从游戏中得到的解题方法

在八年级数学寒假作业里有这样一道几何题:如图1,在△ABC中,AB=AC,D在AC上,DE⊥BC于E,F在AB的延长线上,且BF=CD,DF交BC于点G.求证:EG=CE+BG.     

一题多解总结规律

用多种方法解题 ,不仅可以拓宽视野 ,训练思维 ,而更重要的是归纳解法 ,总结规律 ,提高能力。下面以初中几何第二册“相似形”一章中 P2 55页第十八题的四种解法为例 ,总结有关线段成比例的解法及作辅助线的规律。题目 :如图 1 ,BD=CE,求证 :AC· EF=AB· DF。解法一 :过 E作 EG∥ AB交 BC于 G,在△ ABC中 ,EG∥ AB,∴ AC∶AB=EC∶ EG。在△ DBF中 ,EG∥ DB,∴ DF∶ EF=DB∶ EG。又∵ BD=CE,∴ AC∶ AB=DF∶ EF。即 AC· EF=AB· DF。解法二 :过 E作 EG∥ BC交 AB于 G。在△ ABC中 ,EG∥ BC,∴ AC∶ AB…     

一道课本习题的多种证法

人教版第二册第254页第12题,在△ABC中,AB＝AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于K. 求证:AB＝3AK.     

一道平面几何数学竞赛题的解析法证明

1996年全国高中数学联赛第二试有这样一道平面几何题:如图,圆O_1和圆O_2与△ABC的三边所在的三条直线都相切,E,F,G,H为切点,并且EG、FH的延长线交于P点。求证:直线PA与BC垂直。     

每期一题

题:锐角三角形ABC的顶角A的内分角线交BC于L,又交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是K和M。求证:四边形AKNM的面积等予三角形ABC的面积。(第28届IMO试题第一试2题)     

一道全国高中联赛题的另外几种证法

1996年全国高中数学联合竞赛第二试第三题为: 题 如图,圆O_1和圆O_2与△ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG、FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直。     

巧构造 妙证题

不少几何题,虽然在给定的图形中没有明显的全等三角形,但我们可根据题目的特征巧妙地构造全等三角形,从而找到证题的思路. 一、平移法例1 已知△ABC中,AB=AC,E在AB上,F在AC的延长线上,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF 分析:欲证DE=DF,图中无明显的全等三角形,这时可考虑去构造,过E作EG∥AF,交BC于G,只须证△DCF(?)△DGE即可.     

多思考 新意出

《几何》第二册第263页第14题是：在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K。求证：AB=3AK。学生对原题提出证法后，教师提问：“还有其他的解法吗？”学生分组讨论，提出了以下几条思路：1.过点A作BC的平行线与CK延长线相交；2.过点D作AB的平行线与CK相交；3.过点D作CK的平行线与AB相交；4.过点M作AB的平行线与BC相交；5.过点K作AD的平行线与BC相交；6.过点K作BC的平行线与AD相交；7.过点C与AB的平行线与AD的延长线相交；8.过点B作AD的平行线与CK的延长线相交；9.过点B作CK的平行…     

游戏方法启发了我

<正>我在做作业中遇到这样一道几何题:如图1,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,DE⊥BC,垂足为E,点F在AB的延长线上,且BF=CD.DF交BC于点G,求证:EG=CE+BG.仔细看结论,使我联想到平时玩的小棒游戏:要判断一根长棒与两根短棒的和相等时,常常使用两种方法,一是将两根短棒相接     

谈一道好题

九年制义务教育教材(人民教育出版社)((几何》第二册尸二,有这样一题: 题1梯形ABCD中,点E、F分别在腰AB、CD上,EF声AD,AE:EB一m:n,求证:(m n)EF二mBC十nAD. 本文研究题1的多证、引伸及引伸题的应用,从中不难看出此题的教学价值。 一多种证法 证法1连结BD,交EF于G(如图l)丫八D// EF// BC,AEEB EG n GF 万万~石不不’丽-.’.(m n)EG一nAD.(m n)GF二mBC.又.:EF一G尸十EG:’(m n)EF=mBCAD 刀之一—, n 刀忍m十n nAD,AD ,,C F(一H一‘七G曰习 E之 B Fe一\一一图 E递 B 证法2作AG// DC,交BC、EF分别于GH(如图2)…     

一个不等式的纯几何证法

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 49页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ ABC中 ,∠ A为钝角 ,ha 为边a上的高 .求证 :a ha>b c该题的证明几乎用了一页的篇幅 .其实用纯几何的方法也能给出简洁的证明 ,而且初二学生都能理解 .图 1证明 1　先对∠ A为直角的情况 ,证明同样的结论 .如图 1 ,在 BC边上取点 E,使得BE=BA.作 EF⊥ AC,EG⊥ AB,垂足分别是 E和 F.连结 AE,我们可以得出等腰△ ABE和矩形 AFEG,因而有 AF =EG=AD=ha.在 Rt△ CEF中 ,由 EC>FC,直接可以得出 a- c>b- ha.所以有 a ha>b c.图 2…     

一题多证举隅

例如图,Rt△ABC中,以AC为直径的圆交 BC于D,M为AD的 中点,刀材的延长线 交AC于E,百尸1 .BC 交BC于E,EG 1 AC 交O口于G求证: EF二EC由①、EG②知‘器 乙LEFEC:EG=EF证法三:在△A脚B中 AM BMsin乙1 sin乙3:AMBM .sin乙lsin乙3①~~‘~.一二乃少口.』_但二Itt凸万I叮口甲代万丁丁=5111乙乙 万乃夕…对口二召赶·sin乙2分析本题首先可以想到:丫E‘上AC二E夕二AE·EC故间题转化为只要证E尸=AE·EC。这里关键是如何应用M是AD的中点这个条②丫AM二材刀BM·sin乙2sin乙3件证法一:分别延长FE、BA交于H易证△AEH…△…     

由一道中考题引发的教学思考

<正>笔者参加了2015年苏州市中考阅卷工作,所在的阅卷组批阅第24题,题目是一道较简单的几何题.学生对第1问的解法五彩纷呈,现对几种典型的解法作评价分析.通过此题,笔者谈谈对教学的思考和启发,与同行交流.1.原题呈现如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分∠BAC;     

一道高中数学联赛加试题的另解与引伸

原题如图1,已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.这是2010年全国高中数学联赛加试(A卷)的"平面几何"题,有关刊物已介绍多种证法.本文的兴趣是用通性通法给出原题的另一种证明并将原题作进一步的引伸,从而得到2011年全国高中数学联     

怎样作平行线简单

问题如图1,已知在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且AE=EC,DE交BC延长线于F.求证:BADD=BCFF.这是一道典型的证明线段成比例的几何题,由于图中没有相似三角形,也无平行线,因此要作平行线,那么怎样作平行线呢?在教学时我把它呈现给学生,学生经过思考提出下面两种作平行线的方法:     

错在哪里

题如图,E、F、G、H、K、L分别为正方体AC1的棱AA1、AB、BC、CC1、C1D1、A1D1的中点,求证:EF、GH、KL三线共面.     

一道IMO题与一道CMO题的等价性

本文谈谈第26届IMO第5题与1997年CMO第4题的等价性。 题目1 (CMO1997-4)四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F,则P、E、F三点共线。 题目2 (IMO-26-5)⊙O过△ABC顶点A、C,且与AB、BC交于K、N(K与N不同),△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:     

对一道中考试题解法的探究

试题:(2011年武汉市初中毕业升学考试第22题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

怎样用梯形中位线定理解题

一、题中有中位线直接用　　例 1 .已知 :如右图 ,梯形ABCD中 ,AB∥ CD,EF是中位线 ,EF交 BD、AC于 G、H,DC=1 0 ,EF=6,求 GH的长。分析 :由题设知 ,EF是梯形 ABCD的中位线 ,由此可以求出 AB=2 ,由 EF∥ AB∥ CD,E是 AD的中点 ,易知 EG、EH分别是△ ABD和△ ACD的中位线 ,故 EG=1 ,EH=5,从而 GH=EH- EG=4。二、梯形不完善补形用例 2 .已知△ ABC中 ,BD、CE为角平分线 ,EM⊥ AC于 M,DN⊥ AB于 N,P是 DE的中点 ,PQ⊥BC于 Q。求证 :PQ=12 (EM DN)。　　分析 :由于 BD、CE分别为角平分线。作 EM′⊥BC…