浅谈构造法解题

构造法解题在近年高考、竞赛中时有出现常见的有构造函数、构造不等式、构造数列、构造几何图形等,本文将通过具体题目来说明. 一、构造函数 例 1 设f(x)=x3-6x2+9x-14,f(m)=1,f(n)=-1,求m+n的值。 解:f(x)=(x-2)3+3(x-2),∴(m-2)3+3(m-2)=1①(n-2)3+3(n-2)=-1②设F(x)=x3+3x易知F(x)=x3+3x是单调递增的奇函数,∴F(m-2)=-F(n-2)=F(2-n)∴m-2=2-n,∴m+n=4.     

判别式与韦达定理的应用

一元二次方程的根的判别式和韦达定理(根与系数关系)在解题中有广泛的应用,近年来中考中屡屡以压轴题形式出现,现举例说明·例1(四川省)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0,①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1、x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由·解:因为方程①有两个不等实根,所以Δ=|-2(m+1)|2-4(m2-2m-3)=16m+16>0,所以m>-1·又因为方程①有一根为0,所以m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0·解得m1=-1,m2=3·又因为m>-1,所以m1=-1应舍去,所以m=3·当…     

剖析问题 巧抓症结

正一、多项式的乘法例1若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3项,求m和n的值.解析一些学生一看到题目,他们会毫不犹豫地利用多项式的乘法将(x2+nx+3)(x2-3x+m)展开,得(x2+nx+3)(x2-3x+m)=x4-3x3+mx2+nx3-3nx2+mnx+3x2-9x+3m=x4+(n-3)x3+(m-3n+3)x2+(mn-9)x+3m.     

例说韦达定理在解题中的应用

<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m²-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α²+β2+β²=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x²-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m²-1,且Δ>0.     

利用判别式解题

一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献   

一类区间上参数取值问题的解法

含参数的一次函数、二次函数在某区间上根的问题,是初中学习中综合性较强的内容.此类题目的解答一是有其特殊的方法,另外如果不填容易出现错误.现举例如下:例1已知函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在x0,使f(x0)=0,求实数a的取值范围.分析易知f(x)的图象在区间[-1,1]上为一条线段,且这条线段与x轴有交点.应该满足f(-1)·f(1)≤0,即(-5a+1)(a+1)≤0,解得a≤-1或a≥51.例2已知方程x2+(m-2)x+2m-1=0有具只有一个实根在(0,1)内,求实数m的取值范围.分析令f(x)=x2+(m-2)x+2m-1=0,图象为开口向上的抛物线,要使f(x)=0有具只有一个根在区间(0,1)内,…     

初中数学解题中常见错误分析

在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题.希望能引起同学们的重视,避免摔倒在别人多次绊倒的地方.一、忽视根的判别式例1设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个根.当m为何值时,x12+x22有最小值?求出这个最小值.错解:已知方程的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1·x2=2m2+3m-22 .∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×2m2+3m-22=2m2-3m+2=2(m-34)2+78.(1)∴当m=34时,x12+x22有最小值78.分析:∵x1,x2是原方程的两实根,∴Δ=(-4m)2-4×2(2m2+3m-2)≥0.解得:m≤23.…     

关于m是奇数时Walecki竞赛图的计数

对B.Alspach在1989年关于竞赛图计数问题[2]本文提出如下猜想当m≥3的奇数时2m+1阶的Walecki竞赛图的个数是(2m)!Ф(m),其中Ф(m)=1+2(m-1)/2-1/[2(m-1)/2-2]2{[2(m-1)/2-1]m-1-(m-1)·2(m-1)/2+2m-3}.     

用判别式解题不可忽视隐含条件

[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次…     

例析在二次函数解题中常见的错误

<正>二次函数的问题在中考时是必涉及的内容,同学们在解答中常出现这样或那样的错误,造成失分,为帮助同学们复习好本部分内容,考出好成绩,今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.1不能正确把握题意,导致考虑问题不全面例1已知关于x的函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.误解由题意知Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32>0,解得m>-87.分析上述解法的错误在于没有正确把握题意,误把函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m     

一类线性非齐次微分方程的新解

对于线性非齐次微分方程L(y)=f(x),当函数f(x)=amemx+am-1e(m-1)x+…+a2e2x+a1ex+a0(m为整数,ai为常数,i=1,2,……,m)时,可通过自变量变换ex=t,将线性非齐次微分方程L(y)=f(x)化为方程L(y)=amtm+am-1tm-1+…+a2t2+a1t+a0直接求其特解。     

一元二次方程的新题型

一元二次方程一直是中考的重头戏.近年来,围绕着“重在基础,突出能力,尝试创新”的命题思路,一元二次方程新题型精彩纷呈.一、设计有隐含条件的一元二次方程问题例1已知x1、x2是关于x的方程(m-1)2x2-(2m-5)x+1=0的两个实数根.(1)若P=1x1+1x2,求P的取值范围;(2)问x1、x2能否同时为正数?若能同时为正数,求出相应的取值范围;若不能同时为正数,请说明理由.简解:(1)依题意可得(m-1)2≠0,且△≥0.这样可以解得m≤74,且m≠1.又x1+x2=2m-5(m-1)2,x1x2=1(m-1)2,故P=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m-5.∴m=P+52,从而有P≤-32,且P≠-3.(2)由m≤74,且m≠1知x1+x…     

求“多项式数列”的和数问题

定义设P(x)为m次多项式,则以a_n=P(n)为项的数列称为m次多项式P(x)的数列。问题设a_n为m次多项式P(x)的数列,问如何求和sum from k=1 to n(a_k)=sum from k=1 to nP(K)。为此我们先给出引理1 设f(x)为m次多项式,则一阶差分Δf(x)=f(x+1)-f(x)为m-1次多项式,命题是显然成立的,故证略。引理2 若P(x)=a_mx~m+…+a_1x+x_0,α_m≠0为一m次多项式。则有f(x)=β_m+1x~(m+1)+…+β_1x,使得Δf(x)=P(x)。证明时只要算出Δf(x)=f(x+1)-     

一题多解,探根溯源

题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值. 预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2). 方法一:(消元法) 解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1     

数学奥林匹克初中训练题(89)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.设a>0,f(x)=xa-a(x+a)(x≥-a),记f(x)的最小值为m(a).若m(a)=-2006a,则a等于().(A)8020(B)8016(C)2006(D)20052.若(m+6)(m+5)-(n+6)(n+5)=2006m(m-1)-2006n(n-1),且m≠n,则下列四个结论中,正确的是().(A)m+n必不是一个常数(B)m+n=2006(C)m+n=42001107(D)m+n=22000157图13.如图1,⊙O的弦AB与CD交于点P,AO与CD交于点Q.若AO⊥CD,∠AOD=2∠PAC,则下列四个结论中,正确的是().(A)D、O、B三点共线(B)A、D、O、P四点共圆(C)P为△AOC的内心(D)QB⊥OC4.方程m2-n2+3m-7n-2=0的整数解(m,n)的个…     

谁对谁错——评一道数学题的两种解答

题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则     

与“恒”有关的问题探究

在研究解决函数、数列等问题的过程中,经常出现与“恒”有关的问题,为了恰当解决此类问题,笔者通过典型例题认真剖析、反复探究,提出如下规律、方法:例1已知m∈R,设P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式｜m2-5m-3｜≥｜x1-x1｜对任意实数a∈[-1,1]恒成立;Q:函数f(x)=x2+mx2+(m+4/3)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P正确Q正确的m的取值范围.     

与初三同学谈一元二次方程的应用

一元二次方程是初中数学的重要内容之一 ,以一元二次方程知识为背景的问题是历年中考的热门试题 .这里与同学们交流一下如何恰当地构造一元二次方程 ,利用根与系数的关系或判别式解题 .一、解不等式问题例 1　已知一元二次方程 2x2 -2x + 3m-1 =0有两个实数根x1 、x2 ,且它们满足不等式 x1 x2x1 +x2 -4 <1 ,求实数m的取值范围 .解　由题意得 :x1 +x2 =1 ,x1 x2 =3m -12 ,代入上式得3m-121 -4 <1 ,∴m >-53.又由Δ≥ 0可得4-4 × 2 ( 3m -1 ) ≥ 0 ,∴m ≤ 12 .∴m的取值范围是 -53相似文献   

一类特殊方程根的问题解决策略

<正>引例1(2013年安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1、x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3 B.4 C.5 D.6引例2(2014年全国高中数学联赛(江苏赛区)初赛)已知函数f(x)=lg|x-103|.若关于x的方程f2(x)-5f(x)-6=0的实根之和为m,则f(m)的值是.     

函数与导数解答题的错解分析

易错点1:混淆“在某点的切线”与“过某点的切线”例1定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)过点(1,1)作函数f(x)的图像的切线,求切线的方程.(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.难度系数0.65错解(1)由f(x)=x2+x,可知当x=1时,f(1)=2.