BCI──代数一个根的性质

一、BCI——代数的一个根定义1：设（X;*,0）是一个（2,0）型代数,若满足下列条件①［（x*y）*（x*z）*（z*y）=0②b。k。广》y一0③X兴X一0＠X＃y一yWX一oopX”y＠XW0一oopX一0则X被称为一个BCI一代数。定义2：在BCI一代数中,定义x。y”一卜··（（x。y）。y）。…y】。y（n个y）定义3：设X是一个BCI一代数,定义N（X）一kEX：0。x”一0,nEz“）在一个BCI一代数中,下列性质易被证明。＠XRO”X＠（X＃y）WZ一（X＃Z）Xy③0。①。x）一O。O。xy＠0。（。y）”二（0。X”）。（0。y”）＠XEN。（）too。X6N。00＠…     

让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用

苏教版教材选修4—2《矩阵与变换》中，给出了矩阵与变换的联系．若实数a〉0，b〉0，则在矩阵[1/a 0 0 1/b] 对应的变换TM{x＇=x/a,y＇=y/b下，点P（x，y）变为P’（x’，y＇），称TM为平面直角坐标下的伸压变换．我们可以推出椭圆与直线在伸压变换砌中的几条简单性质：     

数学知识记忆的方法

1．编制顺口溜 例1 （1）设向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）, 若a∥b,则x1y2-x2y1=0; 若a⊥b,则x1y2＋y1y2=0． 可编出这样的顺口溜：两向量平行,交叉相乘差为零;两向量垂直,对应相乘和为零．     

一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

旋转体体积计算公式的再推广

关干旋转体体积的计算公式，一般的高等数学教科书给出的结论是：设函数f（X）在区间［a，b］上连续，且f（x）≥0。由曲线y=f（x），直线x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形绕x轴旋转，得到的旋转体体积公式是。数学通报1994年第10期程曹宗老师著文《旋转体体积计算的一般公式》，该文给出了平面曲线绕任一直线旋转所产生的体积公式。其结论是：设y=f（X）为[a，b]上连续可微函数，若L为过任一点（X0，y0）的直线：y-y0=m（x－x0），则曲边梯形ABB’A’（见图1）绕L旋转所产生的旋转体体积是：作者运用点到直线距离公式证得上述结论。本文运…     

(二十五)综合模拟测试卷(A卷)

一、填空题（每空2分，共36分）：1．若a：b—－1，则a与b互为、数；。、l。厂7一万77＿。、，，、100。I2．计算／（－2）‘一，－3‘X（－l）”’‘－——一—’—、～q’3．设共数为X，用代数式表示：某数的2情与3的差的平方得、；4．已知肝十到十／厂习二动则5（a－b）－’一、；5若X；、X。是方程X’－ZX－1—0的两根，则k；一工／一；6．分解因式：x’y－Zxy＋y一＿；，。八＿．＿＿—。，～———一7函数x一号二千中自变量x的取值范围是；————JI工’———————“————’———～’。、工。Nry．‘＿＿。＿，＿＿。1…     

对新版高一数学课本中一个结论的商榷

高一新版数学课本第一册（下）第１１１页“向量平行的坐标表示”中，有这样一个结论：若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b（b≠０）的充要条件是x１y２－x２y１＝０分析：课本在本册第９５页中已经规定：０与任何向量都平行，又在本册第１０８页中给出：０＝（０，０），那么为什么要加上条件（b≠０）？能否去掉它？笔者认为完全可以去掉它，课本上加上这一条件只是为了简化证明过程。证明：必要性：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）a∥b当b≠０时，必存在一个实数λ，使a＝λb即（x１，y１）＝λ（x２，y２）x１＝λx２y１＝…     

三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)

关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法．     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．由已知条件可知，a、b、c都不为的值为1或-1；由已知等式可知．中必有两个互为相反数，并且a、b、c中有一个且只有一个是负数．不妨设a＜0，则b＞0，C＞0．abc＜0．abc＞0，2．因为数轴上表示a、b两数的点到原点的距离相等，所以a＝b或a＋b＝0．若a＝b，则x－4＝2X—5．X＝1．若a＋b＝0，则（x－4）＋（2X－5）＝0．X＝3．故X的值为1或3．3．用分类思想来处理问题．因为卜，，且a、b异号．所以或4设这个有理数为a，则此题实际上是要确定al－a的符号。用分类思想来处理问题．因为a是有理数，所以可分为a＞O、。一O、a＜O三种…     

一元二次方程的公共根问题

如果x0是一元二次方程羊0）的根，那么一卜bC。＋C一0．有一类公共报问题，根据方程报的意义，让根“回娘家”，便可简捷求解．请看以下例题二例1若方程x‘＋。x＋b—0和x’＋bx＋a一0有一个公共报，则（a＋b）‘”‘一．（华罗庚数学学校力。1练题）解由题意知。学b，设两方程有公共根X。，则有：枯十。X。＋b一0，X卜bX。＋。一0．og＋。00＋b—og＋b00＋。x0一一一一一一1，代入方程得一Hb一”“”“”“’“”awb——－1．故（。＋b）”’‘一（一1）””－1例2若方程X’＋bX＋1一0与X‘－X－b一0有一个公共实根，求b的值．（1987…     

三角形三边不等式"m-n-t"证法体系探究

拙文《三角形三边不等式的代数变换f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y）》刊出后，引起一些读者兴趣，希望对文中的“m—n—t”证法体系。即定理1，展开进一步探究，笔者欣然回应如下。     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

对称在直线和圆锥曲线上的运用

数学是一门最基本的自然科学学科,而数学本身就是一门数学美学．特别是中学数学的对称性,给人以美的享受．下面针对直线和圆锥曲线的对称问题作以简单探讨．卫特殊点或线的对称特殊点或线是原点或X轴、Y轴．直线Y＝X及Y＝－X,其列称情况见了表：例1（1990年全国高考试题）如果直线y一ax＋2与直线y—3X－b关于直线y—X对称,那么（）（Aa。H,b。6（Ba＝ler,b＝6（C）a。3,b＝2（D）a＝3．b＝62——”——”－－3一解由曲线f（x．y）一O关于y—x对称的曲线方程＄Jf（y,x）一O可得解为（A）即：闭v——ax＋z二）x——“————…     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

一个等式的应用

这是一个颇有价值的等式，利用这个等式解一些竞赛题目，简单明了，趣味横生．例1立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写二数之和都相等，若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．（1992年北京市中学生初二竞赛题）解∵a＋18＝b＋14—c＋35，值是．．（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）解由已知，可得例3设a、b、c是不全相等的任意实数，若x＝a2－bc，y＝b2－ca，z＝c2－ab,则x、y、z（）（A）都不小于0；（B）都不大于0；（C）至少有一个小平0；（D）…     

一元一次方程解法练习

（时间：45分钟总分：100分）一、填空题（每小题3分,共24分）1．若lal＝3,且Za＋b＝0,则b＝．2方程3x－Za＝sx＋a的解是3,则a的值是3．已知方程（Zk＋1）X－k＝0是关于X的一元一次方程,则k．4三角形的底为b,面积为人则底边上的高h5．如果X与一1的和的Z倍等于X与一1的差的一半,则X＝．6．若代数式k－zir：的值为1,则k＝＿．7若x＝－8是方程3x＋8一奇一a的解,则（’－l）的值是…85。’b’m＋‘与3a6’矿是同类项,则m二,n二、选择题（每小题4分,共16分）1．若y＝1是方程2一古（11－y）一打的解,则方程公（3m－x）＝m的解是…     

超级难题的简单解法（三）

一、深挖细查,突破解题的瓶颈 例1已知函数y=f（x）有反函数,定义：若对给定的实数a（a≠0）,函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数,则称y=f（x）满足＂a和性质＂;若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数,则称y=f（x）满足“a积性质”．     

关于函数凹性的几个等价命题及证明

<正> 一、定义 设函数y=f(x)在(a,b)内可导,若曲线y=f(x)位于其每点处切线的上方,即满足下面的命题1,则称函数f(x)在(a,b)内是凹的,如右图。     

一个不等式的推广及证明

文献[1]给出了如下一个不等式： 设a,b,x,y∈R^＋,则 a^2/x^2＋b^3/y^2≥（a＋b）^3/（x＋y）^2,