构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是初中数学竞赛的一个重要内容 .巧妙地依据题目的特点构造一元二次方程 ,再利用一元二次方程的相关知识解题是一种重要的解题方法 ,在竞赛中有广泛的应用 ,常能化难为易 ,化繁为简 ,下面举例说明 .1　求值例 1　设实数 s,t分别满足 1 9s2 + 99s+1 =0 ,t2 + 99t+ 1 9=0 ,并且 st≠ 1 ,求st+ 4 s+ 1t 的值 .解　∵s≠ 0 ,∴ 1 9s2 + 99s+ 1 =0可变形为 ( 1s) 2 + 99( 1s) + 1 9=0 ,又∵ t2 + 99t+ 1 9=0 ,st≠ 1 ,∴ 1s,t是方程 x2 + 99x+ 1 9=0的两个不等的实数根 ,∴ 1s+ t=- 99,1s· t=1 9,即 st+ 1 =- 99s,t=1 9s.∴ st+ 4 s…     

构造一元二次方程题的途径

一元二次方程是初中数学的重点内容之一,在竞赛中也常见到与此相关的问题。它们在解法上有一个共同特点;可以通过构造一个辅助的一元二次方程,借助方程的有关性质来解决。 利用根的定义构造方程 例1 设实数s,t分别满足19s~2+99s+1=0,t~2+99t+19=0,且st≠1,求(st+4s+1)/t的值。 (1999年全国初中数学竞赛题) 分析 由题设,知t≠0。故由t~2+99t+19=0,得19(1/t)~2+99(1/t)+1=0。于是由根的定义     

利用均值不等式巧解抛物线有关对称问题

抛物线上有关存在相异两点关于某直线(或某点)对称求参数范围的问题,一般都是利用构造判别式大于0(Δ>0)或利用对称中点M(x0,y0)位于抛物线焦点所在范围内构造y20与2p x0不等式进行求解.本文给出利用均值不等式解决此类型问题的一种新方法,其特点是思路明快,解法简捷.例已知抛物线C:y2=4x与直线l:y=2x+m,若C上总存在相异两点P、Q关于直线l对称,求m的取值范围.解设P(t2,2t),Q(s2,2s)(t≠s),则kpq·kl=-1且PQ的中点M∈l,所以2s-2ts2-t2·2=-1,2t+2s2=2·t2+2s2+m.即s+t=-4,s2+t2=-m-4.所以s2+t2=-m-4,2st=20+m.因为s2+t2>2st(s≠t),所以-m…     

构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是初中数学的重要内容,在数学竞赛中经常出现.它是解决高次方程和其他方程的基础.有些从表面上看不是一元二次方程的问题,通过变形等手段,可以构造一元二次方程来解决.下面以竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的4种方法.一、根据方程根的定义构造例1若a·b≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则ab的值是().(A)95(B)59(C)-20015(D)-20019(2001年全国初中数学竞赛题)解:5a2+2001a+9=0.(1)因为b=0不是方程9b2+2001b+5=0的根,故可得5·(1b)2+2001·1b+9=0.(2)由(1)、(2)和方程根的定义可知a、1b都是方程5x2+2001x+9=0的根,31200…     

活用构造 解题变妙

构造一元二次方程法在数学解题中有着广泛的应用,下面举例说明.一、因符合方程一般形式而构造方程若实数x1,x2满足ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,则可构造一元二次方程ax2+bx+c=0,并将x1,x2视作方程的两个实数根来解决问题.     

构建一元二次方程解题

<正> 构造法是数学竞赛中常用的解题方法.本文举例说明,如何构造与一元二次方程有关的教学模型解答相关教学问题. 一、构建一元二次方程根的判别式模型例1 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是__.(2001年TI杯初中数学竞赛题)     

构造方程解数学题的常用方法

构造一元二次方程是重要的解题方法之一 ,一些试题由于其综合性、技巧性强 ,常使许多学生感到束手无策。若能够根据题目的条件和结论、结构的特征进行联想 ,构造出适当的方程来解证 ,不仅思路清晰、方法简捷 ,而且有利于培养学生的创新能力和思维能力。本文介绍几种构造方程的常用方法。一、根据根的定义构造方程若已知条件中有两个等式 as2 +bs+c=0和 at2 +bt+c= 0 (a≠ 0 ) ,则根据根的定义 ,可构造根为 s和 t的一元二次方程 ax2 +bx+c=0。例 1　设 a2 +2 a=b4 -2 b2 =1 ,且 1 -ab2≠ 0 ,求(ab2 +b2 +1a ) 2 0 0 1的值。解 :由已知等式得(…     

构造一元二次方程解题例举

构造一元二次方程是一种重要的解题技巧,它可以使一些看似与方程无关的问题,用方程的知识得以简捷地解决.那么,应根据什么来构造一元二次方程呢? 一、利用一元二次方程根的意义我们知道,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则有ax12+bx1+c=0、ax22+bx2+c=     

构造一元二次方程巧解竞赛题

正在全国初中数学竞赛中,有关一元二次方程的试题频频出现.求解此类问题有一定难度,许多考生无从下手.如果我们根据条件的结构特征,利用根与系数的关系、求根公式、根的定义、判别式等方法巧妙构造出一元二次方程,往往可使问题圆满解决.下面举例说明.一、利用根与系数的关系当条件中出现x_1+x_2=s,x_1x_2=t结构     

看谁解得巧

题 1　设实数ｍ、ｎ分别满足ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,5ｎ2+99ｎ +1 =0 ,且ｍｎ≠ 1 .求 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ 的值 .　解　(构造一元二次方程 )∵　ｎ≠ 0 ,∴　 1ｎ2 +991ｎ +5 =0 .又ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,且ｍｎ≠1 ,∴　 1ｎ,ｍ是一元二次方程ｘ2 +99ｘ+5 =0的两相异实根 .∴　 1ｎ+ｍ =- 99,ｍｎ =5 .∴　ｍｎ+1 =- 99ｎ,ｍ =5ｎ.故 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ =- 99ｎ +1 4ｎ5ｎ =- 1 7.(四川　侯国兴提供 )题 2　已知正整数ｘ、ｙ满足ｘｙ+ｘ+ｙ =71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 .求ｘ2 +ｙ2 的值 .　解　由 ｘｙ+ｘ+ｙ=71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 ,得ｘｙ+(ｘ+ｙ) =71 …     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重要内容.巧妙地构造一元二次方程,可以解决许多难度较大的问题.现以几道典型的竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的常用方法.一、应用方程根的定义例1若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0,则ba的值是().(A)95(B)59(C)-20501(D)-20901(2001年全国初中数学联赛试题)解:显然b≠0,由9b2+2001b+5=0,得5b1#$2+2001·1b+9=0.又5a2+2001·a+9=0,由ab≠1知a≠b1,所以a、1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.由根与系数的关系知a·b1=95,即ba=59,选(B).二、应用根的判别式例2已知41(b-c)2=(a-b)(c-a),且a≠0,则b+a c=.(1999…     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的一个重点内容。而构造一元二次方程解题,是数学中的一种解题技巧,尤其在数学竞赛中,利用此方法解题,能使有关知识化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径,起到事半功倍的作用。本文例谈构造一元二次方程解题。1 根据一元二次方程根的定义构造一元二次方程解题 当题目中同时含有(或可转化为)am2 bm c=0和an2 bn c=0时,可构造一元二次方程ax2 bx c=0来解题。例1 已知1/a2 1/a-1=0,b4 b2-1=0,且1/a≠b2,求ab2 1/a的值。     

构造一元二次方程解题的常用方法

<正>某些非一元二次方程的问题,如果能抓住特征,那么可以通过构造一元二次方程来解决,例说如下.一、利用已知等式构造一元二次方程例1若a,b,c为实数,且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,求证:a=b=c.证明由已知等式,可构造关于c的一元二次方程c2-(a+b)c+(a2+b2-ab)=0.∵c为实数,∴Δ=[-(a+b)]2-4(a2+b2-ab)     

一元二次方程中的数学思想

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想. 一、整体思想 例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____. 解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根, ∴12+a+b=0,∴a+b=-1, ∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1. 温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值.     

物理习题的习惯解法与快速解法

例1在一段平直的道路上,汽车以54km/h的速度运行了这段路的三分之一,然后用60s运行了剩下的360m,求汽车在这段路程中的平均速度是多大?习惯解法思路:(1)求出全路程s.由题意知(1-13)s=360(m),得s=540(m).(2)求出13路程所需时间t1和通过全路程所用时间t。(t=t1+t2)(3)最后用υ=st求出这段路程中汽车运行的平均速度。快速解法:υ1=54km/h=15m/s,υ2=st22=36600sm=6m/s,故:υ=st=1s3s/υ1+(1-31)s/υ2=υ23υ+12υ2υ1=36m×/1s5+m2/s××165mm//ss=7.5m/s.迅速求出汽车在这段路程中运行的平均速度7.5m/s.快速解此题的关键是利用过渡因素,进行综…     

构造二次方程解题数例

<正> 在某些数学问题中,如可由题设条件出发构造一元二次方程,往往能使解法简洁流畅,别具一格. 例l △ABC中,求证: cos2A十cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1. 分析构造x的一元二次方程 x2+2cosBcosCx+(cos2B+cos2C-1)=0. (*) 只要证明x=cosA为方程(*)的一个根即可.     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

一元二次方程综合题归类分析

本文以初中数学竞赛题为例,将与一元二次方程有关的综合题进行归类分析,供参考.一、与一元二次方程相结合例1(1999年山东省初中数学竞赛题)已知方程x~2+a_1x+a_2a_3=0与x~2+a_2x+a_1a_3=0有且只有一个公共根,求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x~2+a_3x+a_1a_2=     

一元二次方程的两个性质及其应用

一元二次方程是初中数学学习的重点.本文给出一元二次方程的两个性质,并举例说明其应用,供同学们学习参考.一、性质性质1:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若a+b+c=0,则x1=1,x2=ca. 证明:由a+b+c=0,得b=-a-c.将其代入原方程,得ax2+(-a-c)x+c=0,即(x-1)(ax-c)=0.因此,x1=1,x2=ca. 下面是一个类似的性质:性质2:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若b=a+c,则x1=-1,x2=-ca.(证明略)二、应用举例例1解下列方程:(1)8x2+15x-23=0;(2)5x2+11x+6=0. 解:(1)∵8+15-23=0,∴x1=1,x2=-238.(2)∵11=5+6,∴x1=-1,x2=-6…     

构造一元二次方程求值

数学竞赛中的某些求值问题,若先通过构造一元二次方程然后借助一元二次方程的相关知识来解决,往往可以收到快速简捷、出奇制胜的效果.现举例介绍构造一元二次方程求值的几条途径,供参考. 一、利用根的定义构造例1 (1996年四川省初中数学竞赛试题)设a,b是相异二实数,且满足a2=4a+3,b2