组合等式证明问题杂谈

关于组合等式的证明问题,在初等数学的范畴中,是一个较为复杂的问题。它不仅与代数中的排列、组合及二项展开式等问题有密切的联系,而且在另一角度上说,又与函数、分析及概率等知识相关联,这就造成了问题可解的多样性与复杂性。     

例说组合恒等式的六种证明方法

组合恒等式的证明是学生学习排列组合与二项式定理这一部分内容时经常遇到的题型,其证法多种多样,灵活性强且有一定的难度．下面将给出在中学数学范围内六种常用的证明方法．     

概率模型在组合等式证明中的应用

数学中某些组合等式用确定的数学方法证明是比较困难的,利用建立概率模型的方法,根据概率论的相关性质来证明等式,使很多等式的证明赋予现实意义,更容易掌握.     

条件等式证明例析

从一个或几个等式(已知条件)推出另一个或几个等式(结论),这欲证的等式就是条件等式．其证明的关键在于发掘已知条件与欲证结论间的联系,手段之一便是将已知或结论变形．     

条件等式证明的基本方法

条件等式的证明在中学数学习题中占有较重要的地位。不少学生因没有掌握基本方法而感到解题困难。因此,教学中应注意向学生介绍证明条件等式的基本方法和思路。以下仅就一例,说明证明条件等式的四种基本方法。 例:已知sinβ=m sin(2α+β) 求证:tg(α+β)=(1+m)/(1-m) tgα [方法一]代入法。 变换已知等式,代入求证等式的一端,导出另一端,使条件等式的证明变为恒等式的证明,称为代入法。 [分析]要想证明tg (α+β)=(1+m)/(1-m)tgα成立,只要证明     

构造格点计数模型 证明一类组合等式

利用构造法证明组合等式,可以说是智者见智、仁者见仁,新思路、新方法层出不穷．这些方法构思新颖,从不同角度挖掘组合等式的内涵．本文将利用格点的有关知识给出组合等式的又一证明方法,望能给同学们提供一新思路．     

利用概率方法证明等式与不等式

举例说明利用概率方法证明一些等式与不等式,进一步阐明概率方法应用的广泛性.     

关于组合的等式的证明和组合在数列中的应用

同学们在学习排列组合以后感到所学内容和前后关联不大,对于组合数的证明题往往不易下手,困难很大,为了帮助学生总结规律,提高能力和学习兴趣,我们对学生作了如下的一点指导。一、怎样证有关组合的证明题要求学生理解和熟记以下的几个公式     

利用概率方法证明等式与不等式

举例说明利用概率方法证明一些等式与不等式，进一步阐明概率方法应用的广泛性。     

一个有趣的证明方法——用不等式证明等式

认为“不等式”和“等式”是互斥的一对矛盾命题,这是数学思维的一个错觉。事实上,非严格不等式“A≥B”与等式“A=B”是相容的,后者是前者的特例。特别地,有: “A≥B”且“A≤B”     

构造条件等式证明不等式例谈

本文举例介绍通过构造条件等式来证明不等式,这种方法只是给大家提供一种证明不等式的新视角,有时并不一定是最便捷的,不当之处请同行批评指正. 例1(2000年加拿大数学奥林匹克试题)设a,b,c ∈ R+,求证:a3/bc+b3/ac+c3/ab≥a+b+c.     

用不等式证明等式

我们往往习惯于用等式来证明不等式，而忽视了不等式在证明等式中的“反作用”．其实对于许多等式，包括用常规方法难以证明的竞赛题，倘若恰当地选择以不等式作为证题手段，便可出奇制胜．同时，通过这种证法，还可使我们进一步明确“等”与“不等”的辩证关系，深化对数学问题的理解．本文举例说明用不等式证明等式的三种常见思路．一、证明不等式A≥B与A≤B同时成立，得A=B.n(a β),求证(第十七届全苏中学生奥林匹克赛题）α-β可构成某△ABC的三个内角,由正弦定由余弦定理得cos(-综上两方面结果，必有例2已知实数x、y、z同时满足条…     

构建概率模型证明等式

在数学等式证明中，人们很少把等式中的数字或符号形象化、具体化，给等式建立起一个形象，直观的数学模型。而许多等式运用常规方法也难以证明或根本不能证明。更说不上给等式建立起数学模型。本从构建数学模型的基本思想出发，对某些特殊类型的等式通过构建概率模型，给出它们的一种概率证法。     

利用不等式证明等式

众所周知；a=5的一个充要条件是a≥b且a≤b.利用这一事实证明有关恒等式，思路别致，独树一帜．下面举例说明．例1（1983年合肥市数学竞赛题）在是直角三角形证将已知等式变形，得由(2)知，A、B均为锐角，于是综合(2)、(3)，命题获证．例2已知a、β、γ为锐角.且cosa=证由对称性，不妨设将题设代入(2)，得比较(1)、(3),得由β=γ及题设命题获证．例3已知证由已知不等式，得两式相乘，得例4在矩形ABCD中，BC=2AB，E为AD上一点，且∠DCE=15°，求证：BC=BE.证如图1结合假设假设BE≤BC，则上述推理过程中不等号均反向，导出BC≤BE…     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

行列式与等式证明

行列式是一个重要的数学工具,在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文介绍行列式在等式证明中的若干应用.     

谈物理化学中热力学等式的证明方法

本文总结了四种热力学等式的证明方法，并用实例说明这些方法的具体应用。     

Shapiro不等式证明的数学期望方法

不等式是数学的重要分支，其证明具有很大的趣味性和巧妙性，从而吸引了数学研究者的广泛关注。本文中，笔者从概率论中数学希望的性质得到启发，并巧妙地构造离散随机变量和凸函数来证明了著名的Shapiro不等式。     

谈物理化学中热力学等式的证明方法

本文总结了四种热力学等式的证明方法 ,并用实例说明这些方法的具体应用     

模型构造——组合等式证明的一种常用策略

教学实践告诉我们:组合等式的诬明在往比较繁复,术文拟用构造模型的方法来证明一类组合等式,今举数例,供同行探讨._2奋,sn醒4证明:考虑代数模型,(l+,)”二C:+C二劣 例1.求证: _葵n二.乙一‘co卜石一’1一C孟+C孟一C盒+一c孟一C孟+C盖一C二十”·十C盖x,+…十C拓二”,根据模型与待证结论的关系.令二=‘得:(1十i)’一C尸+价卜卜、心若十社C之+二 十护C君二(C品一(棍+C轰一C盒+…)=2”十’·(]斗l)”+’((了g,、,+C;,十,+(C孟一C盘+C二一C二十二)i.+弓+,十二十C舞扣又(1+i),,=2两式即可得结论 ”兀_二几汀\“。s刁十’s’升飞){_匕较…