注意因式分解结果的书写形式

因式分解结果的书写形式应注意如下几点:1.相同因式的积要写成幂的形式例1 分解因式 m~4-n~4+2m~3n-2mn~3.解原式=(m~4-n~4)+(2m~3n-2mn~3)=(m~2+n~2)(m~2-n~2)+2mn(m~2-n~2)=(m~2-n~2)(m~2+n~2+2mn)=(m+n)(m-n)(m+n)~2=(m+n)~3(m-n).     

运算,因人而生动

义务教育课程标准实验教材(华东师大版)九年级上册的某种同步练习册中有一道练习题颇令师生踌躇,原题是:计算:(1+mn)÷(1-mn)(m2-n2).一部分人认为该题括号间的各部分都是二级计算,应先除后乘按先后顺序计算,即:(1+mn)÷(1-mn)(m2-n2)=(mm+n÷mm-n)(m2-n2)=mm+-nn[(m+n)(m-n)]=(m+n)2=m2+2mn+n2另一部分人认为该题中的(1-mn)(m2-n2)省略了乘号,应将(1-mn)(m2-n2)看成一个整体,即(1-mn)(m2-n2)是一个运算的结果,而不是一个运算的过程,因此:(1+mn)÷(1-mn)(m2-n2)=mm+n÷[(mm-n·)(m+n)(m-n)]=mm+n÷(m+n)m(m-n)2=mm+n×(m+n)m(m-n)2=(m1-n)2…     

审视一道题

我们来看一道题 :已知a、b、c为两两互不相等的有理数 .求证1(a -b) 2 + 1(b -c) 2 + 1(c -a) 2为有理数 .为了运算的简化 ,我们不妨设a >b>c,且设a=b +m ,c=b-n(m >0 ,n>0 ) ,则a-b=m ,b -c=n ,c-a =-m-n ,∴ 1(a-b) 2 + 1(b-c) 2 + 1(c-a) 2=1m2 + 1n2 + 1(m +n) 2=n2 (m+n) 2 +m2 (m+n) 2 +m2 n2m2 n2 (m+n) 2=(m +n) 2 (m2 +n2 ) +m2 n2[mn(m+n) ]2=(m+n) 2 [(m+n) 2 -2mn]+m2 n2mn(m +n)=(m+n) 4 -2mn(m+n) 2 +m2 n2mn(m+n)=(m +n) 2 -mnmn(m+n) .(因 (m+n) 2 -mn >0 ) ①因为a、b、c为两两互不相等的有理数 ,故(m +n) 2 -mnmn(m +n) …     

一道联考试题的解析

<正>试题来源江苏省教育学会考试专业委员会命制的《2013届江苏省四星级高中高三联考卷》第13题:题目若0相似文献   

一起学习分解因式

一、为什么要学分解因式?请看问题:类比分数的约分:1520=3×54×5=34,将分式x2-y2x2+2xy+y2化简.由分数的约分可知,分式的约分就是约去分式的分子、分母中公共的因子.故需将分子、分母写成因式乘积的形式,即原式=(x+y)(x-y)(x+y)(x+y)=x-yx+y.类似的例子还有不少.在许多情况下,我们需要把一个多项式写成一些整式的乘积的形式,即需要将多项式分解因式.二、分解因式的基本方法有哪些?1.提公因式法.即将多项式中每一项的公共因子提出来.如将多项式3m2n-9mn2分解因式,3m2n和-9mn2这两项中有公因子3mn,故3m2n-9mn2=3mn(m-3n).实际上,提公因式的过…     

核能计算方法简析

例1当两个10n和两个11H结合成α粒子时,放出28.30MeV的能量.当三个α粒子结合成碳核时,放出7.26MeV的能量.由此推断:六个10n和六个11H结合成碳核时,放出______MeV的能量.解析用mn、mH、mα、mC分别表示中子、质子、氦核和碳核的质量,根据爱因斯坦的质能方程ΔE=Δmc2得犤2(mn+mH)-mα犦c2=28.30MeV,(1)(3mα-mC)c2=7.26MeV,(2)犤6(mH+mn)-mC犦c2=ΔE.(3)(1)×3+(2)得ΔE=(28.30×3+7.26)MeV=92.16MeV.显然,上述解法很繁琐.可用下面的方法快速求解:六个10n和六个11H先结合成三个α粒子,放出的能量为ΔE1=3×28.30MeV=84.90MeV;…     

判别式巧解一类最值问题例析

引例若正实数m,n满足m+2n=3mn,求m+n的最小值解析:(法一)从数的角度思考,多以不等式相关知识求解,由题易得1/n+2/m=3,∴ m+n=1/3(1/n+2/m)(m+n)=1/3(m/n+1+2+2n/m),由基本不等式得m+n≥1/3(3+2√m/n·2n/m)=1+2√2/3(当且仅当m/n=2n/m时取等号).     

乘法公式应用大全

我们知道运用乘法公式能使计算简便,然而,能否运用乘法公式简捷计算,关键在于熟练掌握运用技巧.本文所述乘法公式的“六用”技巧,相信一定会使你大开眼界.一、直接用例1计算:(-4m-3n)(4m-3n).解:原式=(-3n)2-(4m)2=9n2-16m2.评注:即使直接应用公式,也别忘了符号变化.二、推广用例2计算:(1)(a b c)2;(2)(m-3n 2)2.解:(1)原式=[(a b) c]2=(a b)2 2(a b)c c2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac.(2)由(1)得:原式=m2 (-3n)2 22 2m(-3n) 2(-3n)×2 2m×2=m2 9n2-6mn 4m-12n 4.评注:(1)(a b)2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac实际上是完全平方公式的推广;(2)第(2)小题又利…     

m~n个位数问题探究

<正>初中数学中时常遇到判断mn(m,n均为自然数,且m>1,n≥1)的个位数问题.教学中笔者作了一些初步探讨.1问题已知21=2,22=4,23=8,……(1)推测264的个位数.(2)估计(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-1的个位数.分析不妨从已知21=2,22=4,23=8这个     

简约而本真的“茶馆式”数学课——《因式分解》课堂片断实录与评析

一、教学片断实录片断一:学生先学:(学生做老师发的练习卡)计算:(1)m(a+b+c)=(2)(a+b)(a-b)=(3)(a-3)~2=(4)(x-3)(2x-5)=环节一:学生做好练习卡.环节二:教师提问.师:请大家说说这组算式是你以前学过的什么运算?生:整式的乘法.师:根据等式的基本性质,等号的两边可以互换,所以以上算式可以变为:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)(2)a~2-b~2=(a+b)(a-b)(2)a~1-6a+9=(a-3)~2(4)2x~2-11x+15=(x-3)(2x-5)     

用方程根的定义妙解数学题

活用一元二次方程根的定义解相关问题 ,具有事半功倍之效 ,举例如下。例 1　若m、n是关于x的方程x2 + (P - 2 )x + 1 =0的两根 ,则代数式 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 )的值等于　　　 解 :因为m、n是已知方程的根 ,由根的定义可知 :m2 + (p - 2 )m + 1 =0　n2 + (p - 2 )n + 1 =0变形可得 :m2 +pm + 1 =2m　n2 +pn + 1 =2n又由韦达定理可知 :mn =1所以 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 ) =2m× 2n =4mn =4 评析 :解法运用根的定义 ,使得变形过程简洁明快。若按常规解法将求值式展开后 ,运用韦达定理进行计算 ,则项数多 ,过程繁 ,容易出错。例 …     

由不定方程5/(121)=(1/x)+(1/y)+(1/z)(x＜y＜z)的正整数解而产生的一个命题

参考文献中"5121=125+1759+1208725"是5121的第一类好表法,我们通过讨论认为:由于5121的第一类好表法不是唯一的,该问题就是讨论"不定方程5121=1x+1y+1z(xb,a|n,b|n,m|a+b,且     

逆用幂的运算性质解题

数学公式具有双向性,这一点同学们都很清楚,但用到时往往只习惯从左到右进行,而不习惯逆向运用.如,幂的运算性质: (1) a~m·a~n=a~(m+m);(2)a~m÷a~n=a~(m-n)(a≠0); (3)(a~m)~n=a~(mn);(4)(ab)~n=a~nb~n.(其中m、n都是正整数)     

自然数冪和的一个应用

下面三个公式,是大家所熟悉的: 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 (1) 1~2+2~2+3~2+……+n~2=(n(n+1)(2n+1))/6 (2) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=[(n(n+1))/2]~2 (3) 在未指出它们的应用之前,先介绍(2)(3)两公式一种在图形上的意义。为此,我们考虑下面一个问题: 在一平面上有m+1条间隔相等,且相互平行的直线,与另一组n+1条同样的平行线相直交。     

一个简单不等式的妙用

众所周知(m-n)~2≥0,即m~2+n~2≥2mn.变形得(m+n)~2≥4mn或mn≤1/4(m+n)~2;当且仅当m=n时取等号。上述不等式虽然很简单,但在求解某些物理问题时相当有用。     

巧用均值换元法解题

在x1+x2+…+xn=m中,令x1=mn+t1,x2=mn+t2,…,xn=mn+tn,其中t1+t2+…+tn=0,这就是均值换元法.如在x+y=a中,可令x=a2+t,y=2a-t.一、用均值换元法化简计算例1求值:√987×989×991×993+(993-989)(991-987).解令a=987+989+4991+993=990,∴原式可化为√(a-3)(a-1)(a+1)(a+3)+4×4=√(a2-1)(a2-9)+16.令b=(a2-1)+(a2-9)2=a2-5,∴√(a2-1)(a2-9)+16=√(b+4)(b-4)+16=b=a2-5=9902-5=980095.二、用均值换元法证明不等式例2已知a+b+c=3,求证:a2+b2+c2≥3.证明令a=1+t1,b=1+t2,c=1+t3,其中t1+t2+t3=0.∴a2+b2+c2=(1+t1)2+(1+t2)2+(1+t3)2=3+2(t1+t2+t3…     

因式分解应用一例

题目证明四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方. 证设这四个连续整数分别为。,n+1,。+2,。+3(。是整数).则。(。+1)(。十2)(二十3)+1 =”(刀+3)(刀+1)(儿+2)+1 =(”2+3。)(”2+3,+2)+1 =(刀2+3n)2+2(二2十3九)+1 一(nZ+3n+1)2.丫。2十3二十1一,(,十1)十(2二十1),其中,(n十l)是偶数,2。+1是奇数,…。(。+1)+(Zn十1)是奇数.:.原结论成立.因式分解应用一例@李寿金$贵州省威宁县羊街中学~~     

等差数列前n项和的一个性质及应用

性质　已知数列 an 为等差数列 ,若Sm =a ,Sn =b ,其中m ≠n ,则Sm +n =(m +n) (a-b)m -n .证明　∵数列 an 为等差数列 ,∴Sn =An2 +Bn .由题设得Am2 +Bm =a ,①An2 +Bn =b ,②①·n-②·m ,得Amn(m-n) =an-bm ,即Amn =an -bmm -n .∴Sm +n =A(m +n) 2 +B(m +n)=Am2 +Bm +An2 +Bn　 + 2Amn=a +b + 2an -2bmm -n=(m +n) (a-b)m -n .运用此性质 ,可速解下列问题 .例 1　等差数列的前m项和为 3 0 ,前 2m项和为 10 0 ,则它的前 3m项和为 (　　 )(A) 13 0　 (B) 170　 (C) 2 10　 (D) 2 60解　∵Sm =3 0 ,S2m =10 0 ,∴S3m =(m+ 2m) …     

用基本不等式求物理极值(初二、初三)

将不等式(m-n)2≥0作简单的变形,可得到(1)m2 n2≥2mn; (2)(m n)2≥4mn. 显然,当且仅当m=n时,等号成立. 用上述不等式求极值,比配方法或判别式法更简捷.     

整式的乘除

基础篇课时一　整式的乘法诊断练习一、填空题1.210.(-0.5)10=.2.(-2.4x2y3)(-0.5x4)=.3.a3.a3+(a3)2=.4.(-2a)(3-a)=.5.(a+2b)(a-3b)=.二、选择题1.10m.10n等于(　　)(A)100m+n.　　　　(B)100mn.(C)10m+n.(D)10mn.2.计算(x4)2+(x5)3得(　　)(A)2x8.　　　　　　(B)x23.(C)x8+x15.(D)2x15.3.(-an-1)2等于(　　)(A)-a2n-1.(B)a2n-1.(C)a2n-2.(D)-2an-1.4.单项式8a3b3与(-2ab)3的积是(　　)(A)-16a6b6.(B)16a6b6.(C)-64a6b6.(D)-48a6b6.三、解答题1.计算:(1)(-35a2x)(-23bx5)2.(2)5x(x2+3x-1)-(2x+3)(x-5).2.化简并求值:(y-1)(y2-6y-9…