几种类型方程整数解的解法

普通方程是末知数的个数与方程个数相等,而在求整数解的问题中,方程的个数经常比未知数个数少1。在这种情况下,考虑整数解就要根据整数的条件及具体问题所给的具体条件,求出解答。关于不定方程的整数解,一般理论是很复杂,很难的。下面就对四种类型的方程的整数解问题作一些初步探讨。 例1,①试求满足xy=2x 3y-4的整数x,y的值组。     

构造模型巧解一类计数问题

求关于x1,x2…xn的方程,x1＋x2＋…＋xn＝m(m∈N)满足某些限制条件的整数解的个数,通常应用穷举法解,当。,。较大时,不仅繁琐,而且容易出现重复或遗漏错误.本文拟采用构造“投球”模型来处理这类计数间题,显得灵巧简便,很有启发性. 间题1求方程(·)非负整数解的个数. 解把间题转化为求将。个相同小球投放到。满足某些限制条件的整数解的个数,通常应用穷举法解,当。,。较大时,不仅繁琐,而且容易出现重复或遗漏错误.本文拟采用构造“投球”模型来处理这类计数间题,显得灵巧简便,很有启发性. 间题1求方程(·)非负整数解的个数. 解把间题转化为求将。个相同小球投放到。     

不定方程的解题技巧

未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程叫做不定方程。例1.求方程2x 4y=9的整数解。【分析】因为方程的左边含有约数2,是一个偶数,而方程的右边是一个奇数,方程中x与y不论取什么样的整数都不能使方程成立,所以这个方程没有整数解。解:因为方程的左边含有约数2,是一个偶数,而方程的右边是一个奇数,方程中x与y不论取什么样的整数都不能使方程成立,所以这个方程没有整数解。练习:1.求方程6x 8y=141的整数解。2.求方程14x-21y=48的整数解。例2.求方程3x 5y=62的整数解。【分析】比较x与y的系数,发现x的系数是3,而y的系数是5。如果把5y放在等…     

不定方程sum from i=1 to k(x_i=n)的非负整数解、正整数解的个数

本文用在集合间建立一一对应的方法、得出了求不定方程sum from i=1 to k(x_i)=n的非负整数解、正整数解的个数的公式.     

一道集合竞赛题的随想

1问题的引入 题目 记号｜X｜表示集合X所含元素的个数．设｜X｜=n（n∈N＋）,X的全部子集为{A1,A2,…,Am}（m=2^n）．已知如下的子集交集的元素个数之和.     

例说无理不定方程的整数解

无理不定方程是指未知数的个数多于方程个数的一类无理方程,它的解一般是不确定的,在实际问题中,往往需要求它的整数解,现举例说明。     

集合观点下的概率问题研究

<正>在一次实验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I,这n个结果就是集合I的n个元素,各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集,包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A。因此,从集合的角度看,事件A的概率是子集A的元素个数(记作card(A))与集合I的元素个数的比值,也就是P(A)=card(A)/card(I)=m/n。故事     

特殊多元方程的几种解法

一般说来,一个方程只能求一个未知数的值。要求n个(n≥2)未知数的值,就应解以这n个未知数为元的n个独立方程联立而成的方程组。如果方程的个数少于未知数的个数,就很难求出每个未知数的值。象这样的多元方程,我们把它叫做不定方程。不过,有些特殊的多元方程,尽管它的未知数个数比方程个数多,但在特定的数集内也能求出确定的解来。其解法,除求整数解的方法外,下面还介绍几种特殊解法。一、用定义域来解如果一个方程是函数解析式,且定义域内的元素为确定值,那么这确定值便是方程中相应未知数的值,以之代入原方程便可求出另一未知数的值。     

组合概念的方程模型

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，这是组合的原始概念．联系排列的概念推导出组合数的公式，这是分析、解决组合问题的逻辑起点．然而，数学概念本身是发展的、联系的，它具有生动的各个侧面和层次．我们可以把组合的概念理解为这样一个模型：设集合A含有n个元素，求集合A的含有m个元素的子集的个数．也可以理解为另一个模型：方程模型，本由组合的原始概念推导出方程模型，进而把方程模型作为逻辑起点，解决一些应用问题，作为组合概念的丰富和发展．下面先给出一个方程模型．     

求不定方程ax＋by=0特解的几个简便方法

我们研究二元一次不定方程ax＋by＝c（ab≠0，a，b，c都是整数）的特解，不失一般性，只讨论a，b都是正整数的情形.1辅助观察法若方程中的c满足条件c=aq bb'（q，b'为整数），则方程有一待解：作为上述情形的特例，当c=aq时，显然方程有一个待解x0=q，y0=0；当c=bb'时，方程有一特解x0=0，y0=b'上述方法有助于观察法求方程特解，我们称之为辅助视察法，现举例如下：例1求2《X-5勿一72一0的一个整数解.解原方程即为24X-5如一72，因24X3-56X0一72，故得方程一个整数解是X。一3，八一凡例2求3X＋sy一回306的一个特解.解因3X2＋5X260—1306…     

短论集锦

关于一道集合竞赛题的再议 文[1]从一道浙江省数学竞赛题的解答中,引出并推广至求Tk之一般公式．设X为n元集合,A1,A2,…,Am为x的全部子集,Tk定义为Tk=∑1≤i1〈i2〈…〈ik≤m｜Ai1∩Ai1∩…∩Aik｜,①其中,｜A｜表示集合A的元素个数．     

方程的整数解

所谓方程的整数解,是指所研究方程的个数少于未知数的个数,并且其解受到某种限制(如要求整数或正整数解)的一类方程(组)解的问题.本文主要介绍一次方程、二次或二次以上方程及分式方程的整数解的基本知识和基本初等解法.     

怎样求一个方程中的几个未知量

求方程中的未知量,通常是解与这些未知量有相同个数的方程(组),但也常常有求一个方程中的几个来知量的问题出现,这类问题,一般说来属于不定方程,有无穷多解,但在特殊条件下,它也可能只有有限解。这些特殊方程构思巧妙,既可考查学生的“双基”和掌握知识的深广度,又可培养学生思维的灵活性与创造性,本文介绍求这类特殊方程实数解的六种常用方法。一、利用非负数性质当若干个非负数之和为零时,每一个非负数必等     

一个求子集个数的计数公式

众所周知 ,对求有限集的子集个数问题 ,有以下结论和计数公式 :结论 1　设Ａ =ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ (其中ｎ∈Ｎ ) ,则集合Ａ的子集个数为 2 ｎ;非空子集个数为 2 ｎ-1 ;真子集个数为 2 ｎ-1 ;非空真子集个数为 2 ｎ-2 .面对求含有某几个指定元素的集合的子集个数问题 ,通常是以穷举法求解的 .但集合元素较多时 ,用穷举法求解易重复和遗漏 .解决这一类问题有没有统一的计算公式呢 ?本文得到以下结论和计数公式 :结论 2　设ｍ ,ｎ ∈Ｎ ,ｍ <ｎ ,Ｂ ={ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ} ,则(1 )满足条件 {ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｍ} Ａ Ｂ的集合Ａ的个数是 2 ｎ…     

例谈含有多个未知数的方程的解题思考方法

中学数学中求方程未知数。一般限于未知数个数与方程个数相同,但也常遇到一个方程中含有两个或两个以上的未知数,这属于不定方程的解法,一般有无穷多组解,但在有些特殊情况下只有有限组解,这些方程构思巧妙,探求其解法,可以培养学生思维的灵活性和创造性,本文谈谈常见的思考方法.     

集合新定义题型解析

近年高考题中,出现不少关于集合的新定义题,这类题目既能考查同学们的理解、迁移知识的能力,又能考查同学们的探究能力.下面举例说明集合定义新题型,供同学们学习时参考.一、求集合个数例1设A是整数集的一个非空子集.对于k∈A,如果k-1(?)A,且k+1(?)A,那么称k是A的一个"孤立元".给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含"孤立元"的集合共有____个.分析:本题是新定义题型,要准确理解新运算的含义,进行合理转化,运用已学的集合知识去解决.解:依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含"孤立元",则这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.     

用插空法求一次同系数不定方程的非负整数解

用插空法求解一次同系数不定方程,得到了方程的非负整数解的个数及所有整数解。     

利用数列的生成函数求一次不定方程非负整数解的个数

给出求一次不定方程非负整数解的个数的定理和证明，并举例说明其应用。     

强基计划数学备考系列讲座(1) ——组合与概率

1 知识技能 2 要点解析 要点1 特型方程计数:满足方程x1+x2+…+xn=m (m,n∈N?)的一个有序整数组(x1,x2,…, xn),称为该方程的一个整数解. (1)当m≥n时,方程的正整数解(x1,x2,…,xn) (xi∈N?,1≤i≤n)的个数为Cn-1m-1; (2)方程的非负整数解(x1,x2,…,...     

一类线性不定方程的非负整数解组数

不定方程是数论的一个分支.所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数.在实际的应用中,不定方程的非负整数解组数备受人们的关注.通过讨论2个参数较小的线性不定方程的非负整数解的个数,给出了形如x ky (k 1)z=n的一类不定方程的非负整数解组的个数.