两个定理的推广及其应用

文 [1]的定理 1,2分别为 :定理 1　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 11+ a+11+ b=1成立的充要条件是 ab=1.定理 2　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 a1+ a+b1+ b=1成立的充要条件是 ab=1.我们可将定理 1,2推广为 :定理 3　设 xy≠ 0 ,则 ax+ by=1成立的充要条件是 (x- a) (y- b) =ab(证明略 ) .把定理 3中的 a,b,x,y分别换成 1,1,1+ 1+ b,则得定理 1;把定理 3中的 x,y分别换成 1+ a,1+ b,则得定理 2 .用定理 3解某些最值题或证明某些不等式是比较方便的 ,下面举例说明 .1　求最值例 1　已知 x,y∈ (0 ,+∞ )且 2 x+ y=4,求 1x+ 1y的最小值 .(文 [2 ]例 2 )解　…     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重要内容.巧妙地构造一元二次方程,可以解决许多难度较大的问题.现以几道典型的竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的常用方法.一、应用方程根的定义例1若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0,则ba的值是().(A)95(B)59(C)-20501(D)-20901(2001年全国初中数学联赛试题)解:显然b≠0,由9b2+2001b+5=0,得5b1#$2+2001·1b+9=0.又5a2+2001·a+9=0,由ab≠1知a≠b1,所以a、1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.由根与系数的关系知a·b1=95,即ba=59,选(B).二、应用根的判别式例2已知41(b-c)2=(a-b)(c-a),且a≠0,则b+a c=.(1999…     

变式视角 类错辨析

<正>1两种解法都正确吗问题设函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),求a+b的取值范围.解法1由已知不妨设a1.因为f(a)=f(b),所以lga=lgb.所以-lga=lgb,lga+lgb=0.所以lgab=0,ab=1.所以a+b≥2(ab)^(1/2)=21=2.因为a≠b,所以上式取不到"="号.所以a+b的取值范围为(2,+∞).反思这是很多数学参考资料中的解答.仔细思考这种解法严密吗?(a+b)取不到2就能得出(a+b)的取值范围为(2,+∞)吗?大于2的一切实数都能取得到吗?     

构造方程时要三注意

贵刊1990年第五期《方程组的解法及其应用》一文中的例5及其解法是: 若a、b为实数,且a~2+3a+1=0,b~2+3b+1=0,求b/a+a/b的值。(1987年泉州市初二双基邀请赛题) 解:由已知及方程根的定义可知,a、b是方程x~2+3x+1=0的两根,由韦达定理得a+b=-3,ab=1,∴b/a+a/b=(a~2+b~2)/ab=((a+b)~2-2ab)/ab     

高二数学第一学期期末测试

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题 4个选项中 ,只有一项正确 )1.给出下列 4个命题 :①若a、b∈R ,则a+b2≥ab ,②若a、b∈R ,则｜a +b｜≤｜a｜+｜b｜ ;③若x∈R ,则x2 + 1>x ;④若x∈R且x≠ 0 ,则x+ 1x ≥ 2 .其中真命题的序号为 (　　 )　　 (A)①②　　 (B)②③　　 (C)③④　　 (D)①②③2 .如果直线 y =ax + 2与直线 y=3x -b关于直线 y=x对称 ,那么a ,b的值分别为(　　 )　　 (A)a =13 ,b =6　　 (B)a=-13 ,b=6　　 (C)a=3 ,b =-2　　 (D)a =3 ,b=63 .已知a>0 ,-1a>ab…     

对偶海伦平均、几何平均与幂平均的不等式(一)

对于任意的实数p,两正数a与b的幂平均定义如下:Mp(a,b)={(ap+bp/2)1/p p≠0(√ab)p=O.以下将证明:M2/3(m+2)(a,b)≤1/3Hm(a,b)+2/3G(a,b)≤Mlog2/long3(m+2)(a,b)其中当且仅当a=b时,等号成立,同时参数2/3(m+2),log2/long3(m+2)对于不等式是最优的临界值.给予两正数a与b,定义Hm=a+b+m(√ab)/m+2,G(a,b)=(√ab).     

初三年级数学期末试题

一、选择题 (每题 4分 )1 .已知 :a + 2bb =23,那么 ab =(　　 )　　 (A) -43　 (B) 43　 (C) -34 　 (D) 342 .化简 :8ab2 (b <0 )的结果是 (　　 )　　 (A)b 8a　　　 (B) 2b 2a　　 (C) -b 8a (D) -2b 2a3.方程x+ 2 =-x的实数根为 (　　 )　　 (A)x1 =2 ,x2 =-1　　 (B)x1 =-2 ,x2 =1　　 (C)x=2　　 (D)x=-14.函数 y =-2x -1的自变量的取值范围是 (　　 )　　 (A)x≥ 12 　　 (B)x<12　　 (C)x≠ 12 (D)x≤ 125 .以 5 + 1、 5 -1为两根的一元二次方程是(　　 )　　 (A)x2 + 2 5x-4 =0　　 (B)x2 + 2 5x-4 =0　　 (C)x2 -2 5x + …     

公式变形 事半功倍

一、完全平方公式的变形变形一:a2+b2=(a+b)2-2ab.变形二:(a+b)2-(a-b)2=4ab.变形三:|a-b|=√(a+b)2-4ab.例1在实数范围内因式分解a4+1.解:由变形一,得a4+1=(a2)2+1=(a2+1)2-2·a2·1=(a2+2~(1/2)a+1)(a2-2~(1/2)a+1)例2 已知x2-5x+1=0,求x2+1/x2的值.     

巧用“分解”简化“运算”

在进行分式运算时,若能根据题目特点,巧妙地将一个分式分解成几个分式或一些整式与分式的代数和,往往能使问题化难为易,化繁为简.现举几种常用分解的方法.※一、巧用aa+bb=1a+b1例1已知A、B为整式,且xx22++33xx++21=x+A1+x+B2,求A、B.解:∵x2+3x+1=(x+1)+x(x+2),∴xx22++33xx++21=(x(+x+11)+)(xx(+x+2)2)=x1+2+x+x1,故由题意得:A=x,B=1.※二、巧用a(a1+1)=a1-a+11例2计算a(a1+1)+(a+11)(a+2)+…+(a+5)1(a+6)解:原式=a1-a+11+a+11-a1+2+…+a+15-a+16=a1-a+16=a(a6+6).※三、巧用2ab=ab+ab例3若a+b+c=0,abc≠0,求a(b1+c1-a1)+b(1c+1a-b1)+…     

初二数学期中测试卷(人教版)

第一部分 (满分 10 0分 )一、填空 (每空 2分 ,共 2 8分 )1.-7ab -14abx+ 49abx2 =-7ab() .2 .x4 -9=(x2 + 3 ) (x2 -) .3 .若x2 -2mx + 9=(x -3 ) 2 ,则m =.4.已知a(a + 2 ) =b(b + 2 )且a≠b ,则a+b的值是 .5 .当x时 ,分式 x + 12x -1有意义 ,当x=分式｜x｜-1x-1的值为零 .6.若a2 +b2 -2a-4b + 5 =0 ,则ab -1的值是 .7.约分ax2 -bx2bx-ax =.8.三角形的三边长分别是 2 ,5 ,x ,其中x为奇数 ,则此三角形的周长是 .9.若等腰三角形的一边长为 8,另一边长为 4,则此三角形的周长为 .10 . ABC中 ,若∠A∶∠B∶∠C =1∶ 2∶ 3 ,则 ABC为三角形…     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

二次齐次式的应用

如果一个题目中含有关于x,y的二次齐次式:ax2+bxy+cy2(a,b,c是常数),那么有时可通过变换得到关于y/x的式子,使解题过程得以简化.尤其是对于一些用比值表示的量,如商数关系tansincosα=αα、离心率e=ac、斜率k=(y2?y1)/(x2?x1)等,二次齐次形式常常有用武之地.下面举例说明.例1设y=log1/2[a2x+2(ab)x?b2x+1](a,b∈R+),求使y为负值的x的取值范围.分析∵0<1/2<1,y<0,由对数函数性质,得a2x+2(ab)x?b2x+1>1,即a2x+2(ab)x?b2x>0.①注意到上式的左边是关于a x和b x的二次齐次式,两边同除以b2x(>0)得(a)2x2(a)x10b+b?>.这是一个关于(a)xb的二次不等…     

多动脑 证法巧

问题1 关于x的方程(a2 b2 c2)x2-2(ab bc ca)x a2 b2 c2=0有两个实数根,其中abc≠0.求证:a∶b=b∶c=c∶a. 证法1:∵方程有两个实数根, ∴△=[-2(ab bc ca)]2-4(a2 b2 c2)2≥0. 展开得a4 b4 c4-2a2bc-2ab2c-2abc2 a2b2 b2c2 c2a2≤0.     

基本不等式题型的最值问题

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.     

有理函数值域求解的方法探讨

有理函数是指两个多项式的商所表示的函数 .下面以两个二次多项式的商所表示的函数f(x) =a2 x2 +a1x +a0b2 x2 +b1x +b0,x∈ [a ,b](1)为例 ,给出其值域求解的一个通用方法 .1　值域求解在 (1)式中 ,不妨限定b2 ≠ 0 (这是因为若b2 =0 ,则问题比较简单 ) ,对式 (1)作适当的变换 ,可转换为y =a2 x2 +a1x+a0b2 x2 +b1x+b0=a2b2 +a1b2 -a2 b1b2x+ a0 b2 -a2 b0b2b2 x2 +b1x+b0(2 )令m =a1b2 -a2 b1b2,n =a0 b2 -a2 b0b2,则式 (2 )变为y - a2b2 =mx+nb2 x2 +b1x+b0. (3)令　　　 Y =y- a2b2,则式 (3)变为　　　　 Y =mx +nb2 x2 +b1x +b0. (4)…     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

巧用相反数和倒数的性质

学习了相反数和倒数的有关知识后,不难发现关于相反数和倒数具有如下性质: 1.如果a、b互为相反数,那么a+b=0; 2.如果a、b互为倒数,那么ab=1, 解答某些与相反数或倒数有关的问题时,应注意灵活巧用这两个性质. 例1 若a与b互为倒数,x与y互为相反数,则-2ab+2x+2y的值是___.(1998年成都市初一数学竞赛试题) 解:由a与b互为倒数,x与y互为相反数,得 ab=1,x+y=0. 原式=-2ab+2(x+y) =-2·1+2·0=-2. 例2 已知a与-b互为相反数,那么     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1.已知实数a≠b ,且满足 (a+ 1) 2 =3 -3 (a+ 1) ,3 (b + 1) =3 -(b+ 1) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 )　　 (A) 2 3　 (B) -2 3　 (C) -2　 (D) -132 .若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c ,斜边上的高为h ,则有 (　　 )　　 (A)ab=h2 　　　 (B) 1a + 1b =1h　　 (C) 1a2 + 1b2 =1h2 (D)a2 +b2 =2h23 .一条抛物线 y=ax2 +bx +c的顶点为 (4 ,-11) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 )　　 (A)只有a　　 (B)只有b　　 (C)只有c (D)只有a和b4.…     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1 已知实数a≠b,且满足 (a+1 ) 2 =3 -3 (a +1 ) ,3 (b+1 ) =3 -(b +1 ) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 2 3　　　 (B) -2 3　　　(C) -2　　　 (D) -1 32 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h ,则有 (　　 ) .(A)ab=h2 　　　 (B) 1a+1b=1h(C) 1a2 +1b2 =1h2 　　　 (D)a2 +b2 =2h23 一条抛物线 y =ax2 +bx +c的顶点为 ( 4,-1 1 ) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 ) .(A)只有a…     

巧用整体方法解条件求值题

给出条件的代数式求值问题是中考中的常见题型.解决这种问题的方法多姿多彩,“整体方法”是其中一道亮丽的风景.例1若xy=a,1x2+1y2=b(b>0),则(x+y)2的值为().A.b(ab-2)B.b(ab+2)C.a(ab-2)D.a(ab+2)分析先将条件式变形,再整体代入求值式求值.解b=1x2+1y2=x2+y2x2y2=(x+y)2-2xyx2y2=(x+y)2-2aa2,故(x+y)2=a2b+2a=a(ab+2).选D.例2已知a+b=-8,ab=6化简bba姨+aab姨=________.分析先将求值式变形,再把条件式整体代入求值,在变形过程要注意a<0,b<0.解原式=-baab姨-abab姨=-ab姨a2+b2ab=-ab姨(a+b)2-2abab=-6姨64-126=-2636姨.填-2636姨.例3已知x=…