更简捷的形式──对《α可以推广到任意角》的补充

更简捷的形式──对《α可以推广到任意角》的补充浙江洪哲看了贵刊１９９５年第１期易明松的文章《α可以推广到任意解——对《猜想和证明》一文的补充》后。笔者觉得还可以表示为如下更为简捷的形式：为使反三角函数式的求值公式完整起见．我们可进一步证明：下面仅就（...     

关于公式C_(α β)的教学

两角和的余弦公式Ｃｏｓ（α β）＝ＣｏｓαＣｏｓβ-ＳｉｎαＳｉｎβ,（以下简称Ｃα β）是显示两角和与差的其他三角函数公式的基础 ,是一个重要的基本公式。正因为公式中角α、β具有任意性 ,才使得公式Ｃα β 发挥其奠定基础的作用。因此 ,在推导公式前讲清α、β是任意角 ,要求学生熟练掌握公式的这一特性 ,对学好这一章无疑将具有十分重要的意义。现行职业高级中学课本第一册在推导这一公式过程中 ,在学生学过坐标法求距离的基础上 ,利用直角坐标系 ,在单位圆中证明 ,比传统的方法更具有一般性。课本中假设α、β是任意角 ,但…     

余弦定理课堂教学实录及反思

<正>一、目标定位余弦定理是苏教版教材必修5第一章解三角形第二节的内容,是在学习了任意三角形中边与角的正弦之间的联系以及一般探究方法之后对三角形的边与角的余弦的研究.余弦定理是对初中学习的直角三角形中边角关系的推广,从中可以让学生体会特殊到一般的过程.教学中可以引导学生从猜想、验证到证明等环节的自主探究.另外向量这一工具可以用来证明余弦定理,这一方法可以让学生体会演绎证明这一思维过程.     

哥西──施瓦兹不等式的应用

定理（哥西──施瓦兹不等式）在一个欧氏空间里,对于任意向量a,p,有不等式＜a,肛’≤＜α,α＞＜β,β＞当且仅当α与β线性相关时才取等号。哥西——施瓦兹不等式是高等代数中一个非常重要的不等式,它不仅可以使我们把解析几何中夹角的概念合理的推广到一般的欧氏空间,而且它还可以证明许多不等式,特别是初等数学中的许多不等式看起来与它毫无联系,但都可以用它来证明。例1、证明对于任意实数a;,az,…an,b入,··小。都有不等式（a小1＋azb。＋…＋anbJ三（a;’＋a。’＋…＋as）·（b＋bg＋…＋bn句成立。证明：设a一（…     

初中生数学合情推理能力发展现状调查

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）明确指出：学生通过义务教育阶段的数学学习,经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力．能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例．也就是说,学生获得数学结论应当经历合情推理到演绎推理的过程．...     

谈任意角的三角函数教学

任意角的三角函数是三角函数内容的重要基础部分，也是中等师范学校批数与初等函数》的重要内容之一，学习三角函数可以使找们对函数的认识更全面，更深刻，本章任意角的三角函数是把初中时学生学过的0°—180°之间的角的三角函数推广为任意角的三角函数。对本章的重点问题谈谈个人体会。一、角的概念的推广1、关于课本P103两个例题的教学例1、找出与下列各角相同终边的周内角，并指明它们分别属于第几象限，（1）1000°；（2）—120°；（3）—950°2′；（4）－1080°；例2，写出与下列各角有相同终边的角的集合S，（1）60°；（2）—21…     

纠正一误解原猜想的证明

纠正一误解原猜想的证明宋八全（广东省佛山市张槎中学５２８０００）广东沈云辉先生在《初等数论中莱梅猜想的证明》〔１〕一文中说，证明了莱梅猜想的结论．其实，他误解了莱梅猜想，从而得出了错误的证明．１９３２年，莱梅提出与φ（ｎ）有关的猜想：不存在合数ｎ，使...     

从二项式定理到多项式定理

二项式定理是中学数学的重要定理．它的解决方法大致有：一是观察归纳提出猜想，再用数学归纳法加以证明；二是应用组合思想方法．对于二项式（α＋6）^n的展开式的推广（α1＋α2＋…＋αm）^n的展开式又是怎样呢？本文应用组合思想方法来探讨这一问题．     

解题分析——我对一道三角题的学习

在１３院校编的《中学数学教材教法》Ｐ．１２９有这样一道习题：例１已知ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝ｐ,①ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝ｑ．②求ｓｉｎ（α＋β）和ｃｏｓ（α＋β）．１９３５年日本出版的《题解中心———三角法辞典》第７６７题（见文［２］Ｐ．１１２）曾在相同的...     

关于Chowlas和Zassenhaus的一个猜想

本文介绍了置换多项式和完备映射，并给出了文献（１）中介绍的Ｃｈｏｗｌａｓ和Ｚａｓｓｅｎｈａｕｓ关于置换多项式的一个猜想的否定的证明。     

读者来信

编辑老师:您好!读了贵刊在八年级第7—8期刊登的《角谷猜想》一文,我深受启发.文中讲到,角谷猜想,又名冰雹猜想,即对于任意给出的一个自然数N,若N为偶数,将N除以2;若N为奇数,就将N乘3加1,把所得的结果继续按照上面的步骤运算,经过有限的步骤之后,最终的结果必为1,也可以说是经过有     

任意角三角函数的教学反思

教育部制订的普通高中《数学课程标准》（人民教育出版社2003年版）第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．根据这个要求,人民教育出版社《数学必修4》（2007年版）第12页给出的任意角的三角函数定义为（本文称为定义1）：     

Erdos-Mordell定理的简证

在1935年，FaulErdos猜想在△ABC内的任意一点I（或在它的边界上），从I点到三个顶点的距离之和不小于从I点到三条边的距离和的两倍．Erdos进一步猜想等号成立当且仅当△ABC是等边三角形并且I是它的外接圆圆心．尽管这一猜想的表述和理解没有什么困难之处，但是直到1937年，才由L.J.Mordell给出了第一个证明，而且这一证明是非初等的．在1945年，D.K.Kazarinoff第一个用初等方法证明了这一猜想（参阅他儿子写的书）．证明需要运用许多技巧，以至于看上去不太自然．这篇短文旨在给出一个学生能够接受的，比较自然的证明．我们的证明…     

对比值sinnx/sinx估计的改进与推广

据文［１］的证明及熟知结果,有ｎ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ（ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２）．我们作了改进与推广,得到定理１　若０＜α＜β＜π２,则２π·βα＜ｓｉｎβｓｉｎα＜βα．定理２　若ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２,则２ｎπ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ．定理１的证明：应用微分法易证ｓｉｎαα＞ｓｉｎββ,故右边的不等式成立．令ｆ（ｘ）＝２πｘ,ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ,则当０＜ｘ＜π２时,易知ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）,于是２π·β＜ｓｉｎβ,从而ｓｉｎβｓｉｎβ＞２π·βα·αｓｉｎα＞２π·βα．　　…     

与《对八个“互化”公式不要求记忆后的思考》一文商榷

《中学数学教学参考》１９９９年第５期发表了郭立军的《对八个“互化”公式不要求记忆后的思考》（以下简称《对》文）,文中的两个观点值得商榷．《对》文中的观点之一是：“不要求记忆”显然比“了解”的层次还低．１９９０年我在高考阅卷时发现,考生在做《对》文中的例２时,有的将和差化积公式记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝１２ｃｏｓα＋β２·ｃｏｓα－β２,有的记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝２ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）,还有的记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝－２ｃｏｓα＋β２ｃｏｓα－β２等．虽然考生的思路与方法都正确,…     

例谈角的变换技巧

例谈角的变换技巧李爱卿在三角函数中，角的变换是一种重要的基本变换。通过观察分析条件和所求（证）角之间的内在关系，使条件和所求（证）角间实现巧妙的转化，从而使问题得到解决。以下仅举几例。此题角的变换技巧是：例２已知：ｓｉｎ（ｘ－α）＝，ｓｉｎ（ｘ＋α）...     

关于Steiner-Lehmes定理外等长分角线的猜想的研究

给出了关于Steiner--Lehmes定理外等长分角线的三个猜想的证明，对结论进行了推广并给出新猜想。     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

一个有理不等式猜想的证明及推广

本文主要对2011年8月发表于《中学数学研究》上的一文《一个有理不等式的类比及猜想》中的一个有理不等式猜想进行证明,并适当推广.     

shc58的证明

文［１］提出了如下一个漂亮猜想．猜想（ｓｈｃ５８）　设ｍａ,ｍｂ,ｍｃ,ｗａ,ｗｂ,ｗｃ,ｒａ,ｒｂ,ｒｃ,ｐ分别表示△ＡＢＣ的中线、角平分线,旁切圆半径及半周．则在锐角△ＡＢＣ中有∑ｍａ（ｒａ＋ｗａ）≤２ｐ２．（＊）经研究,上述猜想成立．以下给出证明．证明　由旁切圆半径及中线公式,得ｐａ－２ｒａｍａ＝ｐ２ａ２－４ｒａ２ｍａ２ｐａ＋２ｒａｍａ＝｛ｐ［ｐ（ｐ－ａ）ａ２－（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）（２ｂ２＋２ｃ２－ａ２）］｝／｛（ｐ－ａ）（ｐａ＋２ｒａｍａ）｝＝ｐ（ｂ－ｃ）２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）２（ｐ－ａ…