利用三角函数解(证)几何题

一、应用特殊角的三角函数例 1　在△ABC中 ,∠A=1 2 0°,AB=3,AC=2 ,求 BC和 sin B。解 :过 C作 CD⊥ BA,交 BA的延长线于点 D,如图 1。∵∠ BAC=1 2 0°,∠ D=90°,∴∠ DAC=60°,∠ ACD=30°。在 Rt△ ACD中 ,AD=12 AC=1 ,CD=AC· sin∠DAC=2×sin60°=3。在 Rt△ BCD中 ,BD=BA AD=4,BC=BD2 CD2 =42 (3 ) 2 =1 9,∴ sin B=CDBC=31 9=571 9。例 2　已知 :△ ABC的边 AC=2 ,∠ A=45°,cos A、cos B是方程 4x2 - 2 (1 2 ) x m=0的二根 ,求 :(1 )∠ B的度数 ;(2 )边 AB的长。解 :(1 )∵∠ A=45°,∴ cos …     

解直角三角形

☆基础篇课时一锐角三角函数诊断练习1.填空题 1.如图,Rt△ABC中锐角α,sinα=__,cosα=__tanα=C.cotα=__.(2)若α为锐角,β=90°-α,则sinβ=__,α,cosβ=__α,tanβ=__α,cotβ=α.(3)填>、<或=号;若0≤α≤β≤90°时,则sinα__sinβ,cosα__cosβ,tanα__tanβ,cotα__cotβ.(4)计算2.选择题(1)α是锐角,且sinα-cosα=0,则α为( )(A)30°.(B)45°.(C)60°.(D)10°.(2)Rt△ABC中,∠C=90°,α=5,c=7,sinβ、cosβ的值分别为( )     

解直角三角形及其应用

[知识要点]1 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,那么(1)三边之间的关系:　　　;(2)两锐角之间的关系:　　　;(3)边角之间的关系: sin A=　　　,cos A=　　　,tan A=　　　;(4) 面积S=　　　　　或S=12ch(h是斜边上的高) 2 解直角三角形的四种类型: (∠C=90°)(1) 已知两直角边a、b,则c=　　,tanB=　　,∠A=　　 (2) 已知一直角边和一锐角(a,∠B),则∠A=　　　, b=　　　,c=　　　　 (3) 已知斜边和一直角边(c, a),则 b=　　　,sin A=　　　,∠B=　　　 　　(4) 已知斜边和一锐角( c,∠A),则∠B=　　　, b…     

九年级结课代数质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分） 1.已知α为锐角,sinα=cos46°.则α=——。 2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=5～（1/2）.则cosA=——。     

推导15°角的三角函数值的几种方法

在初中阶段,特殊角的三角函数值主要是运用勾股定理、直角三角形的特殊性推导出来的,特殊角有30°、45°、60°。对于15°的三角函数值也可以运用特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值、勾股定理、直角三角形的特殊性质来推导。方法一:如图1,设Rt△ABC中,∠A=15°,∠C=90°。D是AC上的一点,∠BDC=30°,则∠ABD=15°,AD=BD。设BC=x,则AD=BD=2x,DC=3√x,AC=(3√+2)x∴AB=AB2+BC2√=[(3√+2)x]2+x2√=(6√+2√)x,∴sin15°=sinA=BCAB=x(6√+2√)x=6√-2√4。同样可得:cos15°=6√+2√4,tan15°=2-3√,cot15°=2+3√。图1方法…     

初二第二学期期末考试数学试题

一、填空题1 .sin30°· cos30°=;1tg45° tg60°=。2 .在△ ABC中 ,∠ ACB=Rt∠ ,AC=5,BC=1 2 ,则 sin B= ;tg A=。3.sin2 3 2° cos2 3 2°=;cos2 0°- cos50°填 (>0或 <0 )。4.方程 x2 x=0的解是 ;方程 x2 2 x- 1 =0的解是。5.已知方程 2 x2 1 3x k=0 ,如果一个根是- 3,则另一个根是 ,k=。6.不解方程 ,判断方程 5x2 - 2 x=- 1根的情况 :因为△ ;所以方程。　　 7.如图 ,△ABC中 ,DE∥BC,若 ADDB=32 ,则△ ADE与△ ABC的周长比为 ;S△ A DE∶ S梯形△ DBCE=。　　 8.如图 ,M是 AB的中点 ,AB=1 2 ,AC=9,且∠ ANM=…     

解直角三角形

A组一、选择题1. (北京市 )在△ ABC中 ,∠ C=90°,如果 tan A =512 ,那么 sin B的值等于 (　　 )(第 2题 )(A) 513.　 (B) 1213.(C) 512 .　 (D) 125 .2 .(重庆市 )如图 ,在等腰直角三角形 ABCD中 ,∠ C =90°,AC =6 ,D是 AC上一点 ,若tan∠ DBA =15 ,则 AD的长为(　　 )(A) 2 .　 (B) 2 .　 (C) 1.　 (D) 2 2 .3. (海淀区 )在△ ABC中 ,∠ C =90°,∠ B =2∠ A,则 cos A等于 (　　 )(A) 32 .　 (B) 12 .　 (C) 3.　 (D) 33.4 . (河北省 )如图 ,E是边长为 1的正方形 ABCD的对角线 BD上一点 ,且 BE =BC,P为 CE上任意…     

正弦和角公式的构造证法

证法 1　如图1,设∠BAD=α,∠ CAD=β(0 <α,β <π2 ) ,过 B作BD⊥ AD交 AC于C,则有cosα=ADAB,cosβ=ADAC.又∵S△ B A C=S△ B A D+S△ D A C,∴ 12 · AB· AC· sin(α+β) =12 AB·AD· sinα+12 AD· AC· sinβ.两边同时除以 12 AB·AC,可得sin(α+β) =ADAC·sinα+ADAB· sinβ=cosβ· sinα+cosα· sinβ.运用诱导公式 ,易证α,β不是锐角时 ,式子仍然成立 .图 2证法 2　如图2 ,设∠BAD=α,∠DAC=β(0 <α,β <π2 ) ,作 BD⊥AD交 AC于 C,作BE⊥ AC于 E,则有 ADAC=cosβ,BDAB=sinα,ADAB=…     

证明(二)单元测试卷

一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形…     

巧构Rt△求解梯形问题

求解梯形的方法和思路很多,其中利用题设中特殊的已知条件,合理构造Rt△是解决某些梯形问题的有效途径．请看以下几例．一、求腰的长例1 如图1,梯形 ABCD中,AB∥CD,AB= 8,CD=20,∠C=30°, ∠D=60°．求腰BC的长．简析:由∠C+∠D= 90°,联想到Rt△的两锐角互余,可考虑构造 Rt△DCE来解决．     

构造直角三角形解题

有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1　求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2　求角例 2　如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D…     

正弦和余弦的关系教学设计

一、教学目标1.知识目标。使学生理解正弦、余弦相互关系的两个公式 :1sin A=cos B(A和 B互为余角 ) ;2 sin2 A cos2 A=1(A为锐角 )。并能利用它们及其变形解决问题。二、教学重点正弦、余弦相互关系的两个公式的推导过程及其应用。三、教学难点公式的变形与应用。四、教学过程(一 )问题的提出1.直角三角形有关知识的复习。如图 ,Rt△ABC中 ,∠ C=90°,则 :(1)角的关系 :∠ A ∠ B=90°。　　 (2 )边的关系 :c>a,c>b;a b>c;a2 b2 =c2 。(3)边角关系 :sin A=ac,cos A=bc。2 .直角三角形中 ,三个角和三条边都有一定的关系 ,其中正弦与…     

设K的妙用

在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。　　例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35…     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…     

巧妙构图 tan15°

如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2).     

《证明(二)》单元测试卷

一、选择题1.一个等腰三角形的一边长是7cm,另一边长是5cm.那么这个等腰三角形的周长为().(A)12cm(B)17cm(C)19cm(D)17cm或19cm2.已知等腰三角形中有一个角是70°,则另外两个角的度数分别是().(A)5°,55°(B)70°,40°(C)40°,40°(D)55°,55°或40°,70°3.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画().(A)8个(B)6个(C)4个(D)2个第3题图第4题图4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,Rt△EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F.…     

初三结课几何质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分）1.在△ABC中,∠A=30°,且∠A ∠C=2∠B,则sin C=_.2.计算:2sin30°-2cos60° tan45°=_.3.已知半径为6cm的圆中,垂直平分半径的弦长为_cm.4.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:4:     

初三第一学期期末平面几何质量检测题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.在Rt△ABC中,直角边BC的长是直角边AC长的两倍。则cosA=____。 2.在△ABC中,∠C=90°,斜边为15,∠A的正弦值3/5。则∠A的对边长为____。 3.求值:sin60°·cos30°-tg45°=____。 4.若a是锐角,sinα=cos50°,则α=____。     

直角三角形的性质与判定

[知识要点]1 直角三角形的性质: (1) 两锐角　　　　;(2) 斜边上的中线等于　　　　;(3) 30°的角所对直角边等于　　　　;(4) 如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对角等于　　.2 勾股定理: 　　　　　　　　　　　　　　　　.3 直角三角形的判定: 　　　　　　　　　　　　.典型考题解析例1　(2002年四川省)要求tan 30°的值,可构造如图1 所示的直角三角形进行计算: 作Rt△ABC,使∠C =90°,斜边AB = 2, AC = 1,那么 B C = 3, ∠AB C = 30°,∴ tan 30°=ACB C=13=33.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出ta…     

证明(二)单元测试卷参考答案

1.4.2.(1)AB=CD.(2)∠AEB=∠CFD.3.12a.4.15°.5.10.6.①②.7.41a.8.①②③.9.D.10.A.11.A.12.D.13.D.14.D.15.证法一:在△BRP和△CPQ中,∵∠B=∠C=60°,BP=CQ,∠BPR=∠CQP=90°,∴△BRP≌△CPQ,∴RP=PQ.同理,PQ=QR.∴△RPQ为等力三角形.证法二:∵AB=BC=AC,∴∠B=∠C=∠A=60°.又BP=CQ=AR,∴△BRP≌△CPQ≌△AQR.∴PR=PQ=RQ.16.(1)连结AD,∵D为BC中点,△ABC为等腰三角形,∴∠DAE=∠DAF,∴△ADE≌△ADF,∴DE=DF.(2)在Rt△BDE和Rt△CDF中∠BED=∠CFD=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又ED=DF,∴…