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在许多高等代数教材中,通常介绍的施密特(Schmidt)方法,使我们可以从欧氏空间 R~n 的任意一个基出发,求出一个正交基来,再单位化,求出一个标准正交基。本文给出一种运用矩阵初等变换,从欧氏空间 R~n 的任意一个基求标准正交基的方法,比较直接简单。设 a_i=(a_(1i),a_(2i),…,a_(ni)),i=1,2,…,n 是 R~n 任意一个基,以 a′为列向量构成矩阵 A=(a_(ii)),则 A′A 是一个 n 阶正定矩阵,必与单位矩阵 E 合同,即存在 n 阶可逆矩阵 Q,使得Q′(A′A)Q=E(1)即(Q′A′)(AQ)=E(2)(1)式说明,对矩阵 A′A 施行一系列的列初等变换(相应的初等矩阵的乘积为 Q)及一系列的行初等变换(相应的 相似文献
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给出了n维线性空间V中基向量组的标准正交化过程的新方法,这种方法仅仅采用列的初等变换的方法,该方法思路简洁,算法简单,计算机编程设计简单有效. 相似文献
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设 a_1,a_2,…,a_n 是 n 维欧氏空间 V 的一组基,利用正交化方法可以得到 V 的一组正交基,进而求出 V的一组标准正交基。对于这一方法,不少教科书中都给出较为详尽的证明。本文借助二次型理论中的初等变换,给出一种较为直观、方便的计算方法,这种方法的依据如下: 相似文献
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定义:设V是n维欧氏空间,α;,…,αn是V中的向量组,β1,…,βn也是V中的向量组,我们规定: 用此定义对于解决欧氏空间中某些问题来得简单,直观易懂,特别牵涉到Gram矩阵问题的解决更为简单,请看下列各例: 例In维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵。 证明:设ε1…εn和η1…ηn是V的两组标准正交基,且A是ε1…εn到η1…ηn的过渡矩阵,那么有 亦即是 E= A’E A= A’A所以 A是正交矩阵(证毕) 例2.n维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V的任意标准正交基的矩… 相似文献
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对于二阶椭圆边值问题,Wilson元具有能量正交形函数空间.文中指出在标准基函数下,单元的刚度矩阵为对角块:K=Krc+Kh,其中Krc只和形函数空间的协调部分有关,Kh由非协调部分决定.如果基函数换为和标准基等价的另一组通常的基函数,单元的刚度矩阵仍为对角块,此时Krc只和形函数空间的常应变有关,Kh由高阶模态决定.最后文章还列举了几个常见的具有能量正交形函数空间的矩形元例子. 相似文献
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本文首先给出非正交基下线性算子的外积表示,其次通过引入Gram矩阵给出线性算子在非正交基下矩阵表示和外积表示的系数矩阵之间的关系,再次讨论了非正交基下恒等算子的完备性关系,最后给出了几类线性算子的运算。 相似文献
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对Hrmite矩阵A,给出了一种比Schmidt正交化方法更简捷的方法,去求酉矩阵U,使U^H AU成对角矩阵。 相似文献
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在广义次对称矩阵定义的基础上,利用双线性函数这一工具,给出欧氏空间的广义次对称变换的概念,并利用它与广义次对称矩阵的关系.探讨了广义次对称变换的相关性质:线性性质和乘积和特征值.然后进一步给出相关的次正交和次正交补的概念,并研究次正交向量组的线性无关性、次正交向量组与次正交基的关系以及次正交补的存在性等性质.最后给出具体的例子加以说明. 相似文献
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标准正交基的一种简便求法 总被引:1,自引:0,他引:1
田元生 《湖南师范大学教育科学学报》2000,(Z1)
设a1,a2……,an是n维欧氏空间V的一组基,文[1]利用矩阵的合成变换求得V的一组标准正交基。这种方法比某些教科书介绍的方法简单易行。本文对此法进一步加以改进,使得计算量节约近一半。 设a1,a2,……,an是n维欧氏空间V的一组基,A是a1,a2,……,an的格兰姆矩阵,则A是正定对称矩阵,从而存在n阶可逆矩阵C,使C’AC=I, 令(η1,η2,……,ηn)=(a1,a2,……,an)C 则η1,η2,……,ηn就是V的一组标准正交基(见文[1]),文[1]求矩阵C是采用一般教科书介绍的合… 相似文献
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对Hermite矩阵A,给出了一种比Schmidt正交化方法更简捷的方法,去求酉矩阵U,使U~H AU成对角矩阵。 相似文献
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首先给出了欧氏空间的等积变换的定义.其次给出4个引理并利用这些引理给出了有限维欧氏空间的两个线性变换为等积变换的充要条件,其中一个充要条件反应了两个等积变换在规范正交基下的矩阵关系,另一个充要条件反应了两个等积变换之间的关系.最后给出了无限维欧氏空间为等积变换的一个充要条件及等积变换的一个性质. 相似文献