边长是连续整数的三角形的性质

《、卜学教研》(数学),2年第2期!8页刊登一道赛题及其解答如「: 如图I,△,落邢只边的长分别是邵一17,‘飞一18,月刀=l勺,过△月留l勺的点p向△A欣少的三边作垂B线,PD、朋、即(D、召、F为垂足),且刀D十‘刀+寿’- I)图l27,求刀D+脚’的长. (第五肠全囚部分省、市初中数学通讯赛试题) 解:连结剐、朋、八了.由全」股走理得: 刀护+C刀2+月FZ 一尸BZ一尸护+尸(咫一尸尸+尸矛一尸尸, 刀尸+月解+C拼 二尸牙一尸j’z+尸矛一尸尸十P(夕一尸护, 刀I尸十C刃2十月尸一刀尸+月解+亡解 =刀矛’2+(18一(了E)2+仁17一刀D)2.整理得形,+阶t2一182十17…     

表示为连续整数和的整数

有一个数学现象是很有趣而且有点奇怪的. 请看自然数1,2,3,4,5,…,其中有许多整数可以用它前面的一串连续整数的和来表示.例如 3=1+2,4不行,5=2+3,6=1+2+3,7=3+4,     

整数三角形

(此讲座适合高中一、二、三年级)“三角形三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有多少个?”“三角形三边为三个连续整数,且有一个角是另一个角的两倍,求这个三角形的三边之长。”这些有趣的数学竞赛题所涉及的三角形三边均为整数.我们定义:一个三角形的三边均为整数,这样的三角形称为整数三角形.比如边长为2,3,4的三角形,边长为5,12,13的三角形都是整数三角形.整数三角形这个课题十分广阔,本文只择其中的要点作些简要介绍.     

整数三角形

一个三角形,除了三个内角A、B、C及其外角外,它的元素还有三条边a、b、c,三条高h_a、h_b、h_c,三条中线m_a、m_b、m_c,三条内角平分线t_a、t_b,t_c,三条外角平分线t_a'、t_b'、t_c',以及周长2p,面积S,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径r_a、r_b、r_c等(其中a为A所对的边,h_a为a边上的高,其它类推)。我们在编制三角形的计算题时,为了避免具体计算的繁冗,往往希望把线段的长或者面积的值凑成整数。这样,不但便于计算与说明,而且还可以给人一种数学美的享受。试想,利用勾股定理,当     

例说以连续自然数平方根为边长的三角形在物理中的应用

在我们研究的物理问题中，很多时候会与角度有关，而通常为讨论问题的方便会取一些特殊角，     

巧求三角形的边长

有些题目看起来计算很复杂,如果稍加转化,问题便可迎刃而解。 [题目]如图,正方形ABCD的边长为10厘米,三角形COE的面积比三角形AOB的面积大15平方厘米,求CE的长。 [分析与解]已知三角形COE的     

关联三角形边长的考题

例1 若一个三角形边长均满足方程x2-6x 8＝0,求此三角形的周长.     

边长成等比数列的三角形

我们知道,一个三角形,当且仅当三边长是公比为1的等比数列时,是等边三角形。是否还存在其它三边长成等比数列的三角形呢?如果有,公比存什么范围内取值?这种三角形有些什么性质呢? 一、“618”区间定理1 三条长度成等比数列的线段能构成一个三角形的要充条件是公比q属于     

两类边长和中线都是整数的三角形的不存在性

本文用逐步递降法的思想证明了不存在边长和中线都是整数的直角三角形和等腰三角形。     

关于三角形边长的一个不等式

设△ABC的三个边长与半周长分别为a,b,c和s．在文[1]中,作者对锐角三角形建立了不等式.     

三角形边长之间的一个不等式

本文约定:△ABC的三边长、半周长、面积,外接圆半径、内切圆半径分别为a,b,c,P,S,R,r,∑表示循环和.经过探讨,笔者现已得到:定理:3(52RR--rr)≤∑∑aab2≤(2RR2 r)r22.证明:由熟知的恒等式知:∑a2=2(P2-4Rr-r2)∑ab=P2 4Rr r2所以∑a2∑ab=2(P P22 -44RRrr -rr22)=2-P42(4 R4r     

三角形三边长的一个不等式

本文先给出关于三角形三边长的一个不等式，然后由此导出三角形中关于三边长的一系列有趣的不等式．定理设α、b、c表示△ABC的三边长，证当α、β、γ中只有一个为零时，不妨设α=0，这时β与γ互为相反数，显然（1）式成立：当α、β、γ中有两个为零时，另一个必为零，这时（1）成为恒等式0＝0，显然成立．现设α、β、γ都不为零，那么α、β、γ则必不全同号，不妨设β与γ同号，则综上，（1）式成立，证毕．在不等式（1）中，灵活地对α、β、γ赋值，可得关于三角形三边长的一系列有趣的优美不等式．例1在△ABC中，令整理即得1964…     

边长及角度数均为有理数的三角形问题

我们所常见的三角形 ,三个角度数都是有理数时 ,往往含有无理数的边长 ,而三边长都是有理数时 ,它的三个角的度数又往往不都是有理数 .有没有三个角的度数及三边长均是有理数的三角形呢 ?显然 ,边长为有理数的正三角形就是这样的三角形 .我们要问 ,除了正三角形外 ,还有没有其它三角形也满足这个条件呢 ?本文要证明 ,三个角的度数及三边长均为有理数的三角形只能是正三角形 .先证明下面三个引理 .引理 1　若 cosθ为有理数 ,而 m为整数 ,则 cos mθ也是有理数。证明　只对 m为正整数证明即可 .cos mθ+ isin mθ=( cosθ+ isinθ) m =∑mk=0…     

边长成等差数列的三角形的性质

设乙ABC三边a、b、c成等差数列,则其边角间有如下关系:B一2 A一C1。COS—二乙 艺5 In2。a SinZ+c SiflZA2b万’C一2b一;.列一2 一一A一2。eoSZ琶+。 2COScos(居(告十“十A、._,_AI+万111—/ZC一2 n ;1 S J皿 ; nU 一一、、于/..COSc坛鲁,c馆枷等差数A一勺1 g 工L﹄ C . 一匀列,6·‘g音‘g号=晋;7 .eosA斗一ZeosB+eos叮二2;卫5eosA+eosCl+C08ACOSC 9.当B=6:J“时,a二b二c. 证明留给读者,仅举一例说明其应用。 例.Rt_ABC三边a、b、c成等差数列,内切圆和列接圆半径分别为,和R,则2:,a,b,ZR成等差数列. :二禹;:阵n。___…     

一个关于三角形边长的不等式链

<正>命题在△ABC中,a、b、c分别为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥4-2r()Rabc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.由于a、b、c是三角形的三边长,所以有a+b>c,即a+b-c>0,同理有b+c-a>0,c+a-b     

一个关于三角形边长的不等式链

<正>近日,笔者发现了一个关于三角形边长的不等式链,现介绍如下.命题在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥(4-2r/R)abc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.     

边长为整数的正方形剖分成整边直角三角形最少个数问题

文[1]指出:(边长为整数的)正方形剖分成整边直角三角形最少个数5能否再小,人们尚不得知。其实,正方形剖分成整边直角三角形最少个数只能是5,不能再有更少个数的剖分。     

有一角为120°的整数边三角形

近来很多省市的高中、中专招生考试数学试题都涉及边长为3、5、7的三角形,因为这样的三角形有一个内角恰好等于120°,由此想到一个问题: 除去边长为3、5、7的情形而外,是否存在其他形状的三角形,它们的边长也都是整数,并且有一内角恰好等于120°呢? 本文目的就是解答这个问题,我们将证明下面的一般结论: 定理 设     

关于三角形内接正三角形的最小边长

命题 设△ABC的外接圆半径为R,正