直觉,猜想与论证

本文要向读者提供一些解题分析中的思维经历,涉及到自然的直觉猜想和它那肯定性或否定性的结局.一、素数有无穷多的解题分析在公元前三世纪的《几何原本》中有这样一个命题:预先任意给定几个素数,则有比它们更多的素数.这是一个很重要的命题,它指出素数有无穷多.同时,这又是一个很重要的思想方法,人们称它为数学归纳法的早期例证.法国著名数学家阿达玛在其《数学领域中的发明心理学》一书中曾以此命题为例,说明数学中实际存在的直觉意义上的形象思维.阿达玛依次列出了这一定理的经典证明的各个步骤,同时又描述了这时在他头脑中所呈现的图象(…     

梅森素数——数学海洋中的璀璨明珠

素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数,如2、3、5、7、11等。2300年前,古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个,并提出少量素数可写成“2^p-1”的形式,这里的指数P也是一个素数。由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究,被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。     

寻找“孪生素数”

正素数是数学中一种有趣的数字,素数的定义是:对于大于2的正整数,如果除了1和它本身之外,不是任何其他数的倍数,那么该正整数就是一个素数。比如说,4不是素数,除了1和4以外,它还是2的倍数;而5则是一个素数,不能被1和5之外的其他数整除。寻找素数早在古希腊,就有了素数的概念,对素数也有了一定的研究。古希腊著名数学家欧几里得认为,如果从乘法运算的角度来看自然数,那么素数就是自然数的最小组成单元。他们不能被分解成更小的数的乘积,而所有的自然数却都可以分解成素数的乘积。面对素数,人们首先想到的问题是:作为自然数的     

无处不在的素数

大家都知道素数是一种比较特殊的数,它并不只出现在数学专业的研究中,随着素数越来越多地被人们所熟知,其它许多领域的人士也不断发现素数的普遍存在.可以毫不夸张地说,不管是在自然界,还是在人类社会,你都可以轻易找到素数的足迹和印记.     

奇妙的数

微积分的基础是实数论 ,实数的基础是有理数 ,有理数的基础是自然数 .要真正理解现代数学必须回到自然数 .所有的数学命题最终应归结为关于自然数的命题 .这是现代数学基础研究的成果之一 .克罗内克说 :“上帝创造了自然数 ,其余的都是人的工作 .”这是说 ,自然数为稳固的数学结构提供了基础 ,数学的一切研究从此开始 .很早以前 ,人们就思索正整数的分解 ,看一个正整数是几个正整数的乘积 ,也就是一个正整数能被哪些正整数整除的问题 .除了 1和它自己而外的任何正整数都不能整除它时 ,称它为素数或质数 .例如 ,2是最小的素数 ,也是惟一的偶…     

笑话公式

2004年6月1日《新科学家》杂志网站报道,美国数学爱好者约翰·芬德力近日发现了已知最大的素数.这个素数约有700万位,可写成2的24036583次方减1(你能估算一下为什么约有700万位吗?).这是人类发现的第41个梅森素数.素数也叫质数,是只能被自己和1整除的正整数.如2,3,5,7,11等(1既不是质数也不是合数).2500年前,希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的,并提出少量素数可写成“2的n次方减1”的形式,这里n也是一个素数.此后许多数学家曾对这种素数进行研究,17世纪的法国传教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的…     

美丽的素数 伟大的证明

公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得证明,素数(也叫质数)的数目是无穷的.2004年,英国剑桥大学数学教授格林(Ben Green)和澳大利亚华裔数学家陶哲轩证明:存在任意长度的素数等差数列.他们的发现揭示了素数中存在的某种规律.     

德发现迄今最大素数

设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织2005年2月28日正式公布,德国一名数学爱好者近日发现了迄今最大的素数.这个素数有780多万位,可写成2的25964951次方减1.这个新发现的素数是梅森素数家族的第42位成员,也是目前已知最大的素数.     

美国一位数学爱好者发现已知最大素数

美国一位数学爱好者近日发现了已知最大的素数 .这个素数共有 7百万位 ,可写成 2 2 4 0 36 583-1 .这是人类发现的第 41个梅森素数 .据《新科学家》杂志网站 2 0 0 4年 6月 1日报道 ,这位名叫约翰·芬德力的数学爱好者 5年前用自己的家用台式电脑加入了“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)活动 ,他也是用这台普通的台式机偶然间发现这个素数的 .在 5月 3 0日正式向外界公布这一消息之前 ,他还花费了两周的时间进行验证 .而另外两位身在法国和加拿大的“因特网梅森素数大搜索”活动的志愿者也证实了芬德力的发现 .而就在半年前 ,美国的一位学…     

美丽的素数 伟大的证明

公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得证明,素数(也叫质数)的数目是无穷的.2004年,英国剑桥大学数学教授格林(Ben Green)和澳大利亚华裔数学家陶哲轩证明:存在任意长度的素数等差数列.他们的发现揭示了素数中存在的某种规律.     

麦森素数与完全数

麦森素数 在寻找素数表达式的漫长历程中,麦森素数堪称又一重要数类. 麦森(Mersenne,M.),法国业余数学家,原是一位神父,但他酷爱数学,因而数学成了他的第一业余爱好,他的著名发现是由研究素数表达式而引起的。 1644年(即在他逝世前四年),他向世人     

费尔马素数与尺规作图

在前文中,我们谈到了素数表达式的寻找,这项工作必然会为数学大师们关注,与之相联的问题也就油然而生,其中不乏耐人寻味的杰作,比如:费尔马素数、麦森素数等等. 费尔马(Fermat,P.de)是16世纪法国业余数学家,他虽然一生经商,然而却与数学有着不解之缘.     

梅森素数的诱惑

一个大于1的自然数,只能被1和它本身整除,不能被其他自然数整除,这样的自然数叫做素数(有的书上也叫质数).2,3,5,7,11,13,17,19,都是素数,其他自然数,1除外,叫做合数.     

你会举反例吗?

先给大家讲个数学史上的真实故事.故事发生在18世纪初,当时年仅22岁的欧拉有一天收到了当时的大数学家歌德巴赫的一封信,信中提到了17世纪数学家费尔马的素数公式.大家都知道,素数是只能被1和这个数本身整除的数,由于素数的特性非常特殊,而且在数学领域中有极其广泛的应用,所以     

稀世珍奇的梅森素数

2009年4月,挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目,发现了第47个梅森素数,该素数为2^4264380-1,即“2的42643801次方减1”。它有12837064位数,如果用普通字号将这个巨数连续写下来,它的长度超过50千米!专家们认为,这一重大发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。     

素数的稳定性及四生素数的应用研究

素数与合数,表面上看好像没什么关系,实际上却隐含着内在的联系.由素数的隐含特征,可以引发出不少有关数论方面一些问题的新认识和新结论.本文就是根据素数的隐含特征,对四生素数的特征和分布状况作些初步探讨,讨论了四生素数(四胞胎素数)在国计民生和科学生产中的应用.这是一个新辟的科研题目,有些特征尚隐含未露,有待数学爱好者的挖掘创新,本文就算是抛砖引玉吧.     

古德巴赫问题简介

我国数学家陈景润1973年在《中国科学》杂志第2期上发表了一篇题为“大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”(简称“1+2”)的论文,对二百多年来悬而未决的古德巴赫问题的论证大大地向前推进了一步,取得了世界领先地位,得到国内外数学界高度的评价,被国外称为陈氏定理.什么是古德巴赫问题呢?在数学学科中有一个分支叫做数论,它是专门研究整数的各种性质的基础理论学科.数论同数学多个分科有密切联系,有一些学科是从数论问题的研究中产生的.不少数论问题尽管看起来似乎很浅易,然而要解决却十分困难.古德巴赫问题就是数论中这样一个古老而著名的难题,对它的研究促进了一些数学方法和数学分支的形成和发展.根据数学史的记载,古德巴赫问题是1742年德国数学家古德巴赫在同尤拉通信中提出来的.古德巴赫在信中写道:“我有这样一个问题,随便取一个奇数,比如77,它可以分解为77=53+17+7,其中三个相加项都是素数.又如461,它可以表示为461=449+7+5,三项也都是素数.这个数也可以另外分解为461=257+199+5,等等.现在我认为十分明显的是,所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和.但是怎样证明这一点呢?”尤拉     

神奇的完全数

很早以前 ,人们就思索正整数的分解 ,看一个正整数是几个正整数的乘积 ,也就是一个正整数能被哪些正整数整除的问题 .除了 1和它自己而外的任何正整数都不能整除它时 ,称它为素数或质数 .例如 ,2是最小的素数 ,也是惟一的偶素数 ,在奇数当中 ,最小的素数是 3 ,此外 ,5 ,7,1 1 ,     

质数的一条性质及其应用

只有 1和它本身两个约数的自然数叫做质数(也叫素数 ) .由此定义不难得到质数的一条性质 :若P是质数 ,m、n均是正整数 (m相似文献   

数数列列三三问问

素数(又称质数)是一个大于 1 的自然数,除了 1 和 它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做素数,换句话说,只 有两个正因数(1 和本身)的自然数即为素数。数列(sequence of number),是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函 数,是一列有序的数。素数列在数论的研究中是很重要的,并 且也是十分有趣的。