走出排列组合的“雷区”(高三)

解排列组合题容易出错,对于这类问题我们一定要仔细考虑,否则就撞进了排列组合中的“雷区”.那么排列组合中都有哪些“雷区”?如何走出这些“雷区”呢? 雷区1 排列组合题目的非排列组合解法. 某些排列组合问题(如付款问题、数字和问题、数字积问题等)虽然表面看都是从几个元素中取出若干个元素,属于排列组合问题.但因结果中重复太多且无规律,因而不易用排列组合的方     

构造法证组合恒等式

组合恒等式的证明是教学中的一个难点。有关书刊上一般都介绍了利用组合数公式、组合数性质、数学归纳法、二项式定理等很多证法。本文将探讨一种新的证明方法,即构造法证明组合恒等式。一、构造法证明思想的缘起让我们先看两个简单的组合问题例1、从n个不同元素中取出m个元素并成一组,有多少不同的方法? 解法一、设取法有N种。由组合数定义,得N=c_n~m 解法二、先从n个不同元素中选定n-m个,然后再将其余的m个元素取出,则N=c_n~(n-m) 解法三、设这n个不同元素为α_1、α_2、…α_m。从中取出m个元素有如下两类办法:即取出的m个元素中含有α_1或不含α_2两类。若含有α_1,则应从其余的n-1个元素中再取出m-1个元素,有c_(n-1)~(m-1)种方法;若不含α_1,则应从其余的n-1个元素中取出m个元素,有c_(n-1)~m种方法。由加法原理,得N=c_(n-1)~(m-1)+c_(n-1)~m。     

第十章 排列、组合和二项式定理

10.2排列教材细解1.排列的定义从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.     

活用特殊元素、特殊位置法解题

本文着重讨论在解排列组合问题时,如何把握特殊元素、特殊位置,准确、简捷地解决问题. 求排列数Amn可以按依次填m个空位来考虑:假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素a1,a2,…,an中任意取m个去填空,一个空位填1个元素,每一种填法对应一个排列,所有不同填法的种数就是排列数.     

组合数恒等式若干解题思路

组合数恒等式是初等数学中的一个重要课题。这类命题的特点是:结构比较复杂,解法灵活多变,初学者不易掌握。本文试通过若干实例,总结常用的解题思路。 1.恰当选择数学横型有些命题与组合的意义密切相关,待证等式的两边,可以看作同一组合问题用不同方法计算组合数的结果。对于这类命题,可以从选择数学模型人手。联系组合的定义,联系加法原理和乘法原理,用说理的方法来证明。例1 试证: C_r~oC_n~m+C_r~1C_n~(m-1)+C_r~2C_n~(m-2)+……+C_r~(m-1)C_n~1+C_r~mC_n~o=C_(n+r)~m。证明设有n+r个不同的元素,我们用两种方法计算每次取出m个元素的组合数:     

公式K·C_n~k=n·C_(n-1)~(k-1)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但是把它和准确、形象、生动的实例联系在一起,困难便消失了。组合数的两个性质就是这样。C_n~m=C_n~(n-m)表示从n个元素里挑m个元素出来和挑n-m个元素留下是一回事。公式C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)表示从n个元素中挑m个元素可以分两种情况。不挑元素A的有C_(n-1)~m种,一定挑元素A的有C_(n-1)~(m-1)种。“无A”、“有A”是这个公式的“题眼”,抓住“题眼”,问题就迎刃而解了。 C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了     

排列、组合、二项式定理中的竞赛问题解析

排列、组合、二项式定理在近几年的各类竞赛中时常涉及.下面就这两方面的内容在竞赛中经常涉及到的知识点加以剖析,希望能在竞赛中对这方面的知识有所熟悉.一、排列组合赛点直击1.可重排列在m个不同的元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、     

让高中数学融入生活——刍议生活中的排列组合

排列组合的运用在教学中越来越重要,众多教师也加大了对它的重视.那么,数学中的排列组合究竟是怎么回事,它又是怎样和生活联系在一起的呢?笔者将一一讲解.一、数学中的排列组合排列的概念是从N个不同元素中,任取M(M≤N)个元素,按一定顺序排成一列,叫从N个不同元素中取出M个元素的一个排列.     

例谈可重复组合模型的简单应用

<中学数学月刊>2003年第10期<可重复组合总数>一文给出了公式:(RC)mn=Cmn m-1.其中(RC)mn表示:从n个不同元素中不管顺序可重复地取出m个元素,不同结果的总数.笔者觉得可重复组合数公式特别是其数学模型对学生解决某些数学问题很有益处,本文举例浅谈如下.     

数学问答?

14.证明:(C0n)2 (C1n)2 (C2n)2 … (Cnn)2=C2nn.(ji m15363@sina.com)证明:C2nn可以看成是从2n个不同元素中选出n个元素的组合数,而若将这2n个不同元素分为各有n个元素的A、B两个?集合,则从A∪B中任取n个元素的组合可分为以下情况:(1)从A中取0个,从B中取n个,有C0n·Cnn种取法;     

重复组合浅论

从m个不同的元素中,每次取出n个元素,(每个元素都可以重复取出)不管怎样的顺序并成一组,叫做n元重复组合。这里n可以大于m。 n元重复组合的总个数用H_m~n来表示,并且我们有下式成立 H_m~n=C_(m n-1)~n (1) 例如从a、b、c三个不同的字母,能构成多少个不同的2次单项式?(其中每个字母都可以重复使用)这样的2次单项式,都是2元重复组合,共计有 H_3~2=C_4~2=6(个)把它们都写出来就是: a~2、ab、ac、b~2、bc、c~2。本文拟对(1)式给出几种证法,以便相互比较,开阔思路。证明1,我们不妨仅就从3个不同的元素a_1,a_2,a_3中,每次取出5个元素,能组成多少个5元重复组合,     

高中排列组合的几种类型

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科,简单的说是研究“数”与“形”的学科。排列组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,有序与无序摆放的各种可能性”。区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”。有些排列组合问题,看起来差不多,仅仅是几个字之差,但实际上的意思却完全不同。如果不认真分析,很容易搞错。如果在教学中要把这些问题进行归纳总结,有目的地加以辨析,定能起到良好的效果。1正确区分元素和位置例1:(1)8个学生坐3把椅子,共有几种坐法?(2)8把椅子由3个学生坐,共有几种坐法?(3)8把椅子由3个学生坐而且…     

构造不定方程解排列问题

1985年全国高中联赛有一道求不定方程整数解的竞赛题,原题如下: 方程2x_1+x_2+x_3+…+x_(10)=3共有多少组不同的非负整数解? 此题难度不大,但其一般化以后的结论却是很有意思的,下面先证明两个关于不定方程整数解的命题。命题1 不定方程 x_1+x_2+…+x_m=n (n≥m)共有C_(n-1)~(m-1)=1组不同的正整数解。 (证明请参看苏淳编写的“同中学生谈排列组合”一书。) 命题2 不定方程 x_1+x_2+…+x_m=n(n≥0)共有C_(n+m-1)~(m-1)组不同的非负整数解。     

运用“隔板法”巧解题

在解有关排列组合问题时,常会用到"隔板法"."隔板法"就是在n个元素间的(n-1)个空中插入个m个板,把n个元素分成(m+1)组的方法.应用"隔板法"解题,必须至少满足两个基本条件:(1)这n个元素必须相同(即:元素相同)(2)所分成的每一组中至少有一个元素(即:至少一个)"隔板法"常用于相同元素的分配问题,常见的有投球进盒、名额或指标的分配、不定方程的整数解问题例1有5个一样的球,分给3个人,每人至少分1个,则有几种不同的分法呢?解析可以想象成5个球排成一排,中间有4个空,我们把四个空分别记为1,2,3,4,则从4个数字里取两个数字,     

例谈可重复组合模型的应用

所谓重复组合,是指元素允许重复使用的组合．一般地从n个不同元素中取出m个元素的重复组合数通常用Hn^m表示．其相应的数学模型是：把m只相同颜色的球放到n个编号不同的盒子中,而且每个盒子放球数不加限制,其放法总数为Gn m-1^m     

可重复的排列组合(高二、高三)

1.定义(1)可重复的排列①允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在m个不同的元素里,取出n个元素(可重复),按照一定的顺序摆成一排,那么第一,第二,…,第n位上各选取元素的方法都是m个,故从m个不同的元素里取出n个元素的可重复的排列数为     

用数学组合知识解答一个物理问题

对于“一群处于n=3的激发态的氢原子,当它们自发地向低能级跃迁时,最多能辐射出多少条光谱线?”常见的解法是划线,然后从n=2的能级逐一向下划线……,最后数出线的条数即为其辐射光谱线条数,得n=3时最多能辐射3条光谱线。采用划线法虽然直观,但当n值较大时问题变得比较烦琐。而在学习能级跃迁知识的同时学生刚好学了排列组合的数学知识。我们就可采用组合法进行计算。组合的定义是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。而因为从一个能级跃迁到另一个低能级时就会辐射出一条光谱线,即从n个…     

组合恒等式的几种证明方法

<正>对于组合恒等式的证明无固定的方法,使得人们常感到无从下手,下面介绍证明组合恒等式的几种方法,供读者参考。一、构造组合模型例1求证:(C_n⁰)0)²+(C_n2+(C_n¹)1)²+…+(C_n2+…+(C_nⁿ)n)²=C_(2n)2=C_(2n)ⁿ。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)n。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)ⁿ。选法二:从A中取0个元素,从B中取n     

可重复组合总数

从 n种不同的元素中取 m个元素 ,共有多少个不同的结果 ,这是我们经常遇到的问题 .“排列与组合”专门讨论过这个问题 .本文限于篇幅 ,不结合具体实际例子 ,而只进行符号化的讨论 .1　n=4 ,m=3的情况先讨论 n=4 ,m=3的具体情况 ,即从A,B,C,D四种不同的字母中 ,取 3个字母 ,共有多少个不同的结果 .其实 ,这个问题的提法过于笼统 ,还应明确 :“管不管顺序”与“可不可重复”.因此对 n= 4 ,m=3,实际上有四种情况 :(1)管顺序 ,可重复 ;(2 )管顺序 ,不可重复 ;(3)不管顺序 ,不可重复 ;(4)不管顺序 ,可重复 .我们干脆将它们的结果全部排出来 ,为…     

关于一类组合问题的计算初探

定义1 从n个各不相同的元素里,每次取出m个(其中1≤m≤n)全是不相同的元素来进行组合,称这类组合为相异元素不许重复的组合,记作(~n_m 。