正弦定理的变形及其应用

在△ABC中，正弦定理可以写成：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径），这个关系不仅揭示了三角形的边角关系，而且也表明了圆中的弦和所张圆周角之间的关系，因此利用正弦定理，我们既可以解三角形，又可以将三角形中边的关系及角的关系相互转化来证明几何问题。为了实现快速转化，请大家一定要熟练掌握正弦定理的如下变换形式：     

解三角问题的若干技巧

一、用合分比定理 合分比定理是：若a/b=c/d≠1,则a＋b/a-b=c＋d/c-d在三角问题中，对形如y=f（x）＋g（x）/f（x）-g（x）的式子，若能活用合分比定理，则可简化问题，优化解题．下面举例说明．     

向量数量积与抛物线的焦点弦

本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积问题进行研究,得出两个新定理：定理1,若｜AB｜是过抛物线y^2=2px（p〉0）焦点F的弦长,且^→BF-^→FA=λ,则｜AB｜=2λ/p;定理2,若AB是过抛物线y^2=2px的焦点弦,O为坐标原点,且^→BF-^→FA=λ,则SΔOAB=P/2√λ．     

均值不等式的推广

【定理】如果a,b是正数,那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）． 定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．     

Menelaus定理的空间拓广

Menelaus定理是平面几何中的著名定理,其基本内容为： 如图1,一直线分别截AABC三边AB,BC,AC或其延长线于D,E,F,则BD/DA· AF/FC·CE/EB=1     

一堂《利用均值定理求最值》课的感悟

不久前，笔者听了一节《均值定理求最值》的复习课．授课老师先复习了均值定理及其成立的条件并做了一些简单的练习后，就以求y=sinx/2＋2/sinx（0〈x〈π）的最小值为例说明它不符合均值定理成立的条件，从而断定此题不能用均值定理求它的最小值．于是这位老师设t=sinx/2，利用函数y=t＋1/t单调性来求得结果是5/2，但立即就有学生问：怎么知道函数y=t＋1/t在（0，1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数？[第一段]     

由∑bc—4／9пa≤1／4引起的“链式反应”

针对一类条件为：a b c=1(a,b,c为非负实数）的三元非齐次不等式的证明问题，笔提出如下定理：∑a^2 2∑bc=1Ⅰпa≤1/27Ⅱ∑bc-4/9пa≤1/4Ⅲ本列举10道三元非齐次条件不等式，均可由该定理直接或间接得到证明，其证明途径可列成如下网络：定理→（1)→（5) 0190(10)→（2)→(7)→（6)→（3)→（8)→(4）→（9)。     

关于韦达定理的教学漫谈

<正>最近，笔者听了几节关于韦达定理教学的课，颇有感想．下面以这堂课为例，就韦达定理的教学谈谈个人的看法．一、韦达定理如何引入有位教师是这样引入的：问题1已知方程(1)x²-12x+35=0;(2)x²-7x-4=0.     

应用两边夹定理，证明重要极限lim（1＋1/n）^nn→∞

设nn=（1＋1/n）^n,则极限limann→∞存在且为e,是众所周知的,该极限通常是应用 单调有界性定理证明,本文应用n个正数常用的不等式An≥Gn,应用两边夹定理,给出数列（1＋1/n）^n极限存在的证明 引理,An和Gn分别为n个正数的算术平均和几何平均,则有：An≥Gn当且仅当各正数相等时出现等号数e极限的证明通常借助于以下两个定理定理1数列an=（1＋1/n）^n＋1严格单调下降,     

射影定理、正弦定理和余弦定理的统一推导

射影定理c=a cosB b cosA、正弦定理a/cosA＝b/cosB＝c/cosC痴和余弦定理c~2=a~2 b~2-2ab cosC是关于三角形的边角关系的三个基本定理,但通常三个定理的证明是     

韦达定理逆定理的巧妙运用

韦达定理的逆定理：如果x1,x2满足x1＋x2=b/a,x1&#183;x2=c/a,那么x1,x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．     

椭圆"类准线"上点的几个性质

文[1]介绍了如下两个定理： 定理1 设A,B是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左右顶点,P是椭圆准线x=&#177;a^2/c上的动点,∠APB=θ,椭圆离心率是e,则θ为锐角且sinθ≤e（当且仅当点P到椭圆长轴的距离为b/c时取等号）．     

关于非线性常微分方程组的存在唯一性定理的证明

本文讨论非线性常微分方程组dy/dt=g（t：y）,y∈R^n的解的存在唯一性定理的证明．     

直线划分平面定理的应用

众所周知，平面上的定比分点公式是x=x1/λx2/1＋λ,y=y1＋λy2/1＋λ（λ≠-1）。由定比分点公式可得下面定理：     

对正弦定理、余弦定理一节的两点建议

一、高中数学(人教版)第一册(下)第129页正弦定理、余弦定理一节中,介绍正弦定理时,仅仅推出了a/sinA=b/sinB=c/sinC,而不是a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R,这对同学们全面理解正弦定理是十分不利的,也给解题带来了许多麻烦．所以许多老师都补充了这个知识点,但证明方法大多采用初中的平面几何证法.事实上,利用向量证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,过     

初中毕业班数学辅导与练习

一、复习要点:(1)弄清垂线、斜线、四种命题、外心、内心、垂心、重心、外切、内切等基本概念。(2)要围绕公理和定理进行复习,如三角形中的公理、定理,各种特殊四边形的性质和定理,相似三角形的有关定理,在圆中,弧弦角的定理,切线割线的定理,与多边形的关系定理。(3)掌握计算公式,如三角形而积 S=1/2ah_a=1/2absinC,正、长方形面积,平行四边形面积 S=ah_a=absinα(α为 a·b夹角),菱形面积 S=aha=a~2sinα=1/2L_1L_2     

三角形三点共线定理在平几中的应用

三点共线定理是指:如图(1),若∠BAD=α,∠CAD=β,AB=a.AC=b,AD=m,那么B、D、C三点共线的充要条件是sm(α β)/m=smβ/a smα/b证明:B、D、C三点共线=S△ABC=S△ABD=SABD S△ADC=1/2absin(α )=1/2amsina 1/2bmsinβ=sin(α )/m=sinβ/a十sinα/b图(1)三点共线定理(下称共线定理)虽然简单,却很重要,其用途广泛.下面结合一些几何名题、竞赛题谈谈共线定理在平几中的应用.     

坎迪定理在圆锥曲线上的推广

将平面几何中著名的蝴蝶定理推广便有:坎迪定理如图1(甲),过圆的弦AB上任意一点M引任意两条弦CD和EF,连ED、CF交AB于P和Q．若AM=a,BM=b, PM=x,QM=y,则1/a-1/b=1/x-1/y (1)特别地,a=b时即得蝴蝶定理．     

合、分比定理在物理解题中的应用

在数学中,a/b=c/d=(a+c)/(b+d),就是合比定理;a/b=c/d=(a-c)/(b-d),就是分比定理.合、分比定理在物理解题中有着广泛的应用.下面举例说明.     

虽殊途同归，但各司其职——正弦定理的证明方法及作用

正弦定理是高中阶段一个很重要的定理,证明方法也很多．苏教版教材（必修5）是从直角三角形入手,探究出直角三角形中的边角关系是a/sinA=b/sinB=c/sinC,