巧构数学模型 探究变量最值

<正>求变量最值问题是多年来中考数学中的经典题型,几年前主要探索点点间、点线间路径最值和常规函数最值,近两年又突破常规类型,发展为探究角、面积及它们的和差积等的最值,具体分为以下五种类型.一、平面内直线上一点到该直线同侧两点间路径的最值常见方法有两种:①作一点关于已知直线的对称点,连接它与另一点——线段最短;②解直角三角形或综合其它知识求线段长.好多压轴题中也见多这样的模型.     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

点P还可以这样来确定

数学中有这样一类最短路径问题模型:在直线l的同侧有两个点A和B,怎样在直线l上找到一点P,使AP+BP的和最短(如图1).解决的办法都是先作一个点A(或点B)关于直线l的对称点A’,连接A’B交直线l于点P,则点P就是所     

一个最值问题的探讨

平面上,在直线l一侧有两点A,B,如何在l上找一点P,使PA＋PB的值最小？这一问题中确定P点的方法很简单,只要找到点A关于l的对称点A’,再连A’B,则A’曰与l的交点就是满足条件的P点．本文要讨论,     

变量最值与直角三角形的不解之缘

<正>变量最值问题常常直接或间接地以直角三角形的存在为条件,本文分类说明如下.一、平面内直线上点到该直线同侧两点间的路径最值【破解】1作一点关于已知直线的对称点,连结它与另一点——最短路径;2将已知线段向最短路径两端平移成直角三角形,解直角三角形求得最短路径——斜边.例1(2014年黔东南州)在如图1所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的     

圆锥曲线中的一类最值问题

<正>本文试图就如何利用数形结合的思想方法来解决一类圆锥曲线的最值问题做一点探讨和归纳.引例如图1,已知F1、F2为直线l的同侧的两定点,试在直线l上找一点M,使|MF1|+|MF2|有最小值.F1P MM0F2l图1%解如图1,过点F1作点F1的关于直线l的对称点P,连结F2P交直线l于点M0,则点M0即为所求(易证之,略).若将上述问题中的直线改为二次曲线,     

一个经典作图题派生的最值问题

1引例——类比联想 例1几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的2个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则PA＋PB=A′B的值最小（不必证明）．     

追本溯源,例谈“将军饮马”问题在中考中的应用

一、原题呈现苏科版教材八(上)第38页习题第9题:例1如图,点A,B在直线l同侧,点B′是点B关于l的对称点,AB′交l于点P.(1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?(2)在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.本题就是著名的"将军饮马"问题,一个经典的几何最值问题,实际上是在直线l上找一点P,使点P到直线l的同侧     

万变不离其宗——几何最值问题的变式探究

几何中最值问题的依据是:"两点之间,线段最短"、"垂线段最短".在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题.本文在课本(人教版八上数学课题学习最短路径问题)中"饮马问题"、"造桥选址问题"的基础上进行变式探究,与同行交流.几何模型一、基本图形1.条件:如图1,点A、B是直线l异侧的两定点.     

利用对称点最值(高二、高三)

在求几何中关于“定点到动点距离之和(差)”的最值时,我们常用到对称点.关于该方法的证明及应用,现给出三类情况.1.已知两点在一条直线同侧,在直线上找一点。使其到两定点的距离之和最小寻找方法:作出任一定点关于直线的对称点,连结该对称点与另一定点交直线的点即为所求,且上述的最小值为该对称点到另一点的距离.图1     

解析几何中求最值的常用策略

一、利用对称点转化利用对称点求最值是解析几何中最常见的题型之一,经过转化之后利用两点之间线段最短或三角形的三边关系求解.     

借助“隐圆”巧解一类中考最值问题

最值问题是数学中比较常见的问题,是在变化中寻求不变,是数与形之间的完美结合.对于一类求一定点和一动点这两点间距离的最小值,可以先找到动点的运动轨迹,再利用一些最值模型解决问题.如当动点在定直线上时,可以利用垂线段最短解决问题;当动点在定圆上运动时,可以利用圆外一点与圆上一点距离的最值模型解决,（如图1,P为⊙O外一点,...     

中考几何中的最值问题

几何最值问题是中考考查的一个重点,也是学生学习的难点.研究近年的中考试题,本文总结一些解决几何最值问题的方法.一、利用"垂线段最短"求最值例1(2009年山东省)如图1,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为     

"一类图形的最值问题"教学实录与反思

最值问题是近几年中考命题中的热点问题,也是压轴题常见的问题.本文从"将军饮马"问题出发,结合"垂线段最短""两点之间,线段最短",根据图形自身性质解决"最值问题".     

线段最小值专题辅导

<正>最值问题是平面几何的难点.最值问题的解决通常需要综合运用平移、反射、旋转辅助线几何技巧.这类问题能考查出学生数学综合素质,是中考综合性考题的重要来源.对于平面几何中常见的最值问题,我们从基本图形入手,总结如下.一、借助两点之间线段最短如图1,直线l及同侧两定点A,B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.分析对一定直线和同侧两定点A与B,我们来作点A关于直线l的对称点A′.根据对称的相关性质,点 A、A′到对称轴上     

动点产生的线段和差问题

正初中阶段,线段和、差的最值问题是一个难点.求解这类问题,关键的在于找出两个"量":一是定点,二是动点或不定点所在的定直线;进而利用"两点之间线段最短"或三角形的三边关系来解决.1求和1.1两定点+一定直线例1(牛饮水问题)牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家前要先带牛到河边饮水,饮水地点选在何处,牧童所走路程最短.题中定点是A,B两点,饮水点记为P,则P为     

几何最值问题的求解策略

几何最值问题是指在几何图形中,因某个（几个）元素在限定条件下变化时,求与之有关的某些几何量的最大（小）值,取值范围,这类问题一般涉及面广,综合性强,有一定的难度,从变化中寻找解题方向,现就其常用策略举例简解如下： 一、利用几何公理、定理 如两点间距离以所连线段最短;直线外一点到直线上所有线段最短;直径是圆中最长的弦等。     

建立解几基本解题模型求函数最值

当所给函数具有某种几何意义时,求函数的最值采用建立解析几何基本模型的方法比较灵活巧妙.可把函数的最值转化为求两点间的距离,两点连线的斜率,点到直线的距离,直线的截距,二次曲线等最值问题,给解题带来方便.     

圆中最值问题求解

有关圆的最值问题,往往知识面广、综合性大、应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质.下面我们按知识点分类,以近几年中考题为例,归纳总结此类试题的解题方法.一、直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短     

曲线上的点到直线之距的最值问题

在解析几何中,曲线上的点到直线的最短（长）距离或求动点到直线的最短（长）距离,是我们经常遇到的一个难题,要解决它,可以从两方面入手：可归结为求函数的最值问题;可借助于图形的性质。以下是我针对以上两点举例说明。