从均值不等式等号成立的条件寻找解题突破口

1．均值不等式 均值不等式a＋b≥2√ab（a、b〉0）指出：若两正数和为定值，那么当且仅当两正数相等时，乘积取最大值．换言之，若两正数和为定值，当两正数之差为零时，它们的乘积最大．由此得到，若把一个正整数拆分成两个正整数之和，那么这两个整数之差越小（大的减小的），它们的乘积越大．如x、y是非负整数，z＋y=c，x—y=d（x≥y）,xy=c＋d/2·c-d/2=1/4（c^2-d^2）.     

倒数关系的应用

若两个数的乘积是1，我们称这两个数互为倒数．当题目中出现了倒数关系时，我们可利用倒数关系的特性来解决．下面举例说明．     

基本不等式与解析几何知识的衔接

基本不等式（√a^2＋b^2）/2≥（a＋b）/2≥√ab（当且仅当a=b时,等号成立）的应用要注意两个问题：（1）“一正二定三等”．一正,即a,b两个数为正数;二定,即两个正数的乘积为定值;三等,即等号成立的等价条件是“a=b”．（2）规律是：积定和最小,和定积最大．本文谈谈基本不等式在解析几何中的运用．     

函数最值问题的换位思考

所谓换位思考,简而言之就是换一个角度思考问题,譬如“反证法”就是常见的换位思考.换位思考是一种辩证的思维策略,指导学生从换位思考的辩证高度来认识某些解题方法,有利于深入理解方法的本质,促进思维的灵活性和自觉性的发展,有利于实施素质教育、提高数学素养.下面以一道习题为例,说说在求函数最值问题中如何进行换位思考. 例 求函数221(0)xnynxn => 的最小值. 分析 当01n时,怎么办?下面进行换位思考. 1函数与不等式之间的换位思考 方法(1)2221nnyxnxnxn-= - 112…     

例说“特殊化”解题方法

大家都知道，数学题千变万化，解题时需要讲究解题方法．当遇到一些问题难以入手时，我们可以退一步思考，考虑它的特殊性，如特殊数、特殊式、特殊点、特殊图形、特殊位置等，将问题特殊化，从而得到一般结论．     

某些整数距离图的染色

整数距离图是这样一类图G(Z，D)，其中，V(G)=Z，两点u，v之间存在一条边，当且仅当|u-v|∈D，这里D是由自然数组成的一个集合．利用组合数学中的一个相关定理和距离图染色中我们已知的一些结论，通过几种周期染色组合的方法，本确定了|D|=4且D中包含{2，3}和|D|=5且包含{2，3，5}时某些距离图G(Z，D)的点色数x(D)．     

均值不等式中等号的合理运用

在《不等式》一章中，均值不等式是一项重要内容，也是高考的热点，教材中明确指出，如果a、b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取等号），但是同学们在做题过程中往往理解不够而误用，就此问题，笔者略举几例：     

矩阵体积的一个基本性质

矩阵体积是矩阵行列式绝对值的推广,也是向量长度的推广．在理解矩阵体积定义的基础上探讨两个矩阵乘积的体积与两个矩阵体积的乘积的大小关系,得出当两个矩阵乘积的秩与其中一个矩阵的秩t相等时,且另一个矩阵体积的平方大于或等于它的所有t阶予式的平方和,则两个矩阵乘积的体积小于或等于两个矩阵体积的乘积．     

一个不等式的简捷证明

文【l]给出了一对非常优美的姐妹不等式:设a，b，:是正数，且a b十。=1，则有(六一)(六一。)(六一)妻(晋)’(‘，当且仅当。二。一告时取等号·(六 ·)(六·。)(六二)妻(誓)’(2)“且仅当。·。一告时取等号·本文仅给出了(l)的一个简捷证明.引理设a‘，b‘>0，i=1，2，3，则(a     

一题多变,思维发散——对均值不等式知识点的巩固与练习

<正>1.知识具备x2≥0→(a-b)2≥0→a2+b2-2ab≥0,即:(1)a2+b2≥2ab,注意乘积为定值,平方和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤a2+b22,注意平方和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b时取等号.若a、b∈R+,则有:(3)a+b≥2 ab%姨,乘积为定值,和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(4)ab≤(a+b2)2,和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b     

有趣的数字等式

有趣的数字等式下列各等式都成立吗？你能从中找出什么规律？答案：这些等式都成立。其规律是：只有当两数的十位数字的乘积等于两数个位数字的乘积时，等式才成立。（湖北大冶市教研室聂先枝）有趣的数字等式@聂先枝$湖北大冶市教研室...     

几何中求解最值问题的技巧

本针对大家熟知的命题“(1)N个正数之和一定仅当其彼此相等时积最大；(2)N个正数之积一定仅当其彼此相等时和最小”，巧妙利用简捷求解几何中的最值问题，借此提高同学们灵活运用知识的能力．下面举例说明．     

构造完全平方式解题

完全平方式是指形如a^2ab b^2数式，它的结构特征可概括为：首末两项“戴”平方，乘积2倍在中央．利用完全平方式的非负性，可以妙解许多问题．下面介绍几种构造完全平方式解题的方法。     

灵活运用组合数的性质求和

组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中，很多问题，有时百思不得其解．灵活运用组合数的性质：Cn 1^m=Cn^m Cn^m-1，却能化难为易，获得简捷明快的解法．下面由浅人深研究四个问题．     

巧用均值不等式妙解物理极值题

定理 如果ab∈R,那么a^2＋b^2≥2ab．（当且仅当a=b时取等号） 推论 如果ab∈R^＋,那么a＋b/2≥√ab．（当且仅当a=b时取等号） 上述内容在数学中称为“均值不等式定理”,是不等式中的一个重要结论．值得注意的是,在高中物理很多涉及到极值的问题中,都有令人惊奇的妙用．     

谈数形结合在中学数学中的应用

数学是数与形的统一，用数形结合的思想方法研究问题，就是注意教与形两个方面的结合．或者借助于数的精确性来阐明形的某种属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。这就是说．当我们把数形结合当做数学思想方法来应用时，教与形两者之中．一个为手段(方法)。另一个为目的。     

关于条件极值的两种初等证法

在中学课本里,我们已遇到这样两个条件极值定理,即定理1 若两个正变量x与y的和保持常数值2α不变.则当且仅当这两个变量的值相等时它们的乘积值最大。     

定和求积原理的推广

大家知道,两个正数的和一定,当且仅当这两个正数相等时它们的积最大。这就是定和求积原理。本文试图将其推广。为行文简便,本文中的字母,“数”都是正数。定理:两个数的和一定,当这两数的差的绝对值较小时这两数的积较大;当这两数的差的绝对值较大时这两数的积较小。     

祖孙的年龄

爷爷今年出孙儿大的岁数是个完全立方数．这两人岁数的乘积是个完全平方数。     

例谈物理解题思路

当两数之和为一常数时,若两数相等,其积最大．即为数学中的定和求积定理,它在求解某些“条件似少”的物理题中往往能起到“柳暗花明又一村”的效果．[第一段]