探究一般化策略的应用途径

1何谓一般化策略 “不识庐山真面目,只缘身在此山中”,“欲穷千里目,更上一层楼”,当我们面对一些具体问题困惑不前时,能否以进求退,转而先去探讨更一般化的命题,以把握事物的本质规律,然后将之特殊化,促成原问题的解决？这就是一般化策略．正如波利亚在《怎样解题》中指出,“一般化就是从考虑一个对象,过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合”,或从考虑常元的问题过渡到考虑变元的问题．     

一般化策略的实施途径

当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事情本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略，这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。     

小学数学教学与解题的策略和方法系列讲座(七)——“化归”的策略和方法〈二〉

1.“特殊化”与“一般化”的策略和方法 “特殊”和“一般”这对普遍存在于自然界中的对立而又统一的矛盾,在数学中同样有着十分广泛的应用基础。具体反映在解答数学问题的解题策略中,就是将一般问题化归特殊情形进行研究的策略和将特殊问题一般化的策略,前者即第四讲中已讨论的“枚举归纳的策略,”在此不再赘述。至于化归一般的策略,在数学中也有着广泛的应用,究其实质是演绎推理原理在解题中的具体应用,是小学生学习数学、解答数学问题时经常使用的必备的思维模式。例如当学生解答“求长5厘米,宽3厘米的长方形面积”这一问题时,首先反映在学生脑海中的是“长方形面积=长×宽”这个一般性的结论,进而把这一结论运用到问题的具体环境中去求出该长方形的面积。即先把问题一般化,然后根据(或求出)一般性的结论解决所需解决的具体问题。我们称这类解题的思维模式为化归一般的解题策略。运用这一解题策略,可以加深学生对数学基础知识的理解,提高学生对学习数学概念、法则、定义、定律的重要性的认识,从而加强学习数学基础知识的自觉性。除此之外,还可提高学生运用所学知识解决实际问题的能力,提高学生的演绎推理能力。因此在数学基础知识的教学中应注意加强演绎推理原理的渗透,而在解题教学中更应加强学     

以“退”为进解题的三种策略

著名数学家华罗庚说过:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.对于一般性的数学问题,如果在解答过程中感到“进”有困难,或无路可“进”时,我们不妨运用“退”的思想,从一般“退”到特殊,从整体“退”到局部,从空间“退”到平面,从不等“退”到相等,总之想方设法尽可能地“退”到一个能解决问题的平台上,这样就容易激起思维的灵感,问题也随即迎刃而解.下面结合具体问题谈谈这一解题思想的应用.     

一般化思想在编制命题中的应用

一般化思想是化归与转化的重要策略之一，在高中数学的思想方法中具有举足轻重的作用．“一般”概括了“特殊”，“一般”比“特殊”更能反映事物的普遍性与规律性，更能揭示事物的本质．笔者通过多年高中数学命题的实践发现，教师在命题和解题中若能有意识地渗透一般化思想，将有助于提高学生的抽象思维能力，有助于加强学生对数学概念的深刻理解．     

一般化策略的实施途径

当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时,要设法把特殊问题一般化,找出一个能够揭示事情本质属性的一般性问题,以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果,顺利解出原题,这就是一般化策略.这种策略是通过找出特殊问题的一般原型,把特殊问题从原有范围扩展     

退一步海阔天空——数列题的一种解题策略

对于一般性的数学问题,如果在解答过程中,感到“进”有困难,或无路可“进”时,我们不妨运用“退”的思想,从一般“退”到特殊,从抽象“退”到具体,从复杂“退”到简单,从整体“退”到部分,总之想方设法尽可能地“退”到一个能解决问题的平台上.下面就数列问题谈谈这一策略.1从形式上“退”例1设{an}是由正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.求数列{an}的通项公式.解由题意知an2 2=2Sn(n∈N*).整理得8Sn=(an 2)2,由此得8Sn 1=(an 1 2)2,8an 1=8(Sn 1-Sn)=(an 1 2)2-(an 2)2.整理得(a…     

解数学竞赛题的特殊化策略

(本讲适合初中 )数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话 :“在讨论数学问题时 ,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用 .我们寻找一个答案而未能成功的原因 ,就在于这样的事实 ,即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决 ,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题 ,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们 .”这段话对解数学竞赛题很有指导意义 ,当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时 ,采用特殊化策略就是一个较好的选择 .特殊化策略是一种“退”的策略 ,所谓“退” ,可以从复杂退到简单 ,从一般退到特殊 ,从…     

浅谈数学解题中的“退”

从未知到已知,这是进,也是我们解题的目的,然而,在很多问题的解决过程中,为了达到“进”的目的,而不得不“退”下来.华罗庚曾说过:“善于‘退’足够地‘退’,‘退’到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个决窍.”以退求进是解决数学问题的辩证思维,是研究问题的一般方法,本文拟从几方面来浅述以退求进这种辩证思维在解题中的应用.     

“以退求进”法解题初探

“以退求进”是人们常用的思维方法与思维策略．数学解题中的“退”就是把一个较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题。把这个最简单、最原始的问题想通了，想透了，就不仅可以“进”。而且可以来一个飞跃，现就“以退求进”法解题谈点管见。     

巧用“以退求进”策略解物理难题

“以退求进”策略是指我们面临较难解决的复杂问题时，先退至我们能着手解决的简单问题，再逐步向前推进，直至最终快速解决复杂问题的思维方法．著名数学家华罗庚曾说过：“先足够地退到我们最容易看清楚问题的地方，认透了，钻透了，然后再上去．”众所周知，拳头收回后再打出去会更有力，向下蹲一下再向上跳会跳得更高，这便是“以退求进”策略...     

关注学生探究中数学思维的发展——以《解决问题的策略之替换》教学为例

问题解决策略在苏教版教材中是一个教学重点。如何将策略教学的思想性渗透其中，把准学生思维的脉搏，突破学生的思维瓶颈，这是教师亟需思考的问题。是为“策略”而策略，还是教会学生解决问题，显然我们更应注重后者。     

以退为进解题策略例举

著名数学家华罗庚说过,关于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。这句话道出了解决数学问题的一个重要策略一以退为进,退是为了更好地进。运用这一解题策略,从复杂退到简单、从一般退到特殊、从抽象退到具体、从整体退到部分、从正面退到反面,就能使许多复杂的问题得以解决。现举例如下：     

教学文摘

用“以进求退”的 思想方法解数学题 华罗庚谈到数学中的”退”,指出:“先足够地退到我们容易看清楚问题的地方,认透了,钻深了,然后再上去。” “退”与”进”是对立统一的。有时为了“退”却先要“进”,本文就谈一下“以进求退”的思想方法。一、从“部分”进到“整体”再退到”部分”。为了解决局部的问题,有时需要先认透整体,随之局部的问题就迎刃而解了。二、从“特殊”进到“一般”     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识 1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出，“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用。具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式。     

运动中的重叠问题

运动中的重叠问题是中考常见的一种题型，它集几何、代数知识于一体，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力．其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破．     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识1.1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出,“从特殊到一般,再由一般到特殊”,这是认识的一个基本规律,这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用.具体地说,一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式.1.1.1 “一般化”(generalization)也可称为“弱抽象”,指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论,并使前者成为后者的特例.由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程;另外,除真实的事物和现象以     

巧用特殊化 快解中考题

德国著名数学家希尔伯特曾经说过：“在讨论数学问题时,我相信,特殊化比一般化起着更重要的作用．”特殊化策略作为划归策略,是一种退的策略,基本思想方法是很简单的．所谓“退”,可以从复杂退到简单,从一般退到特殊,从抽象退到具体．希尔伯特的这一阐述指出对于一些一时找不到解题思路,难以人手的问题,不妨考虑其特殊的情形,从而达到解题的目的．尤其在中考中,时间就是分数,特殊化策略显得尤为重要,常给人以耳目一新的感觉,甚至会收到事半功倍的效果．现在让我们走近中考,共同来感受一下吧!     

2003年中考试题中的“动点问题”

动点问题是2003年中考题中出现较多的一种题型，这类集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力．其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”．抓住要害，各个击破．常见的题型有。     

例析2OO3年中考试题中的“动点问题”

动点问题是2003年中考题中出现较多的一种题型，这类集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力，其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破，常见的题型有：