例谈以向量为背景的立体几何——对2005年高考立体几何综合题的分析

向量融“数”、“形”于一体，是沟通代数与几何的天然桥梁．用向量方法解决立体几何问题，可使立体几何问题代数化，降低难度．立体几何中关于空间角、空间距离及空间平行和垂直问题是高考考查的重点和热点，本文通过对2005年高考立体几何综合题的分类分析，例谈向量方法在解立体几何综合题中的应用．     

数形结合法求解与函数相关的问题

数学是研究数量关系与现实世界的空间形式的自然科学．简单地说，就是“数”与“形”数与形是数学研究中的两个不同的侧面，它们有机地结合在一起即为图形．由于图形是“数”与“形”不可分的统一体，因而通过图形，我们既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”互化的思想方法，即为数形结合法．     

构造棱柱,妙解棱锥

补形解题是解决立体几何问题的一种重要的思想方法，通过补形，不仅可以弄清问题的本来面目，优化解题过程，还可以培养学生的空间想象能力、构造能力和创新精神．本文介绍将几种特殊的三棱锥补成棱柱的解题方法．     

利用空间向量求角和距离

角和距离的计算，是立体几何中研究的重要问题。传统的“形到形”综合推理方法是找到角和距离。通过解三角形求得．但需要对图形进行平移和投影等转化，且不同的问题需要不同的技巧。学生感到非常困难．如果我们引人空间向量这一代数工具。即“形到数”。将空间元素问的位置关系转化为数量关系，将逻辑证明转化为数值计算。降低了思维难度。增加了可操作性。很多困难的空间计算问题就有了统一的方法和求解．     

基于状态空间的一般粘性阻尼系统响应分析

本文对一般粘性阻尼系统的响应进行了分析，指出了在位形空间下不能应用振型叠加法对该系统进行响应分析，需进行空间转换，借助状态空间来完成响应分析，并给出了在状态空间下对系统响应的分析方法．     

数形结合的几条途径

数形结合是中学数学中的一种重要的思想方法．“数”是指数量关系，“形”是指空间形式．数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察．或者把几何图形转化为数量关系问题，运用代数、三角知识进行讨论；或者把数量关系转化为图形性质问题，借助几何知识加以解决．著名数学家华罗庚对数形结合思想给予高度评价，指出“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休，[第一段]     

纯量曲率Finsler空间的共形映射

在M．Hashiguchi研究Finsler空间的共形映射基础上探讨两上纯量曲率Finsler空间这间的共形映射,获得了几个判定纯量曲率Finsler空间与纯量曲率Finsler空间共形映射的新的充要条件。     

数形结合思想在高中物理解题中的应用

数学是研究空间形式和数量关系的科学，客观存在的数与形这两个概念是密切联系的，是对立统一的关系．数与形互相依赖，互相制约，互相补充，互相印证，又可以互相转化，不可分割地连在一起。     

数形结合思想在解题中的运用举隅

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学．数形结合是中学数学的重要思想方法，数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”运用数形结合的思想方法解题，既可体现数量与空间图形的辩证统一关系，又快捷简便，直观易懂．[第一段]     

立方体表面展开图规律的探索

一、教学背景 “3．2直棱柱的表面展开图”是浙教版八年级上册第三章第二节的学习内容．由于学生是第一次接触空间立体图形与平面图形的相互转化，所以在教学中应该强调从学生已有的生活经验出发，并为学生提供足够的操作与交流的空间．     

注重基础知识 发挥工具作用

平面向量作为高中数学的基本内容之一，兼有代数与几何两种形式，是集“数”与“形”于一身的数学概念，正因为平面向量的这一特性，使得高考试题的命题背景更加丰富，命题空间更加宽广，尤其是拓宽了三角与解析几何的命题空间．不仅题型在变化，而且解决问题的方法也在不断创新．平面向量与其他内容的穿插、渗透、融合，使高考试题既有着熟悉亲切之感，又不乏清新亮丽之处．下面结合2008年的高考试题谈谈平面向量的命题规律、试题特点及对今后教学和复习的启示．     

关于二次系统的规范形

通过具体实例说明二次系统的规范形的表示不是惟一的，它依赖于补空间中基底的选取．     

动在圆中 思在其中

随着课程改革的进一步实施，近年来，中考试题中出现了不少和圆有关的动态问题．这些试题集数、形于一体，有较强的思考性、综合性和挑战性，且题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力和综合分析能力，是近几年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用．现将2006年各地中考中与此有关的问题加以归类，供赏析．     

圆的切线和切点弦方程

数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，其研究的对象是数与形．通常数中隐含着形的关系，形中又展示着数的信息．引导学生多方位地观察问题，通过联想促成数与形的相互转化，揭示出被掩盖着的数形关系，可以帮助学生理解问题的本质，达到培养学生思维灵活性的目的．关于“圆的切线和切点弦方程”的教学，我已经尝试过多次，但是每次教学后自己总感觉不够满意．最近，我通过“向量的数量积’解决这个问题，进行了一次教学探究，从数形关系的本质入手，终于感觉“爽”了一把．下面是这节课设计的一组问题链．     

数形结合的三个层面

对客观世界的数量关系与空间形式分别研究的结果，形成了代数与几何，但是在解中考题时，我们常常要把数与形结合起来，才能事半功倍．具体应用分成三个层面．     

实反对称矩阵的标准形

本文给出了n阶实反对称矩阵的标准形，并利用矩阵方法给出了证明，避开了反对称变换和不变子空间的概念．     

巧用向量 化难为易

向量作为沟通“数”与“形”的桥梁,是利用数形结合解题的一种重要载体,掌握了向量运算的各种几何意义．能有效解决实际问题．在高考中。涉及空间向量的立体几何试题,着重考查应用空间向量的意识和应用空间向量证明有关平行、垂直关系及求角、距离等问题。     

数形结合的三条途径

数形结合是中学数学中的一种重要的思想方法．“数”是指数量关系．“形”是指空间形式．数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中．注意把数和形结合起来考察．或把几何图形转化为数龟关系问题．运用代数、三角知识进行讨论；或把数量关系转化为图形性质问题．借助几何知识加以解决．名数学家华罗庚对数形结合思想给予高度评价，指出“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？     

相似体

我们已经学习了相似形，现在把相似形的知识拓展到空间并加以应用． 两个形状相同的平面图形叫做相似形；两个形状相同的几何体叫做相似体．     

补形为算理带来方便

有些几何体在原来“狭窄”或“不规则”空间里若难以解决相关的问题——如求其体积、夹角、距离等，则不妨补形．补形要抓住基本图形的特征，通过联想把它扩大为一个相对更大的有规则的几何体(一般指正方体、长方体、三棱柱或平行六面体等)。