三角形面积比的另一个定理

本文介绍三角形面积比的另一个定理,作为贵刊1989年第4期《一个有趣的三角形面积比定理》的续篇,从中可以看到用复数法证几何题的威力.     

三角形面积比的一个定理及其推论

1问题的发现 题目已知P,Q为△ABC所在平面上的两点,且满足→AP=7/20→AB＋1/3→AC,     

三角形面积比的一个定理及应用

定理 在△ABC三边BC、CA、AB所在的有向直线上各取分点A＇、B＇、C＇。 此定理所包含的图象关系非常丰富,下面的图1、2、3、4、5列出了其中的几种情形。     

三角形面积比一个定理的浅显证明

贵刊文 [1 ]中给出了定理 1　在△ABC中 ,AD、BE相交于F ,若 AEEC=m ,CDDB=n ,则 S△ABFS△ABC=mmn +m +1 。此定理应用较广泛 ,但在证明过程中应用了中学教材中未介绍的梅涅劳斯定理 ,不适合向广大中学生讲授。本文给出一个易被中学生接受的浅显证明 ,并说明其在证明文 [2 ]定理中的应用 ,供参考。 (文 [1 ]中的证明请见文 [1 ],这里略。)证明　如图 1 ,作EH∥BC交AD于点H ,则EHCD =AEAC=AEAE +EC ①BFFE=BDEH=BDDC·DCEH ②图 1∴ BFFE =1n ·1 +mm =1 +mmn ,∴S△ABF ∶S△ABE =1 +m1 +m +mn。又∵S△ABE…     

关于三角形面积比的一个定理及应用

定理　如右图 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ、ＢＥ相交于Ｆ。若 ＡＥＥＣ =ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则 Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＢＣ=ｍｍｎ ｍ 1 。证明　∵ ＡＥＥＣ=ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则由直线ＢＦＥ截△ＡＣＤ ,利用梅涅劳斯定理得ＡＥＥＣ·ＣＢＢＤ·ＤＦＦＡ=1 ,即ｍ1 ·ｎ 11 ·ＤＦＦＡ     

有趣的三角形面积定理及应用

有趣的三角形面积定理及应用陕西省武功县教育局教研室马希选三角形的面积问题，时常活跃在数学竞赛中，笔者就此类问题进行了一点初步探讨，整理得到了解决此类问题的一些有趣定理．供大家参考，不妥之处，请批评指正．一、关于三角形中的三角形定理１如图１，Ｄ为ＡＡＢ...     

三角形面积比定理的应用

我们知道,若一个三角形的一个角与另一个个三角形的一个角相等,则这两个三角形面积的比等于夹此角的两边乘积的比(特例:相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方)。应用这一定理,可使关于三角形面积的一类问题获得简捷证明,兹举例如下: 例1 如图1,S是等腰三角形ABC的腰AB上的任一点,R为腰AC延长线上任一点,M为RS的中点。过M作BC的平行线分别交AB、AC的延线于P、Q,若PM·MQ     

关于一个三角形面积比定理及其推广、应用

讨论了一个三角形面积比定理,并由此得到两个推广定理,阐明应用的简洁性。     

一个有趣的三角形定理的推广

美国数学家约翰逊在其名著[1]中,介绍了一个有趣的三角形定理,即 定理1 在△A1A2A3的三条边A1A2,A2A3,A3A1上各取一点B1,B2,B3,使得 A1B1:B1A2=A2B2:B2A3=A3B3:B3A1,则△B1B2B3与△A1A2A3有共同的重心.     

关于三角形面积的一个有趣结论

如图 1 ,P为△ABC内一点 ,AP、BP、CP分别交对边于D、E、F ,记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2 、S3、S4 、S5、S6 .则有1S1 1S3 1S5=1S2 1S4 1S6.证明 :因为S△PBDS△PDC=S△PABS△PAC,所以 ,S1S2=S5 S6 S3 S4.同理 ,S3S4=S1 S2S5 S6,S5S6=S3 S4 S1 S2.从而 ,S1S3 S1S4 =S2 S5 S2 S6 ,S3S5 S3S6 =S1S4 S2 S4 ,S1S5 S2 S5=S3S6 S4 S6 ,S1S3S5=S2 S4 S6 .①②③　① ② ③ ,得S1S3 S3S5 S1S5=S2 S4 S4 S6 S2 S6 .上式左边除以S1S3S5,右边除以S2 S4…     

三角形中一个有趣的面积问题

本文介绍一个关于三角形面积问题的结论,供读者参考． 结论：若P是△ABC内的一点,且xPA^→＋yPB^→＋zPC^→=0^→,（x,y,z∈R）则S△BPC：S△APC：S△APB=x：y：z,且S△BPC PA^→S＋△APC PB^→＋S△APB PC^→=0^→。     

浅谈三角形面积比定理及其应用

用面积法解决平面几何问题是一个重要的思想方法,陈重穆同志的一个面积定理及其应用》提出了用面积法处理平面几何教材比例相似部分的一种可能方式,本人深受启发,现给出另一个定理及其应用来加以完善。     

关于三角形面积最小值的一个定理

在许多参考书上均有这样一类题:求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值,及此时直线的方程。该题解法较多,主要有判别式法,基本不等式法。通过研究发现有下面一般性的结论:     

关于三角形面积比的定理及其应用

本文给出三角形与其内接三角形而积比的一个定理,并举例说明它的一些应用。 定理设D、E、F分别在△ABC的BC、推论2锐角△ABC,,(J三条高线分别文啥各边于D、E、F,则矛、AB边上,并且名召二‘1,入。,连接DE、万F、FD,妇① 502,:F S‘刁,。 于企论3D、E、F, S。,,:, S。刁,‘;=Zco“A·CO”B·eo、C③ △A刀C的内切圆分别切各边于则有 一一FBAF2(s一a)(s一b)(s一e) abc① +入·)(‘洛八1八S‘。。;_亏石品一(I一子一入证明如图一,连接CF,设+入,)(1+翻丝EA则51=S‘;。z,,52=S‘。,。,s。=S‘,;。于是有501,:r=S‘刁:e一(S;+…     

三角形面积比的第三个定理

本刊1989年第4期和1991年第6期相继介绍了三角形面积比的两条定理,本文再补充一个: 定理点D,E,F分别在△ABC的边BC,CA,AB上,且BD:DC=m,CE:EA     

一个奇巧的三角形面积的比

题在△ABC中,E、F分别是AC、AB上的两点,BE与CF 相交于点G.     

三角形剖分的面积比定理及应用

木文将给出关于三角形剖分的一个面积比定理,并举例说明定理在解题中的作用.     

三角形面积比的一个定理简证及其在空间中的拓广

定理 已知P,Q为△ABC所在平面上的两点,且满足AP^→=λ1AB^→＋μ1AC^→,AQ^→=λ2AB^→＋μ2AC^→,则S△ABP/△ABQ=｜μ1/μ2｜,参见文[1]．     

一个三角形线段比定理及其应用

本文介绍三角形线段比中的一个定理,利用它可方便简捷地处理三角形中一类较为复杂的线段比例问题,尤其在解竞赛题中应用广泛．