三点共线的一个充要条件

研究全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学·第一册(下)p.107的例5,得: 定理1 平面内,OA→,OB→不共线,则点P在直线AB上的充要条件是:存在实数λ,μ,使得OP=λ     

三点共线的性质及应用

性质 设^→OA,^→OB不共线,若A、P、B三点共线,则^→OP＝λ^→OA＋μ^→OB＝1（λ,μ∈R）. 证明 因为A、P、B三点共线,所以     

用三点共线的充要条件巧解等差数列问题

运用以上结论，处理有关等差数列的问题，不仅迅速简捷，而且巧妙新颖，本文拟例说明，以供参考，     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下：     

三点共线的一个向量性质及应用

中学数学引入了向量,相应的数学工具和方法更加丰富,向量的有关知识成为新课程高考命题的一个热点.本文介绍三点共线的一个向量性质,并举例说明它的应用.     

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式：P是平面OAB（O∈AB）上的一个动点,OP→=xOA→＋YOB→（x、y∈R）,若P、A、B三点共线,则x＋y=1;反之．若x＋y=1,则P、A、B三点共线．     

三点共线的一个结论的应用

在人教版高中数学新教材第二册（下B）中介绍了空间向量的共线定理：对空间任意两个向量a,b（b≠0）,则a与b共线的充要条件是存在惟一实数A,     

解几中证明三点共线的几种思路

例题 已知三点A(1,一1)、B(3,3)、C(4,5)求证:A、B、C三点在一条直线上. 思路1 应用两点问的距离公式计算l AB I、I BC I、J AC I.由其中一线段之长,为其它二线段长之和,故A、B、C三点共线. 思路2 利用定比分点公式. 设点P(3,y)是丽的一个分点,则A=篙=}弓=2,y=二与{弓堕:3,即点     

证明三点共线问题的方法

（本讲适合初中）证明三点共线问题的方法很多，从初中所涉及的数学知识的范围考虑，大体有以下几种．     

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

“三点共线”在向量中的应用

我们知道：实数与向量积的运算的几何意义是向量共线．而平面内三点共线是上述知识的典型应用．     

怎样判断三点共线？

这是一道以三点共线为背景的题目,怎样判断三点共线呢？针对这个问题,笔者经过认真思考和研究,给出8种证明方法,希望同学们看完后能明白如何解决三点共线问题．     

三点共线问题例谈

例求证顺次连结菱形对角线交点到各边的垂线的垂足所围成的四边形是矩形.     

张角公式在三点共线和三线共点证明中的应用

由面积原理推导出的张角公式在平面几何中有着极其广泛的应用。本文仅就其在证明三点共线和三线共点中的应用,例举两个著名定理说明如下,供教学参考。     

三点共线赛题的多种解法与探究

针对2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试中三点共线问题,挖掘题设条件的几何关系,结合四点共圆、三点共线、平行四边形及相似三角形等知识,进一步探究以平行四边形对角线为直径所得圆的特征.     

对一个三点共线问题的进一步探究

文[1]证明了如下定理： 如图1,△ABC的外接圆圆心为O,内切圆圆心为I,且内切圆分别切三边于D,E,F,△DEF的重心为M,则O,I,M三点共线.若△ABC的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,     

向量定比分点公式的伸缩形式

向量形式的定比分点公式,是大家非常熟悉的.如图1,已知→AP=λ→PB,则→OP=（→OA＋λ→OB）/（1＋λ）.使用时要注意公式的特点：P、A、B三点共线,→OP、→OA、→OB三向量共起点,且→前的系数等于→OA、→OB前系数之和,所以更多时候是使用（1＋λ）→OP=→OA＋λ→OB这个式子,省去分式之繁.     

三点共线的向量表示及其应用

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（北师大版）第82页上例3是这样叙述的：如图,A、B、C是平面上三个点,且A与B不重合,P是平面内任一点,若点C在直线AB上,则存在实数λ,使得PC=λPA＋（1-λ）PB．本例题其实是三点共线的向量表示,其结论对于解决平面几何中的一类比值问题和一些高考题非常有用,在实际教学中,     

三点共线向量推论式的应用

我们已经知道:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.由此我们可以得到从一个始端出发的三个向量的终端共线的充要条件(我们简称三点共线向量的推论式)即推论:向量a,b,c有公共起点,则三个向量终点在同一条直线上的充要条件是存在实数λ,μ,使得c=λa μb.且λ μ=1.     

三点共线不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一．也是中考的必考内容．它既是三角形知识的延续．又是学好相似形和圆的基础．在四边形问题的解答过程中，不少同学常常忽视三点共线这一关键点，为引起同学们的重视，现略举几例加以剖析．供学习时参考．