间L~2(μ_(M,D))中正交指数函数系至多包含"8"个,且数字"8"是最好的,推广了文献[14]相关的结果.     

规范正交基的一种简便求法

讨论规范正交基的求法.给出了利用矩阵的初等变换求n维欧氏空间Rn的规范正交基的一种简便方法.     

M(ǒ)bius变换的特性

A.F.Beardon[1]在讨论n维欧氏空间Rn上的M(ǒ)bius变换的性质时,给出了Rn上的Mǒbius变换与映射保四点交比的等价性.本文将四个点的交比推广到六个点的交比,并证明了Rn上的映射是Mǒbius变换的充要条件和映射保六点交比.