探究式教学一例:由求曲线的切线引出导数的概念

微积分是人类理性精神的最高胜利(恩格斯语),因此高中数学新课程充实了微积分的内容.中学生学习导数的主要目的是利用导数研究函数的单调性,进而研究函数的极值(最值).但教材仅仅由求物体的瞬时速度引出导数概念后,贴一个标签:导数的几何意义是曲线切线的斜率.微积分的创立史上,求物体的瞬时速度与求曲线的切线,是两个"源问题".对于高中学生而言,通过"求曲线的切线引出导数"比通过"求物体的瞬时速度引出导数"更重要,原因是函数的单调性取决于导数的符号,而导数的几何意义是曲线切线的斜率,直线的倾斜程度比较直观.因此,导数的几何意义教学要加强,下面是一个课堂教学片段,不妥之处请同仁指正.     

几何画板辅助导数教学研究

导数是微积分的核心概念之一,是研究函数形态以及函数值近似计算的重要工具.利用几何画板辅助导数教学,通过动态、直观的展示函数平均变化率到瞬时变化率的变化过程,加深学生对抽象导数定义以及导数几何意义的理解和掌握.通过信息技术辅助教学,培养学生数学学习及数形结合思想方法研究问题的能力,同时促进教师的专业发展.     

导数的概念及其几何意义

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.高考中对导数的概念及其几何意义的考查较简单,主要考查导数的几何意义.     

应用导数知识解代数三角问题

运用极限、导数和积分等微积分工具来解决数学问题,解题方法具有一般性,思路也比较开阔。有些初等数学的问题用微积分方法来解往往比较简便。在中学微积分教学中加强这方面的训练,既可以丰富微积分的内容,提高学生学习微积分的兴趣,又可以密切微积分和初等     

浅谈导数在高中数学教学中的应用

在高中教学内容中,导数占据着重要的地位,并且通常在数学考试中以压轴题目出现,另外还是学生以后学习微积分的基础。合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野,可以说导数是解决数学问题的有力工具。本文结合相关教学经验,分析导数在高中数学中的应用。     

“导数与微分”试教后的思考

高中试验教材<数学>限定选修本中的第三章是<导数与微分>.由于微积分是数学的重要分支,而导数与微分又是这个分支的重要组成部分,因此将它编入中学教材有着深远的意义.在教学实践之后,笔者有以下几点思考.     

定积分概念的教学实录及反思

<正>一、教学设计背景微积分是高等数学的主要分支,微积分的方法是数学中一个强有力的工具,在众多领域和现实生活中有着广泛的应用;对辩证思维、崇尚数学的理性精神的培养具有独到的教育意义.因此,在高中数学课程中设置微积分有其独特的价值和作用.一般地,微积分学习的起点是极限,即数列→数列的极限→函数的极限→导数→导数的应用→定积分.这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性,但是也产生了一些问题:就高中学生的认     

解读高考试题中的导数问题

导数进入中学教材后引发了教者对中学数学教学的多方位思考:首先是导数在高中教学中的地位,其次是高考如何对它进行考查.极限和导数在初等数学与高等数学之间起着重要的衔接作用,同时也引起了数学思维方式的一次质的飞跃,它与数学归纳法和极限共同把握着“有限与无限”这一对矛盾的统一体.正是由于导数进入了中学课本,才使得原本复杂的问题(函数的性质,曲线的切线等)有了一个更可靠、更一般的研究方法.见表1,高考对导数的考查几乎涉及到了导数的所有内容(定义、几何意义、物理意义、用导数研究函数的单调性、求函数的最(极)值等),考查的题型…     

“导数的概念及其几何意义”教学设计

导数是研究函数性质的重要工具.本节课在学生已经学习了章引言和两个变化率问题的基础上,通过对实例进行数学抽象,得出导数的概念及其表达.通过类比和归纳,得出一般曲线导数的几何意义.通过应用几何画板软件的探究及直观演示,引导学生体会"以直代曲"的极限思想,感受"数形结合"的思想方法.整节课将微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题贯穿始终.     

“导数的概念及其几何意义”教学设计

导数是研究函数性质的重要工具.本节课在学生已经学习了章引言和两个变化率问题的基础上,通过对实例进行数学抽象,得出导数的概念及其表达.通过类比和归纳,得出一般曲线导数的几何意义.通过应用几何画板软件的探究及直观演示,引导学生体会"以直代曲"的极限思想,感受"数形结合"的思想方法.整节课将微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题贯穿始终.     

注重抽象概括共同本质特征,凸显导数的内涵及其几何意义——在“导数的概念及其几何意义”的教学中落实核心素养

"导数的概念及其几何意义"一课是"导数概念及其意义"单元中的一部分,本节课在"单元—课时教学设计"有关理论的指导下,遵循概念教学的一般进程,以恰时、恰点的问题引导数学活动,突出对典型丰富实例共同本质特征的抽象概括过程,揭示导数的内涵和思想,引导学生体会极限思想;并充分使用信息技术,帮助学生直观理解导数的几何意义,有效地夯实"四基",提高"四能",把数学抽象和直观想象素养落到实处.     

平衡问题与导数法应用

微积分是物理学的重要工具,微积分就是在物理学研究中诞生的.在中学物理中,导数法、微元法其实就是微积分应用的重要体现.下面,我们从两个例子谈谈静态平衡问题及导数思想. 1 静态平衡问题中的导数方法 首先,我们研究一个静态问题.关联体平衡问题是高中物理中的常见题型,现举一例,和同学们一起探究其多种解法.     

“导数的几何意义及其应用”教学设计

<正>【教学目标】一、知识与能力1.本节课是高三复习课.通过对"导数、平均变化率"的复习,明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.2.利用割线逼近的方法直观定义切线,概括导数的几何意义.3.通过例题分类解析,让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题,加深对导数内涵的理解.在学     

例谈运用导数研究曲线切线问题

导数有着极其丰富的实际背景和广泛的应用,它作为联系中学数学与大学数学的纽带,为高中函数问题的研究提供了重要的方法和手段,同时也为以后进一步学习微积分奠定基础.其中导数的几何意义是点睛之笔,它体现了数与形的完美结合,尤其对曲线的切线的研究更是彰显了其独特魅力.在高考中对曲线的切线的考查也是重要考点,以下让我们凭借导数的慧眼,探讨曲线的切线问题.     

圆锥体积V_锥=4/3πr~2h等于1/3圆柱体积的几何论证

<正>现在的中学生只知道圆锥体积等于同底同高的圆柱体积的13,除了用容积法和微积分法来测量证明以外,不知道用几何法可以证明,这是除了网上的用水容积法和微积分法外的第三种证明方法.这种方法更直白易懂.这个题目是个初等数学问题,中学课程中学了几何,所以也应该知道它也是几何学中的知识问题.可以用几何关系证明.可是,网上也只有容积法和微积分法,并无几何法.本文用几何法推导圆锥体积V锥=4/3πr²h等于1/3圆柱体积的几何论     

函数的导数在高考中的命题形式的汇总

函数的导数在解决实际问题中有着极其重要的作用,有着极其丰富的实际背景和广泛的应用,是微积分的核心概念,是高考中解决函数问题的的重要方法和手段,在高考中是份量比较重的考点,通过笔者在教学中总结,命题形式有以下几种形式: 命题形式1:导数的意义.     

物理图像中的数学“拐点”问题初探

在一些公开课教学、教辅材料及公开发表论文有关电源输出功率P-R图像中,存在着作图不精确甚至错误的问题.本文从拐点界定及二阶导数的几何意义阐释,给出P-R正确图像.     

微分在微积分课程中的作用

微分是微积分中的一个基本的重要概念,它是微分学转向积分学的枢纽.其概念和运算在微积分课程中有广泛的应用.如果能从多方面了解这些应用,就会进一步明确微分教学的目的性和重要性,并可使有关内容的教学取得更好的效果.将微分与导数、不定积分、定积分的关系作一定探讨,用以体现微分在微积分课程中的作用.     

曲线切线问题高考新视角

用导数的几何意义研究曲线切线的有关问题是导数最基本的应用,也是近几年高考导数命题的一个方向,而且还在不断创新,突出导数的工具性.本文从以下几个方面用导数研究了曲线切线的有关问题,供同学们参考.     

“导数和微分”一章的教学体会

从本学年开始,中学里普遍开始教微积分的初步知识。现行全日制十年制学校高中数学课本第八章“导数和微分”是微分学开始的基本内容,我最近在一个高三班级试教了这一章,现谈谈教学的体会。1.进行学习目的性的教育首先要使学生初步了解学习微积分知识的目的,从而产生学习兴趣。可以简单介绍微积分是近代发展起来的数学知识,还可以说明微积分在现代科学技术上的应用非常广泛,凡牵涉到理论研究或计算方面的问题,一般都要用到微积分的知识。哲学知识有些也要用微积分的概念来说明。因此,学好